Giải Toán 11: Ôn tập cuối năm

ÕN TẬP cuõl NĂM
I. CÂU HỎI
Nêu định nghĩa các hàm sô lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và tập giá trị của từng hàm số đó.
Cho biết chu kì của mỗi hàm số y - sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
Nêu cách giải các phương trình lượng giác cơ bán, cách giải phương trình dạng asinx + bcosx = c.
Viết công thức tính số hoán vị của tập gồm n phần tử (n > 1). Nêu ví dụ.
Viết công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, công thức tính số tô hợp chập k của n phần tử. Cho ví dụ.
Viết công thức nhị thức Niu-tơn.
Phát biếu định nghĩa xác suất của biến cố.
Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.
Phát biểu định nghĩa cap số cộng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một câp số cộng.
Phát biểu định nghĩa cấp số nhân và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.
Dây số (un) thỏa mãn điều kiện gì thì được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực?
Viết công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
Định nghĩa hàm số có giới hạn + X khi x —> -X.
Nêu các giới hạn đặc biệt của dãy số và của hàm sô?
Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoáng. Nêu hình ảnh hình học của một hàm số liên tục trên một khoảng.
Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f(x) tại X = X .
Viết, tất cả các quy tắc tính đạo hàm đã học.
Giả sử y = f(x) là hàm số có đạo hàm tại x0. Hãy viết phương trình tiếp tuyến cùa dồ thị hàm số y - f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)).
II. BÀI TẬP
Bài 1
Cho hàm số y = cos2x.
Chứng minh rằng cos2(x + krc) = cos2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số y = cos2x.
Viết phương trình tiếp tuyến cua dồ thị (C) tại điểm có hoành
7Ĩ
‘lộ x 3-	_	
~	_ í 4	) l 4	)
 1 - cos 2x
Tìm tập xác định cua hàm sô 2 = í-	.
\' 1 + COS 2x
Giâi
cos2(x + kít) = cos(2x + Í<2h) = cos2x
y = cos2x; y' = -2sin2x
' ,	..	71
Vậy phương trình tièp tuyến cùa (C) tại X = — là
y = _73^-^-jhayy = -^ + +A-|
Vì 1 + cos22x >0 Vx, nên hàm số xác định với 1 - cos2x > 0 cos2x < 1, điều này xảy ra với mọi X.
Vậy hàm sô xác định với mọi X.
Cho hàm số y -
a) Tính A
Bài 2 6 + 7 sin 2x
a , VVGKC ’ biêt rằng tanct = °’2- 6 + 7 sin 2a
Tính đạo hàm của hàm sô' đã cho.
Xác định các khoảng nghịch biến của hàm sô' đã cho.
Giái
5
a) tan cc = 0,2 tính A = ———Ạ———
6 + 7 sin 2a
. „ n .	2 sin a cos a 2 tan a
Ta co sin 2a - 2 sin a COS a = ; ~y~	—= -—-—-—
1 + (0,2r - 13
65
ĨĨ3'
-70cos2x
Vậy A =
sin a + cos a 1 + tan a 2.0,2	35
y (6 + 7 sin 2x)\
Khoảng nghịch biến của hàm sô' cta cho là những X sao cho y’ cos2x > 0.
Đáp số: x e
Bài 3
Giải các phương trình:
, o • x	2„ Q- x „;„2 	‘1 „	2 „
2sin —cos X - 2sin —sin X = cos X - sin X “ 2 2
3 cos X + 4 sin X = 5
sin X + cos X = 1 + cos X sin X
VI - COS X = sinx (x e Ln; 3tĩJ)
r x ■ 'ì ■	(1	. X	'ì
cos — - 2sin X sin X + 1 + sin — — 2 COS X cos X = 0 l
Giiii
2sin —cos2 X - 2sin —sin2 X = COS2 X - sin2 X 2 2
o . X ,	2 „	„•	2	,	2	„:„2 ..
