Giải Toán 11: Vấn đề 3. Nhị thức NewTon

VẤN ĐỀ 3. NHỊ THỨC NEWTON
A. Kiến thức cần nhớ
Công thức nhị thức Newton:
(a + b)" = c°an + cj,an'lb + c2an‘2b2 + ... + cka”~kbk + ... + C^bn
Tính chất:
Khai triển (a + b)n có n + 1 số hạng.
Tổng các số mũ của a và b trong mỗi sô' hạng là n.
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: Tk+1 = ckan_kbk với k = 0, l,...n
(l + x)n =c°+C*x + C2x2 + ... + C"xn
x	7	n	n	n	n
c° + c’ + c„ + ... +CỊỊ = 2n
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
13
X--
l xj
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn: a) (a + 2b)5	b) (a - V2)6
Giải
(a + 2b)5 = £ck.a5k.(2b)k	b) (a- V2)6 = jb Cka6-k(-V2)k
Bài 2
Giải
Hệ số của X3 trong khai triển là Cj’j .
Hệ sô cua X3 trong khai triển là Cfi =<T ■
Bài 3	
[ Biết hệ số của X2 trong khai triển của (1 - 3x)n là 90, tìm n.	j
Bài 4
Ta có:	k + 4 =	f|T = tckx^-k
V	x/ k=0	\x7	k=0
Vì số hạng không chứa X nên
8 - k
■—-	k - 0 hay k = 2.
Vậy số hạng đó là Cg =28.
Bài 5
Từ khai triển biểu thức (3x - 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
Giải
Tổng các hệ số của đa thức (3x - 4)17 là
(3.1 - 4)17 = (-1)17 = -1.
Bài 6
Chứng minh rằng:
ll10 - 1 chia hết cho 100.
ÌOI1^0 - 1 chia hết cho 10000.
7ĨÕ[(1 + 7ĨÕ)' 11 - (1 - a/ĨÕ)iu0 J là một số nguyên.
Giải
llltì - 1 = (1 + 1O)10 -1 = £ckữ10k - 1
. k=u
<10 \ = £ck010k+102+1-1
Tương tự câu a).	kk=2	'
(1 + 7ĨÕ)100 =£Ck„,(VĨÕ)k = A + B;
k=0
(1-7ĨÕ)100 =^Ck00(-l)k(VĨÕ)k = A-B,
k=0
ỉ 100
"trong đó A = £c?',io'
/=0
B = gc“;'io'7ĩõ
Từ đó (1 + Vĩõ)10" - (1 - a/ĨÕ)100 = 2B.
Vậy 7ĨÕ[(1 + 7ĨÕ)1OU-(1-7ĨÕ)"’1’] = 2^C^110/+1 6 z
c. Bài tập bô sung
Bài 1	
Với n là số nguyên dương chứng minh rằng
	'C^+CL+... + C;>C^CL+... + cr-
Giải
Ta có: 0 = (1 - l)2" = c’7 - c’n + c2n - c3n 4- ... - C2"’1 + C2"
Suy ra C'L 4- c2n 4- ... 4-c2" = c‘n + c3n + ... + c^-1
Bài 2	
Viết khai triển Newton của biếu thức (3x - l)16. Từ đó chứng minh rằng
	316c°g - 315c*g + 314c2g -... + c;° = 216.	
Giải
Viết khai triển Newton
(3x-l)16 = Jckg(3x)16-k(-l)k =
= cf6316x16 - c;6315x15 4- C2g314 X14 - ... + CJI Cho x = 1 ta được
216 = (3 - l)16 = Ci’gS16 - CỊg315 + C2g314 - ... 4- CJ® (đpcm)
Bài 3
—77Ĩ—7	•—ĩ 	”—77	,	"	"	'
Chứng minh rằng với 3 < k < n ta có
	+ 3Ck-4 4-3Ck~2 4-ck~3 = c^g. ■
Giải
Ta có
ck + 3Ck_1 + 3Ck’2 + ck’3 = ck + Ck-‘ + 2(ck’’ 4- ck’2) 4- ck“2 + ck"'! = cL + 2CỈ;i + ci;ỉ = (ct, + cỉ;í) + (ci;ì + c„k;?) =
-CU + C&-CU (đpcm)
Bài 4	
Chứng minh rằng với mọi n nguyên và n > 2, ta luôn có đẳng thức
1.1.	1	n-1
	A 2	A2 A.| A2 n	
Giải
Theo công thức tính chính hợp, ta có
A2 = k(k - 1)
Vì vậy Do đ('
1 1
A’k ~ k(k 1)
1.1.1
H—“7 H—777 +
A2 A2 A2
1 1 k-1 " k
1 _ 1 1 Ỉ_A 1_A
' AẠ “ 1	2 + 2	3 + 3 “ 4
_ ,	1 n - 1
= 1	=	 (đpcm).
