Giải Toán 11: Vấn đề 2. Dãy số

VẤN ĐỂ 2. DÃY SỐ A. Kiến thức cần nhớ
Dãy số vô hạn: Là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương N*.
Dãy sô hữu hạn: Là một hàm sô xác định trên tập hợp m sô nguyên dương đầu tiên (m là số nguyên dương cho trước).
Dãy số tăng: (un) là dãy số tăng c> Vn, un+1 - un > 0.
Dãy sô' giảm: (un) là dãy số giảm o V n, un+1 - un < 0.
Dãy số không đổi: (un) là dãy số không đổi e> Vn, un+1 - un = 0.
Dãy số bị chặn trên: Dãy số vô hạn (un) là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho un M V n e N*.
Dãy số bị chặn dưới: Dãy số vô hạn (un) là dãy sô' bị chặn dưới nếu tồn tại sô' m sao cho un > m V n G N*.
Dãy sô bị chặn: Là dãy sô vừa bị chặn trên, vừa*bị chặn dưới.
Bài 1
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Viết năm sô hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát UH cho bởi công thức:
2n -1
a) u„ =
c) un =
n
2" - 1
( 1?" 1 + —
V n.
b) u„ =
d) u„ =
2“ +1 n
Học sinh tự giài.
Bài 2
Cho dãy (un), biết:
„ Ul z 71’ U‘1+À= U'.1 + í với.n “ L •
Viết năm số hạng đầu của day số.
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un - 3n - 4.
Giải
-1, 2, 5, 8, 11.
Chứng minh un = 3n - 4 bằng phương pháp quy nạp:
Với n = 1 thì ur = -1 = 3.1	4 đúng.
Giả sử đã có uk = 3k - 4 với k > 1.
Theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có
Uk+1 = nk + 3 = 3k - 4 + 3 = 3(k + 1) - 4.
Vậy công thức đã được chứng minh.
Bài 3	
Dãy số (un) cho bởi:
ux = 3; un+1 = V1 + un > n 1
Viết năm số hạng đầu của dãy số.
Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Giái
3, 7ĨÕ, 7ĨĨ, 7Ĩ2, 7Ĩ3
Viết 3 = 79 và nhận xét
79 = 7l + 8 7w = 72 + 8 7n = 73 + 8 7Ĩ2 = 74 + 8
Dự đoán un = 7n + 8 với n e N*.	(1)
Chứng minh công thức (1) bằng quy nạp:
Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.
Giả sử đã có uk = 7k + 8 với k > 1.
Theo công thức dãy số có
uk+| — -ựl + uk = "J 1 + (7k + 8*)~ = 7< k + 1) + 8 .
Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.
Do đó, công thức (1) đã được chứng minh.
Bài 4
Xét tính tăng, giảm cua các dãy sô (un), biết:
a) un =i-2	b) un
n	n + 1
c) u„ = (-l)"(2n+l)
d) un =
2n + 1 5n + 2
ạ) Xét hiệu un+1 — un =
Giải
-2-
Vi
<- nên un+1 -un
— -2
1 1
Ị
n
n + 1 n	n +
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm, b) Xét hiệu
n+1-1	n-1
- —- < 0 với mọi n e N*.
‘n+1
n+1+1	n+1	n+2
n2 + n - n2 - n + 2
(n + l)(n + 2) (n + l)(n + 2)
Vậy un+1 > un với mọi n G hay dãy số là tăng.
Các số hạng đan dâu vì thừa số (-1)", nên dãy sô' không tăng và cũng không giảm.
Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số
5n + 2 2n + 3 _ 10n2 + 19n + 6
un 2n + 1 5n + 7 - 10n2 + 19n + 7 rồi so sánh với 1.
Đáp số: Dãy số giảm.
Bài 5
Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
1
a) un = 2n - 1
C) un =
2n2 -1
b) un =
n(n + 2)
d) un = sin n + COS n
Giiii
Dãy số’ bị chặn dưới vì un = 2n2 - 1 > 1 với mọi n e N* và không bị chặn trền vì khi n lớn vô cùng thì 2n2 - 1 cũng lớn vô cùng.
Dễ thấy un > 0 với mọi n e N*.
Mặt khác, vì n > 1 nên n2 > 1 và 2n > 2.
Do đó n(n + 2) - n2 + 2n > 3, suy ra
1 _ 1
	< —.
n(n + 2)	3
Vậy dãy sô' bị chặn vì 0 < un < — với mọi n e PT.
O
c) Vì n > 1 nên 2n2 - 1 > 0, suy ra
2n2 -1
Vì n2 > 1 nên 2n2 > 2 hay 2n2 - 1 > 1, suy ra
(un) là một dãy số tăng. Gợi ý: Xét hiệu un+1 - un.
(a j là một dãy số giảm.