 2sm — (cos X - sin X) - COS X - sin X
Ta v’ ‘ „
 2 sinẠ - 1 COS 2x = 0
- + k4n
I 2 J
cos 2x - 0
	. X 1 «■ X = -+n-^, n e z hoặc X =
sin— = —	4	2
L 2 2
Tập nghiệm là
—— + k47ĩ . 3
] — + n-77; (-l)k -7- + k2ĩĩ (n,k e Z)
b 2 .. .3
 sinlx + a) - 1 X = — - a + k2ĩt 2
Tập nghiêm |+2 _a + k2ĩt’ (k e Z)| với COS a = -|; sin a =
Đặt sinx + cosx = t. Khi đó
J.2 _ -I , Q „ •	 .	tr — 1
t - 1 + 2smxcosx => sinxcosx = 	
2
Phương trình đã cho trở thành
t2 - 2t + 1 = 0 (t - 1)2 = 0 t = 1
Vậy ta có: sinx + cosx - 1
Giai ra, ta được: X - — - ± — + h2t, b e z
~ , 4 4 Vậy tập nghiệm là
• 77 + k27i; k2rc(k e Z)
[2
cl) Với sin > 0, phương trình
Vl - cos X = sin X tương đương với
1 - cosx = sin2x 1 - cosx = 1 - COS2X cosxlcosx — ỉ) = 0
cos X = 0
cos X = 1
7Ĩ
• cos X = 0 X = — + kĩt, k e z 2
• cos X = 1 X = k2ĩt, k G z
Nhưng vì sinx > 0 và X e [71; 3rc| nên chi có các cung 271, — là
cos X = 0
Tập nghiệm là‘
COS — - 2 sin X sin X + 1 + sin — - 2cosx l 4	) L 4	,
 sin XCOS— + cos Xsin — + cosx - 2(sin X + COS x) = 0 4	4
X	5 X
 sin X + — +COSX-2 = 0 sin — + COSx = 2 l 4?	4
ỗ X
5x
5x 71	,
sin— - 1
—— = — + k27i
4	 ■
42	 '
cosx = 1
X - h27i
Vậy k, h e z phải thỏa mãn đẳng thức
X =
Vì sin—— < 1, cosx < 1 nên để thỏa mãn phương trình trên, ta phải có: 4
5	5	(k, heZ)
X - h2n
271 k8ĩi
2n k87ĩ h2ĩi = —— +	 5h - 4k - 1
5	5	;
Vì h phải là một số nguyên cho nên phải có k = 1 + 5m (m G => h = 1 + 4m
và khi đó nghiệm của phương trình là
X = 2nd + 4m) - 2n + m8n ; m G
Tập nghiệm là Í2n + m8n ; m e Z(.
Bài 4
Trong một bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu mỗi ca gồm:
Một bác sĩ mổ và một bác sĩ phụ?
Một bác sĩ mổ và bốn bác sĩ phụ?	'
Giải
Đáp sô:
Tìm số hạng không chứa a trong khai triển của nhị thức
( ,
17
1
+ w
Bài 5
(iiiii
a) A^o = 1560	b) 40C3l9
Sô hạng phải tìm là cf7.
Bài 6
Chọn ngẫu nhiên ba học sinh từ một tổ gồm có sáu nam và bốn nữ. Tính xác suất sao cho:
a) Cà ba học sinh đều là nam b) Có ít nhất một nam 	:	1	>
Giái
Đáp số:
a)
b) 1-—Ậ-
10
Bài 7
Một tiêu đội có 10 người được xếp ngâu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B. Tính xác suất sao cho:
A và B đứng liền nhau.
Trong hai người đó có một người đứng ở vị trí số 1 và người kia đứng ở vị trí cuôi cùng.
Giải
Đáp số:	a) 2.9!	b) 2.8!
Bài 8
' 77	—	— 3	73	7737 3	77	77	37	3	7—77	
Tìm câp sô cộng tăng, biêt răng tông ba sô hạng đâu của nó bằng
27 và tống của các bình phương của chúng bằng 275.	
Giải
Ta có: Uj + (Uị + d) + (ut + 2d) - 27
 (Uj + d) - 9 d - 9 - ux .
Từ đó, tay vào phương trình
U| + (Uị + d)" + (Uj + 2d)" = 275
» 3u2 _6u,d + 5d2 = 275 ta được: 2u2 - 36uị + 130 = 0 Giải phương trình, ta có: iq = 13, Uj = 5.