n n
Bài 5
12
Ta có: x +
Giái
\	k=0	. x	k=l)
ì rr ìn  Tí rr nìniỸo V lò en boníT IỸ11 rr xrrÝi 1
Tìm số hạng không chứa X trong khai triển Newton của I X + —
lẽt CU. ~ ■	/.'■'12“ 12-k	z J 12
' ,	< xy \ x* ,	s,..
So hạng không chứa X là sô hạng ứng với k thỏa mãn điểu kiện 2k - 12 = 0 k = 6. Vậy số hạng không chứa X là c(;2 = 924.
Bài 6
Đa thức P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + 3(1 + x)3 +...+ 20(1 + x)20 được viết dưới dạng
P(x) = a0 + axx + a2x2 +...+ a20x20. Tìm a15.
Giai
Hệ số của xk trong khai triển của (1 + x)n là ck . Do đó hệ số của X15 trong khai triển của 15(1 + x)15 là 15Cj|, trong khai triển của 16(x + l)16 là 16Cjg,..., trong khai triển cùa 20(1 + x)20 là 20C.1,3. Vậy:
a15 - 15CỊI + 16Cjg + 17CJ5 + 1SCJ2 + 19CJ3 + 20C‘ị
= 15 + 16Cjg + 17Cf7 + 18C?S + 19c;9 + 2OC3o
ir . J . 1f7 17.16 . 1O 18.17.16 in 19.18.17.16 , on 20.19.18.17.16
= 15 +16.16 +17.	’	+18.——— +19.	7—	+ 20.	---	
_	2	6	24	120
= 400995
Bài 7	
Khai triển và rút gọn đa thức
P(x) = (1 + x)6 + (1 + x)7 + (1 + x)8 + (1 + x)9 + (1 + x)10
ta được
P(x) = a10x10 + agx9 + asx8 +...+ atx + a0.
Tính aR.
	2	-———	/
Giải
Hệ số của X8 trong các khai triển của (1 + x)8, (1 + x)9, (1 + x)10 lần lượt lả Cg,Cg,C?y. Do đó
a8 = Cg + c* + C*, = 1 + cỉ, + Cf0 = 1 + 9 + 45-55
7	.-ì	2 Ỹ
Trong khai triển của I 3x"	7 I tìm hệ số của sô hạng chứa X10.
Giai
Bài 8
V 11 it 1
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển của biểu thức đã cho là c.ỉ(3x:ìrk 4^ = c.s 33~k(-2)k xb'-3k-2k
Sô hạng chứa X10 khi và chỉ khi k thỏa mãn phương trình 15 - 5k = 10 k = 1. Vậy hệ số của số hạng chứa X10 là Cr,34(-2)J = -810.
Bài 9
Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)“ bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó.
Giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có
(1 + X2) = c° + C* X2 + cỹ + ... + c>2k + ... + C"x2n (*)
Thay X = 1 vào (*) ta được
Theo giả thiết c“ + c* + C2 + ... + C" = 1024 , do đó 2“ = 1024 2n = 210 O n = 10
Vì vậy hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển của (x2 + l)10 là
a = cfo = 210 .
Bài 10	
Cho đa thức:
P(x) = (1 + X)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 +...+ (1 + x)14 có dạng khai triển là
P(x) = a0 + axx + a2x2 + a3x3 +...+ a14x14 Hãy tính hệ số a9.
Giải
Hệ số của X9 trong khai triển của (1 + x)9, (1 + x)10,..., (1 + x)14 lần
Bài 2
Bài 3
Giải hệ phu
Giải bất phương trình
Bài 4
Bài 5
Giải hệ phương trình
Chứng minh rằng với 0 < k < n ta có
9
CCn+k.C"n_k<(C^n