Dễ thấy xn > 0 V n > 1. Hơn nữa, ta có
xn n + 1 3n+1	3(n +1)	,
=	■——- = ——— >1 Vn > 1
xn+1 3“ n + 2 n + 2 Suy ra (xn) là một dãy số giảm.
Vậy 0 < un < 1, tức là dãy số (un) bị chặn, d) Dãy số bị chặn vì
-Ti < sinn + cosn < 72. Chú ý rằng, theo kết quả của lượng giác thì
-V2 tuy nhiên dấu bằng không thể xảy ra.
c. Bài tập bổ sung
Bài 1
Hãy xét tính đơn điệu của các dãy sô sau:
Dãy số (un) với UQ = n3 - 3n2 + 5n - 7;
Dãy số (an) với an = Tn + 1 - Tn ;
n +1
Dãy số (xn) với xn	n .
>2£
Giải
Chứng minh rằng dãy số (u ), với
n + (-l)n
un =	,
, ,2n + 1
là một dãy sô bị chặn.
->
Bài 2
n - 1
Dễ thấy -	u
Mà
n-1
2n + 1
> 0 và
Giải
 1.
11 2n + 1 n + 1
 1,
2n + 1	2n + 1
nên 0 1. Do đó (u„) là một dãy số bi chặn, n	n	• J
Bài 3	
Chứng minh rằng dãy số (un), với
2n + 3
U.. = -	
. - -	-	,3n + 2
là một dãy sô giảm và bị chặn.
Giầi
Ta có un +	.
3	3(3n + 2)
_ 5/
Từ đó suy ra Un+1 un - T r, . r 3 V3n + 5
Vì vậy (un) là một dãy số giảm.
1	 1.
3n + 2 j
 1. Do đó (un) là một dãy số bị chặn.
Bài 4
_	-	an + 3
Hãy xác định sô thực a để dãy số (un), với un = —	-, là
“	.	3n + 2
Một dãy sô tăng.
Một dãy số giảm.
Giải
Ta có ur
_ a	9 - 2a
= *3	3(3n + 2)
1	1	_ 2a - 9
+ 5 3n + 2 J (3n + 2)(3n + 5)
(uu) là một dãy số tăng un+1 - un > 0 V n > 1
’	9
2a-9>0a>-7-
	 2
(un) là một dãy số giảm un+1 - un 1
„	9
2a-9a<-2-
Bài 5
'	l	1	1	>	A
Cho dãy sô (un) xác định bởi
Uj = 3 và un+1 = un + 5 với mọi n > 1.
Hãy tính u9, u4 và Ug.
Chứng minh rằng u = 5n - 2 với mọi n > 1.
V	 	1	
Giải
Học sinh tự giải.
Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh
un = 5n - 2	(1)
với mọi n e PT.
Với n - 1, ta có Uj - 3 = 5.1 - 2.
Như thế (1) đúng khi n = 1.
Giá sử (1) đúng khi n - k, k e ta sẽ chứng minh nó cùng đúng khi n = k + 1.
Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có Uk+1 = uk + 5 = 5k-2 + 5 = 5(k + 1) - 5.
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n e N*.
Do đó un+1 -un = Từ đó suy ra
3i
D. Bài tập đề nghị
Bài 1
Cho dãy số (un), biết:
5	1
U1 = 1. u2 =p un = |(3un-l -Un-2) vdi n ^3.
Viết năm số hạng đầu của dãy số.
Viết và chứng minh công thức của số hạng tổng quát un.
Xét tính tăng, giảm của c a) u,
Bài 2
:ác dãy số (un), biết:
= ỉ-2
n-ì
b)un=~77	c)un=(-l)n(2n+l)
n
2n +1 5n + 2
d) un =
n + 1	n
un = 2n + COS— n
Bài 3
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
a) un = 2n2 - 1	b) Un = n(n + 2)
_ 1
C) un -	—7	d) un = sinn + cosn
2n2 -1
Bài 4
Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
Dãy số (an) với an = 2n3 - 5n + 1.
Dãy số (bn) với bn = 3" - n.
n
Dãy sô (cn) với c = ——
n + 1
Bài 5
Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
’	.	_ 3n	. _	Vữ
Dãy số (un) với un =	;	b) Dãy số (vu) với vn - —;
„ , '	3"
Dãy sô (an) với an = —.
	n
Bài 6
Xét tính đơn điệu của các dãy sô sau:
3n2 - 2n + 1
Dãy số (a„) với a„ =	—	.
2 ,n+.1, t n + n + 1
Dãy số (b ) với bn =	■	.
2n + 1
Bài 7
Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
Dãy số (un) với un = n - Vn2 - 1.
ựn + 1 - 1
Dãy số (vn) với vn =	.
Bài 8
71
Cho dãy số (un) với un = sm(2n - 1) —.
O
Chứng minh rằng un - un+3 với mọi n > 1.
Hãy tính tổng 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.