Vì d = 9 - ut = 9 - 13 < 0 không thỏa mãn điều kiện cấp số cộng tăng, do đó phải loại trừ trường hợp này.
Đáp số: U1 = 5, d = 4.
Bài 9
Cho biết trong một cấp số nhân, hiệu của sô’ hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng 12 và nếu thêm 10 vào số hạng thứ nhất, thêm 8 vào sô’ hạng thứ hai còn giữ nguyên sỏ’ hạng thứ ba thì ba sô’ mới lập thành một câ’p sô’ cộng. Hãy tính tòng của năm sô' hạng đầu cúa cấp sô nhân đã cho.
V	:	_______	_	 V
công bội là q.
Giải
Kí hiệu các sô' hạng của cấp sô' nhân đã cho là Uj, u2, U.J, Theo giả thiết ta có:
(I) 
u3 - u2 = 12	(1)
(ut + 10) + U.J = 2(u., + 8) (2)
vĩ (1) iqq2 - iqq - 12 •=> Uj(q2 - q) = 12 và (2) (iq + 10) + u,q2 = 2(Ujq + 8)
 iqq2 - 2upỊ + Uj - 6 = 0 ut(q - l)2 = 6
nên ta có hệ phương trình
Ui(q - l)2 = 6
9	,	_ (q * 0, q * 1)
^(q2 - q) = 12
Giải hệ trên, ta được q = 2, U1 = 6
/?/ q5 1 \
Từ đó SR =
6(2° -1)
2-1
= 186
Bài 10
Tính các giới hạn sau:
(n + l)(3-2n)2 a) lim-
n3 +1
b) lim
c) lim
I „2 + ”2"'';+ '"“"."T
tn +1 n + 1 n +1 V4n2 + 1 + n
n - 1 n2 +1
2n + 1 d) lim Vn(Vn - 1 - Vn)
Giải
' (n + 1X3 - 2n)2	4n3 - 8n2 - 3n + 9
a) lim	-	= lim-
n3 +1
= lim-
n3 + 1
__8 __3_	9
4	„	'	2 + „3
VS1;„.	1.2,3
b) lim TTÙ'+	+ 7T77
vn + 1 n + 1 n + 1 1 + 2 + 3 + .. + (n - 1)
+ ... +
n- 1
= lim-
n2 +1
= lim
n2 +1, n(n-l) 1 2n2 + 2 - 2
c) lim
V4n2 +1 + 2n + 1
- lim-
d) lim 7n(Vn - 1 - Vn) = lim -Vĩ?
= lim
Vn(n - 1 - n) Vn - 1 + Vn 1
Vn - 1 + Vã
lim
2_
l-ỉ+l
n
Bài 11
Cho hai dãy số (un), (vn) với un = —
, m - 1 1 •	ĩì_ + .1
linh iimun.
Chứng minh' rằng limvn - 0.
a) limun = lim—— n2 +1
- lim-
Giái
J_ n
1+4
n _ 7Ĩ
COS — n
7Ĩ
ncos — và V =• n
n2 + 1
ncos—	———
b) limvn = lim—-—— = lim—— - 0
n +1	1+T
ài 12	n
Chứng minh rằng hàm số ỵ = cosx không có giới hạn khi X -> +X.	]
Giiii
71
Chọn un 2 + n27i; v° = (2n + 1)71 Ta thấy un -> +00 (n —» +00)
Và vn -> +00 (n —> +oo)
Nhưng limy(un) = 0; limy(vn) = -1.
Vậy hàm số y = cosx không có giới hạn khi X -» +30.
Bài 13
Tính các giới hạn sau:
i.-~	6-3x
lim —■ -	-
xX2V2x2+1
. .. X2 - 3x + 1
lim	——	
x->2; X - 2 i:_.	2x_1
lim	—
x->+co X + 3
g) lim = (-2x3 + X2 - 3x + 1)
X->-00

b) lin, -• Z^ẸĨ
*->2 X2 - 4
lim X + X2 +... + xn — xTi- r———	1
~. X + 5/4 X2 - 1 I) lim —7	
-x->-*>	2 - 3x
Giai
6 - 3x 12
lim —- ■■■■	’- = — = 4
V2x» + 1	3
... X - ->/3x - 2	X2 - 3x + 2
 11 m	7-	 11 m —-— 	—-- -
x~>2 X -4	x^2 (x2 - 4)(x + ạ/3x - 2)
..	(x-2)(x-l)	..	x-1
= lim	.	= lim	,	...
