Giải Toán 11: Vấn đề 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

  • Vấn đề 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm trang 1
  • Vấn đề 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm trang 2
  • Vấn đề 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm trang 3
  • Vấn đề 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm trang 4
  • Vấn đề 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm trang 5
  • Vấn đề 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm trang 6
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
VẤN ĐỀ 1. ĐINH NGHĨA VÀ
Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
A. Kiến thức cần nhớ
Đạo hàm của hàm sô'tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trèn khoảng (a; b) và x0 e (a; b). Lấy ;\x là một số sao cho x0 + Ax G (a; b); Ax được gọi là số gia của biến số tại điểm Xg.
Hiệu f(x0 + Ax) - f(x0), kí hiệu là Ay, được gọi là số gia cùa hàm số tại điểm x0 ứng với sô' gia Ax. Vậy
Ay = f(x0 + Ax) - f(x0).
Định nghĩa
Cho hàm sô' y = f(x) xác định trên khoáng (a; b) và Xg e (a; b).
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f(x0) hay y’(x0)),
là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số giữa số gia của hàm sô Ay và sô gia của biến sô' Ax tại điểm XQ khi sô' gia của biến sô' dần tới 0, tức là
f' = Ịini.êr - Ii™f(	,x?-flx,,)-
Ax->0 Ax Ax->0	Ax
Ghi nhớ:
Đề tìm đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 theo định nghĩa, ta cần thực hiện hai bước sau đây:
Bước 1: Tính Ay theo công thức Ay = f(x0 + Ax) - f(x0);
,	1- Ay
Bước 2: Tìm giới hạn Ịim.
Đạo hàm của hàm sô'trên khoảng
Trong chương này, ta kí hiệu J là một khoảng hoặc là hợp những khoảng nào đó.
Định nghĩa
Hàm số y - f(x) được gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm tại mỗi điếm Xq bất kì thuộc J.
Khi đó, ta có một hàm sô xác định trên J gọi là đạo hàm của hàm sô y = f(x) và kí hiệu là y’ hay f(x).
Định lí
Với mọi x e R, ta có
Nếu f(x) = c (c là hàng số) thì f(x) = 0;
Nếu f(x) - X thì f(x) = 1;
Nếu f(x) = x" (n s N, n > 2) thì f(x) = nx11-1;
Nếu f(x) = Vx (x > 0) thì f"(x) = •-Ẳ=.
•	-	. , ,	,	.	2ýx
Y nghía hình học của dạo hàm
Đạo hàm cua hàm sò y = f(x) tại diêm x0 là hệ số góc của tiêp tuyên của đồ thị hàm số đó tại điểm M0(x0; f(x0).
Ghi nhớ:
Nêu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ctó tại điểm M0(x0; f(x(J)) là
y = f(x„)(x - x0) + f(x0).
f =
Ay
V = 2Ax, — = 2
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
Tìm sò gia của hàm số f(x) = X3
biết rằng:
a) x0 = 1; Ax = 1
b) x0 = 1
; \x = -0,1
a) f(2) - f(l) = 23 - l3 = 7
(hai
' Ay
Tính Ay và	-
cua các hàm số sau theo X và Ax:
A
a) y = 2x - 5
b) y = X2 - 1
1
c) y = 2x3
d) y = -
L
X
b) f(0,9) - f(l) =
Bài 2
729 _1	-271
1000
1000
-0,271
(há i
Ay = 2Ax, -- = 2
Ax Ay
Ay - Ax(2x + Ax); = 2x + Ax
Ax	Av
Ay = 2Ax(3x" + 3xAx + (Ax)"	= 6x2 + 6xÀx + 2(Ax)~
A_ -Ax Ay -1 Ax đ) Ay = —;	Ạ—■— = ————
x(x + Ax) Ax x(x + Ax)
Bài 3
Tính (bằng định nghĩa) đạo đã chi ra:
hàm cua mỗi hàm sô sau tại các diêm
1
b) y - — tai X,. - 2;
X- •	1
a) y = X2 + X tai X,. = 1;
X + 1
c) y -	, tai X., = 0.
