Giải Toán 11: Vấn đề 1. Giới hạn của dãy số

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
VẤN ĐỂ 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY só
A. Kiến thức cần nhớ
Định nghĩa dãy sô' có giới hạn ũ
Định nghĩa
Ta nói rằng dãy sô (un) có giới hạn là 0 (hay C.Ó giới hạn 0) nếu mọi sô hạng của dãy sô đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một sô chíơng nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó ta viết
lim(un) = 0 viết tắt là lim(u) - 0 hoặc lim u = 0 hoặc u -> 0.
Nhận xét:
Dãy số (u ) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy sô (|un |) có giới hạn 0.
Một sô' dãy sô' có giới hạn ũ thường gặp
Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh được rằng
a) lim—= 0	b) lim-y=r = o	Inn-f= - 0
n	"	vn	yn
Dãy số' không đổi (un) với un = 0 có giới hạn 0
ịq| < 1 thì lim q11 - 0
Định nghĩa giới hạn dãy sô'
Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là sô' thực L nếu lim (un - L) = 0. Khi đó ta viết
lim(u ) = L, viết tắt là lim (un) = L hoặc lim u = L hoặc u -> L.
n->+»	11	*	11	11
Một sô' định lí
Định lí 1
Giá sử lim un = L. Khi đó
lim |un| = |L| và lim ỰŨ7” = Vl ;
Nêu un > 0 với mọi n thì L > 0 và limựũ^ = v/Ẽ.
Định lí 2
Giả sử lim u = L, lim V = M và c là một hằng số. Khi đó a) Các dãy số (un + vn), (un - vn), (un.vu) và (cun) có giới hạn và
lim (un + vn) - L + M, lim (un - vn) = L - M,
lim (u .V ) = LM,
lim (cu) = cL.
u„
b) Nêu M # 0 thì dãy sô
có giới hạn và
lim^ = è v„ M
Định lí 3 (Định lí kẹp về giới hạn của dãy sô')
Cho ba clãy sô' (ũn), (vn), (wn) và sô' thực L. Nếu un < vn < wn với mọi n và limu = limw = L thì dãy sô (v ) có giới hạn và limv = L.
Định lí 4
Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
Tổng của cấp sô' nhân lùi vô hạn
Xét cấp số nhân
Up I^q, upi2,.-.., Lqq"
u,(l-qn)
U1 U1 1-q	1-q
có vô sô' số hạng và công bội q với |q| < 1 (gọi là một cáp số nhân lùi vô hạn). Ta biết rằng, tổng của n sô' hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là
1 - q
Vì |q| < 1 nên lim q11 = 0. Do đó
lim s„ = ———.
1-q
Sn = U1 + u1q + ... + u,q"- =
1-q
Ta gọi giới hạn đó là tổng của cấp số nhân đã cho, và viết s = ut + u,q + Ujq2 + ... =
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Có lkg chà't phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoáng thời gian T = 24000 năm thì một nửa sô' chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).
Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
Tìm số hạng tổng quát un của dãy sô' (un).
Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.
Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một sô' năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đô'i với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chà't phóng xạ còn lại bé hơn 10 í;g.
Bài 1
khôi lượng chàt phóng xạ còn lại bé hơn 10 'g.
Giâi
1	1 .. 1
Nhận xét: u, - —, u„ - —, U.. = —
2	4	8
1
Dự doán u„ - —.
Chứng minh dự đoán trên bàng quy nạp.
lirnu,, = lim(—= 0 (theo tính chất limq" = 0 nếu |q| < 1.)
10'(ig - 10"K.10-ikg = -ịrkg
10u
Vì un -» 0, nên |u„ I = — có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kê’ từ
di
một sô hạng nào đó trở đi. Như vậy, |un| nhỏ hơn Yỹ- kê từ chu kì n0
nào dó. Nghĩa là sau một số năm ứng với chu kì này, khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại đôi với con người.
Bài 2
Biết dãy số (un) thỏa mãn |un -1| < — với mọi n. Chứng minh rằng lim un = 1.
Giải
Vì lim —7 = 0 nên
có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kế từ một (1)
1 '
số' hạng nẩo đó trở đi.
Mặt khác, ta có |un - l| <	= Q ,xxx XXXWX XX.	ỵxx,
1	' n3 n3
Từ (1) và (2) suy ra |un -1| có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim (un - 1) = 0. Do đó, lim un = 1.
Bài 3
với mọi n.
(2)
Tìm các giới hạn sau: 6n -1
a) lim
c) lim
3n + 2 3n + 5.4n
4" +2n
b) lim
d) lim
3n2 + n - 5
2n2 + 1
-ựỡn2 - n + 1
4n -2
ĐS: a) 2
3
blí
Giải
c) 5
d)
Bài 4
Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú
	1	
1
chuột ivlickey quyêt đinh tô màu một miêng
3
bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu
xám các hình vuông nhỏ được đánh sò lần
	í	
! 9
	•	
lượt là 1, 2, 3,..., n,..., trong đó cạnh cùa
hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh
	;	
—;—
hình vuông trước đó.
; ỉ
° <
Gia sứ quv trình tô màu cùa Mickpy có tho
tiến ra vô han.
	!	
a) Gọi un là diện tích cùa hình vuông màu xám thứ
n. Tính Up
ụ>, ụ.Ị
và u„.
b) Tính limSn với Sn = u/ + u., + U., +...+ un.