(x - 2)(x + 2)(x + V3x-2) (x + 2)(x + V3x - 2) 1 _ 1
” 4(2 + 2) - 16
lim
x->2k X - 2
= —00
Kill X —> 2+ thì X — 2 —> 0+ CÒI1 X2 - 3x + 1 —> -1. Vậy X2 - 3x + 1
Khi X -> 1 thì |x| < 1 nên
X + X2 + ... + x" -
Do đó lim ^x + X2 + ... + x“ 2 - —
2 X — 1
e) lim —	= lim
n
1 - X/
1 -X X
.. X - n = lim 	= -co
X—>1” 1 - X
x->+°0 X + 3	x->+00	3
1 -.
4-Ạ.
X2
2-3
f) lim	-1 = lim
x-»-00	2 — 3x	x-»-oo
X
g) lim = (-2x3 + X2 - 3x + 1) = +C0
X—>-O0
Bài 14
Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: sinx = X - 1
(iiái
Xét hàm số f(x) = X - 1 - sinx và hai số 0 ; 71.
Ta có f(0) = -1 0 nên phương trình đã cho có ít nhât một nghiệm trong khoảng (0; 7t). Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.
Bài 15
Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoang (-1; 3)?
3x:i + X - 1 = 0
(hái
Xét hàm số f(x) = .x' - 3x:! + X - 1 và hai sô -1; 0.
f(—1) = 2 > 0 ; f(0) = -1 và hàm y = f(x) liên tục trên khoang ( -1; 0).
Vậy 3c .6 ( -1; 0) để f(c) = 0 hay phương trình có ít nhât một. nghiệm
trong khoảng (-1; 0).
Vậy phương trình có nghiệm trong khoáng (-1; 3).
Bài 16
Giải các phương trình:
f'(x) = g(x) với f(x) = sin3 2x và g(x) = 4cos2x - 5sin4x
f'(x) = 0 với f(x) = 20cos3x + 12cos5x - 15cos4x
(hái
a) f(x) = sin3 2x => f '(x) = 6sin2 2xcos2x
Phương trình: f’(x) = g(x)» 6sin22xcos2x = 4cos2x - 5sin4x cos2x(6sin22x + 10sin2x - 4) = 0
• cos2x = 0 2x = -^ + k7C X = — + k-, keZ 2	4	2
• sin 2x = — 3
3
1 . 1 , ,
X = —arcsin— + kĩt
2	3
7Ĩ	1	1	-
X = 	-arcsin— + krt
2	2	3
(k e Z)
• sin2x = -2 (loại) b) f(x) = 20cos3x + 12cos5x-15cos4x
f’(x) = ~60sin3x - 60sin5x + 60sin4x = -60(sin3x + sin5x - sin4x) - -60sin4x (2cosx - 1)
sin 4x = 0
f'(x) = 0 
COS X = — 2
sin4x = 0 X = k —, k e z
1	4
, tĩ	„
cos X = — X = ±—I- Z2ti, L e z
3
Bài 17
Tính đạo hàm cha các hàm số sau:
a) y =	ỉ—	b) y =
COS 3x
c) y - (2 - X2) COS X + 2xsin X	d) y =
Giiii
COS
.Vx2 + 1 sin X - xcos X cos X + xsin X
Đáp số: a) y-' =
COS3 3x
b) y'
Đáp số:
\ II
a) y =
(l + x)a c) y” = -a2sinax
Bài 19
x(Vx2 + 1 sin ạ/x2 + 1 + COS -ựx2 +1
Tính đao hàm
cấp hai cua các hàm sô sau:
1
, 1
a) y = —-—
b) y =	
x + 1
x(l-x)
c) y = sinax
-
(a là hằng sô )	d) y - sin2 X
c) y’ = x2sinx
Bài 18
(cos X + xsin x)
Giải
y = —7 + ———- X3 (1-x)3
cl) y” = 2cos2x
Cho hàm sô
f(x) = X3 + bx2 + cx + d	(C)
Hãy xác định các số b, c, d biết rằng đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đi qua các điểm (-1; -3), (1; -1) và f - 0-
Giải
, _	1. „ _ n. , _	3
Đáp số:	b = - —; c = 0; d =	•
Bài 20
Cho các hàm số
f(x) = X3 + bx2 + cx + d g(x) = X2 - 3x + 1
5
(C)
Với các số b, c, d tìm được ở bài 19, hãy:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại diêm có hoành độ
X = -1.