X - 1
(hai
a) .3
b)
c) -2
Bài 4
(x - 1)" nêu X > 0
f(x) =
Chứng minh rằng hàm sô
nếu X < 0
không có đạo hàm tại diem X - 0 nhung có dạo hàm tại diem X = 2.
Ta có lim f(x) = lim(x - 1)" = 1 và lim f(x) = lim(-x)" = 0.
X ->•>■*■	x->i7	x->~	x-»l»-
Vậy hàm số y = f(x) gián đoạn tại X = 0. Từ đó suy ra hàm sò đó không có đạo hàm tại X = 0.
f(2 + Ax)-f(2)	(1 + Ax)--12
Ta có	lim --—-——	= lim --— 	—
Ax-»0	Ax	Ax
= lim<2 + Ax) = 2
Ax —>• 1
Vậy hàm sô y = f(x) có đạo hàm tại X = 2 và f(2) = 2.
Bài 5
Viết phương ttình tiếp tuyến cua dường cong y = X3
Tại diêm (-1; -1);
Tại điếm có hoảnh độ bằng 2;
Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
V	?
Giải
Lưu ỷ: Cần tính hệ số góc bằng định nghĩa.
K = f(x0)
Đáp số:	a) y = 3x + 2	b) y = 12x - 16
y = 3x + 2 và y = 3x -2
Bài 6
Tr.^	.	7 - 77 -	.. 1
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y = —
<1	3	x
Tại điểm I 9 >2 I;
Tại điểm có hoành độ bằng -1;
Biết rằng hệ số góc của tiêp tuyên bàng -7.
	4	
Giiíi
Hướng clẫn:
Ap dụng công thức phương tr-ình tiếp tuyến cua đường cong.
Đáp số:
a) y = -4(x - 1) b) y = -(x + 2) c) y - - — + 1 và y - --- - 1
Bài 7
' —	\	'	■ ■	■	—'	ĩ ~	~	~~
Một vật rơi tự do theo phương trình s = ^gt . trong dó g = 9,Sm/s2 là gia tốc trọng trường.
Tìm vận tóc trung bình của chuyên động trong khoáng thời gian tư t (t = 5s)‘-đến t + At, trong các trường hợp \t = o,ls; At = O,Oõs; \t = 0,00 ls.
Tìm vận tốc tức thời của chuyên động tại thời điểm t = õs.
Giái
Hướng dẫn: Áp dụng ý nghĩa vật lí của đạo hàm.
Đáp sô":
49,49m/s;	49,245m/s;	49,005m/s
49m/s
c. Bài tập bố sung
Bài 1
'	”7=	
Cho hàm sô" y = yx
Chứng minh rằng y '(x) = 7“—^ (x * 0).
,	3yx2 	
Giải
Ta phải chứng minh:
Với x0 bất kì thuộc RvàXgíO thì y'(x0) = - -——■ ■
Tính Ay	_	3VXO
Ay - 3/x„ + Ax - lj/xj
(VXO + Ax - Ựx7)^(x„ + Ax)- + ^x./x,, + Ax)^)
ự(x„ + Ax)2 + ^x,)(x0 + Ax) +
Ax
\/(x„. + Ax)2 + ^(x.jAx) + ựx|
Tìm giới hạn
Ay	1	1
lim. = im, r—==—7-—	 =—7==- = —7= = y (X<)1
Ax->0 Ax Ãx-4Ỏ 3ẠX(1 + Ax)2 + ^Xi)(Xo +Ax) +	3^2
Bài 2
Cho hàm số
f(x) = X3 (??).
Tại những điếm nào của (ỉ?) thì tiếp tuyến của (Ê?) có hệ số góc bằng 1?
Liệu có tiếp tuyến nào của (ễ”) mà tiếp tuyến đó có hệ số góc âm?
f-Vs -Vsi
a)
1 3 ; 9 J
và
< 3 ; 9 J
Giái
b) Muốn có tiếp tuyên của đồ thị hàm sô" y = X3 mà hệ sô góc của tiếp tuyến đó âm thì phái tồn tại điểm x0 sao cho f(x0) 0 ( V X e R); vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm sô đã cho mà hệ sô" góc cùa nó âm.