. Đáp số a) u„ - ỳ
Bài 5
1
b) Ế
Giâi
x,	o ,1	1 . (-1)"
Tính tổng	s	= -1 + —	—77	+ ... + -—.	+ •••
10 102
10"
(ỉiiii
Áp dụng công thức tính tổng của câp số nhân lùi vô hạn.
z 10
Đáp sô: y - --
11
Bài 6
Cho sô thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020202... (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
Giai
a = 1,020202... = 1 +	+ ... + —+ ... = 1 +
2
ĩõõ
100 100- 2 _ 101 99 " 99
100"
1
100
Tính các giới hạn sau:
a) lim (n3 + 2n2 - n
+ 1)
b) lim (-n2 +
5n - 2)
c) lim(-ựn2 - n - n)
•
c) lim(VnJ -
n + n)
Giai
1
Đáp số: a) +x
b) -X
c) '2
d; +x
Bài 8
Cho hai dãy số (un)
và (vn). Biết lim
UH = 3, lim VH
- +x. Tính các
giới han:
3u -1
a) lim
u„ +1
V +2 b) lim 'I
vn - 1
y
(Vì
Bài 7
ià một càp SÒnhân lùi VÔ hạn’ CÒng bội q _Ĩ0Õ)
Giiíi
Dáp số a) 2 b) 0
c. Bài tập bổ sung
Bài 1
Chứng minh rằng lim '	- 0.
vn
Ta có:
sin n
Giải
1	K_.	1
< —7= và lim-y=r = 0.
Vn	Vn
nít
7
cos —
Chứng minh rằng lim	— = 0.
4n
>
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Bài 2
Giải
nrc
cos-
VI
với mọi n và lim I — I =0, nên lim-
cos-
rui
.	.. V3n“ + 1 + n
Tính lim ——	-	.
n-»+»	1 2n
4n
4n
Bài 3
Giái
3 4—— 4- n
,. V3n" + 1 + n ,. lim 	—7 = lim
Bài 4
1
o	1	1
n V
n	n
1
--2
n'
= lim
- 0
n-»+OT ị _ 2n“
n-»+00	— 2n"	n—>-ko
Giái
nl (n + 1)!,
.1.1.1. . 1 Ta có U„+1 - un - I — + — + — + ... +
I 1,	1,	1,
— —7 4" —7 “I—77"7 4" ... 4-
1!	2!	3!
Aì = ■-—■■■-■ > 0
n!) (n + 1)!
V n e N*. Do đó (un) là dãy số táng.
(1)
u„ - — + ■
1!	2!	3!
+ ... 4	7 < 1 + — + —- + ... +	V n (= N .
„ !	í) 1)2	nil-1	> V 11	-	.
2 2-
1
= 2^ 1 I < 2, Vn e N .
Mạt khác, 1 + 4 + -Ị- + ... +
2 2-
Vậy Uu <2, V n e N5.	á	(2)
Tù' (1) và (2) suy ra (un) Là dày số tâng và bị chặn trên. Do đó nó hội tụ.
2"
1-
yy
Bài 5
Cho dãy số (ư ) xác định bởi công thức truy hồi 1
2-u.
u, = — 1 2
n
Dãy số (un) có giới hạn (hữu hạn) hay không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.
Giải
1	2	3	4	11
Ta có Ui = —; U, = —; u3 = —; u,ị - —. Từ đó dự đoán un -	. (
Zi	O	4	õ	11 T 1
Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp:
1 1
Với n = 1, ta có u, =. 1 + 1 - — (đúng).
k
Giả sử đẳng thức (1) đúng với n - k (k > 1), nghĩa là uk - -—+ 1
Bài 6
Chứng minh rằng dãy số (un) với
111, 1 1
un 2^ + 3^ + 4^ +	+	+ (n + 1)- có siới hạn hữu hạn-
■+ —7 + 4
1 1
(n 4-l)2
1
.. 4-
22 1 32
+ 42+-
1 1
1
4- —7 4-..
.. 4-
2-	3;ì
42
Giải
1
(n + 1)” (n + 2)” 1 ì 1
Vn e N*. Do đó, (un) là dãy số táng.	(1)
111 1 11,1
”	2	3-	42 (n + 1)	1.2	2.3	3.4
n(n 4- 1)
1.1.1
Mặt khác, — + — + -— +
... 4- •
1.2	2.3	3.4 n(n + l)
, 1.11.11 .1 1 — 1 — *7 4- “—' ~ 4- —	ỉ- ... 4	
22334 n n 4-1
n-1
Do đó, un < 1 V n 6 N“ hay (un) bị chặn trên bởi 1. (2) Từ (1) và (2) suy ra (un) có giới hạn hữu hạn.
D. Bài tập đề nghị
Bài 1
Tìm các giới hạn sau:
a)
lim
c) lim
n-1
(-1) n + 2
n "X
b) lim
d) lim
sin 3n
fỉi
4n n + 2 n + 1
-1
Bài 2
Tìm lim un, với
n2 - 3n + 5
a) un =
c) u„ =
2n2 - 1 V2n2 - n
b) Un =
d) un =
-2n2 + n + 2
3n4 + 5 4"
l-3n2	' ""	2.3"+4"-
Bài 3
Cho dãy sô' (un) xác định bởi
un
U, = 10 và un+1 = —7- + 3 với mọi n > 1.
. b	15
Chứng minh rằng dãy sô (vn) xác định bởi vn = un —— là một cấp
số nhân.	4
Tìm lim un.