Giải phương trình f’(sinx) = 0.
,. f"(sin 5x) + 1
Tìm lim—	—	
x-»0 g (sin3x) +'3
(hái
Đáp số:
.y = 4x + 1
X = kn; X = arcsin — + n2n; X = 71 - arcsin—+ m27i, (k,m,n e Z)
3
5
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI NĂM
ĐỀ SỐ 1 (60 phút)
Câu 1. (2điếm)
Giải các phương trình lượng giác:
cos2x + 5cosx = 2sin2x
(2sinx - cosx)(l + cosx) - sin2x
Câu 2. (3 điểm)
Cho:	f(x) - 2sin2x + sinx - 1
g(x) = 2sin2x - 3sinx + 1
a) Tính
<g(x)?
x->4 g(x)
,. f(x) lim—■—-
b) Tìm giới hạn
Câu 3, (2 điếm)
Hãy tính số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân. Biết rằng tổng cùa ba số hạng đầu bằng 10,õ và hiệu của số hạng thứ nhất trừ đi sô hạng thú' tư bằng 31,5.
Câu 4 (3 điếm)
Chọn ngầu nhiên một thẻ tư năm thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, 5. Kí hiệu: A là biên cố “Thẻ ghi số bé hơn 3 được chọn”.
B là biến cố “Thẻ ghi sô chẩn được chọn”.
Mô tá không gian mẫu.
Liệt kê các phần tử của A và B.
Vì sao A và B không xung khắc.
Tính P(A), P(B), P(A n B) và P(A u B).
ĐÁI’ ÁN
Câu 1. (2 điểm)
a) cos2x + 5cosx = 2sin2X'O COS2X + 5cosx - 2(1 - cos2x) = 0 3cos2x + 5cosx -2 = 0
Suy ra cosx = -2 (loại).
1
cos X = — o X = ±arccos 3
c lì
+ k27t,
keZ
b) (2sinx - cosx)(l + cosx) = sin2x
 (2sinx - cosxkl + cosx) - (1 - cos2x) = 0 o (1 + cosx)(2sinx - cosx - l + cosx) = 0
cosx = -1
1 » sin X = —
2
X = 7t + n2n
X = 77 + k2rt (n,k,meZ) 6
„ _ 'í71 ,
X = — + m2ĩt 6
Câu 2. (3điểm)
Vì 2sin2x + sinx - 1 = (sinx + l)(2sinx - 1) 2sin2x - 3sinx + 1 - (sinx - l)(2sinx - 1)
cho nên
-2cos X
(1 - sin x)2
a)
f(x) 2 sin2 X + sin X - 1 _sinx + l g(x) 2sin2 X - 3sin X + 1 sinx-1 f(x) Ỵ cosx(sinx-l)-cosx(sinx + l)
^gíxỤ	(sinx-1)2	(1
f’(x) = 4cosxsinx + cosx = 2sin2x + cosx f "(x) = 4cos2x - sin X => f "["2^ = -4 - 1 = -5 g’(x) = 4sinxcosx - 3cosx = 2sin2x - 3cosx g"(x) = 4cos2x + 3sin X => g" — - -4 + 3 = -1
f"(ệ)
g"(—)
° 2
,	f(x)	2sin2 X + sin X - 1
b) lim	= lim
X—>—	■	7
6
Suy ra 	— = 5
1 + -
= -3
2sin X + sinX - 1	sinx + 1	2
n —■—7——-— 	= lim —	 = -——
1 2sin2 X - 3sinX + 1.	x->- sin X - 1	2.1
(! 6 2
Câu 3. (2 điếm)
Uj (1 + q + q2 ) = 10,5 iqd - q'!) = 31,5
(1)
(2)
U1 + uLq + utq2 =10,5
ut - tqq3 = 31,5 Rõ ràng phai có q 1. Khi đó
u, =
31,5 1 - q:!