Bài 3
Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo. hàm và tính đạo hàm nèu có của các hàm số sau đây trên R.
a) f(x) =
c) f(x)=
X2 - X + 2 khi X < 2
khi X > 2
b> f(x) =
.X — 1 X2 + 1 khi X 0
X2 + X khi X < 1 2 lx
khi X > 1
Giai
a) • Với X < 2 thì f(x) = X2 - X + 2 là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là f(x) = 2x - 1.
Với X > 2 thì f(x) = ——7 là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là 1
X-1 f'(x) =
• Với X = 2 thì ta có
(x-1)2
lim f(x) = lim(x2 - X + 2) = 4 và lim f(x) = lim —
x-»2~	X—>2	x-»2+	x->2+ X - 1
Do đó lim f(x) lim f(x), suy ra không tồn tại lim f(x), tức là hàm số
x->2~	x->2+	-
không liên tục tại điểm X = 2, nên nó cũng không có đạo hàm tại điểm này. b) Tương tự như bài a), dề dàng chứng minh rằng hàm số đã cho liên
tục và có đạo hàm với mọi X TÍ 1 và 2x + 1 kihi X < 1
f,(x)= _JL Vbi V ^1
	7 khi X > 1
I X \
Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm tại diêm X = 1. Vì lim f(x) = lim f(x) = 2 = f(1)
\->l“	x-»l +
nên hàm sô' đã cho liên tục tại X = 1.
Mặt khác ta có
f(x)-f(l)	(x2+x)-2
= 1.
lim
X-»1'
và
Do đó
lim
X->1+
lim
x-1
f(x) - f(l)
X —1
f(x)-f(l)
= lim —— 	= lim(x + 2) = 3
X—>1"	X 1	X—»1
--2
- lim ——— - lim
x~>ừ X — 1	x->t +
-2.
x->r X -1	..	X -1
Suy ra hàm số đã cho không có đạo hàm tại điểm X = 1.
c) Chứng minh tương tự như trên, ta thấy hàm số đẳ cho liên tục và
có đạo hàm tại mọi diêm X * 0 và
2x khi X < 0
f'(x) =
Xét tính liên tục và sự tồn tại dạo hàm tại điếm X - 0. Ta có	lim f(x) = lim f(x) = 1 = f( 1)
X ->p	X >0'
Suy ra hàm sò f(x) liên tục tại điểm X = 0.
Mặt khác ta có:
1:	f(x)-f(0)	(X2 +D-1
11 m	= 11 m	= 11 m X = ()
o X
fix) - f(0)	(-X3 + 1) - 1	2
lim	— = lim	= lim(-X ) = 0
X-»(I' X — 0	x-»0*	X	x->0*
f(x) - f(0) lim ————- = 0 x-><’ X - 0
và
x--»0' X — 0	x-»0 o X	x->0
Suy ra hay f(0) = 0
f’(x) -
-3x2 khi X > 0
Vậy với mọi X e R, hàm số đã cho có đạo hàm và 2x khi X < 0
D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm xo đã chỉ ra:
a) y = 2x + 1 tại xo = 2	b) y = X2 + 3x tại X(J = 1.
Bài 2
a) y - ax + 3
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điếm x(. tùy ý thuộc R a là hàng sô):
b) y = — ax 2
Bài 3
Tính đạo hàm của các hàm số sau trên R:
a) y = ax2 (a là hằng số)	b) y = X3 + 2
Bài 4
Tính dạo hàm cua các hàm sò sau:
1 1 ,	
a1 y - 9x _ J vơ1 x * 9	b) y - ạ/b - X với X < 3
Bài 5
Viết phương trình tiếp tuyến cua đồ thị hàm số y = x;i, biết
Tiếp điểm có hoành độ bằng -1.
Tiếp điểm có tung dộ bằng 8.
Hệ số góc cua tièp tuyến bằng 3.