Thay vào (1):
Thay vào (2):
31,5
31,5
= -2
Kí hiệu Uị là số hạng đầu và q là công' bội của cấp sô nhàn. Theo giá thiết ta có:
— (1 + q + q2 ) = 10,5 ——— = 10,5
1 - q	. 1 ~ q
= 3,5
u I (1 + 8) — 31,5
u, =
31,5
Câu 4. (2,5 điểm)
Q = 11, 2, 3, 4, 5)
A = 11, 21, B = 12, 41
A n B = 12! nèn A và B không xung khắc
P(A) = 2, P(B) = Ì
5	5
P(A n B) = Ậ, A u B = (1; 2; 41, P(A u B) = 4 5	5
ĐỀ SỐ 2 (6o phút)
Câu 1. (2,5 điếm)
Cho f(x) = Vx i m I (X) = lim ,	= 5
 x->px	X ->+n
 + lOx - X
Tìm miền xác định của hàm số y = f(x)
Tìm các giới hạn lim f(x) và lim f(x)
Tính f(x)	x^+”	x_>““
Câu 2. (2,5 điếm)
Giả sử các số hạng của cấp số cộng Up u9, ... đều là số tự nhiên. Tìm cấp số cộng đó, biết rằng tổng chính là sô' hạng đầu tiên lớn hơn 200, bé hơn 220 và u., = 12.
ĐÁP ÁN
Câu 1. (2,5 điếm)
f(x) xác định bởi mọi X thỏa mãn bất đẳng thức
9	,	fx < -10
X2 + lOx > 0 
X > 0
Vậy miền xác định của y = f(x) là (-x; -10) u (0; +x).
/ 2 , ,	x2+10x-x2	lOx
Ta có:	+ lOx - X =	= —- ■■	
vx2 + lOx + X vx2 + lOx + X Khi X -» +■<, ta có thể coi X dương, nên
lOx
10
+ 1 Ox + X
H , 10 . ,
Do dó
Khi X -> -X, ta coi X luôn âm, nên: lOx	10
VA
+ lOx + X
-X./1+—+ x 1-J1 +
10
/1 + — + 1
Khi X -> -X, thì , 1 + — 0
Do đó lim f(x) = lim
X->-QO	X-
10
10
= +C0
c) f ’( X ) = íVx2 + lOx - X j
'	'	2a/x-
X
2x + 10
+ 10x
Câu 2. (2,5 điểm)
2Vx2 + lOx
+ 10x
Vã	1	.	_	7Ĩ 	 71
a) cos3x = -—cosx - —sinx cos3x = COS X. COS — - sin X sin — 2 2 6 6
 COS 3x = COS X + — I 3x = ± X 4— +k2n
3x = X + — + k2ĩi 2x = — + k2ĩt X = — + kx (ke Z)
6 6 12
3x = -X - — + h2ĩt 4x = - — + h2n X = --7— + h--(heZ)
6	6	24	2
b) 3 + 5sin2x = cos4x 3 + 5sin2x = 1 - 2sin22x
 2sin'22x + 5sin2x + 2 = 0
Đặt t = sin2x, ta có phương trình 2t2 + 5t + 2 = 0 với điều kiện Ịt| - 1- Giải phương trình bậc hai, ta được:	= -2 (loại), t2 -
Suy ra
_	1	.	. I 71
sin 2x - -— sin 2x = sin - —
2 16.
2x = -— + k2n
6
7tĩ „ 2x = —— + k2ĩt
6
71
+ kn
12
_ 771 ,
X = —- + kft
12
(k e Z)
Câu 3. (2,5 điềm)
Gọi d là công sai, ta có:
Sy = 9(ut + 4d)
u2 = Uj + d = 12 => Uj = 12 - d Do dó Sy = 9(12 + 3d) = 108 + 27d Mặt khắc 200 < 108 + 27d < 220
92	112	11	4
 — < cl < — » 3-7 < d < 4 —- 27	27	27	27
Vì d và Uu là các số tự nhiên cho nèn d = 4 và ut = 12 - d = 12 - 4 = 8. Vậy cáp sô cộng phải tìm là 8, 12, 16, 20,...