Giải Toán 11: Vấn đề 4. Vi phân
VẤN ĐỀ 4: VI PHÂN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khái niệm vi phân Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm X. Ta có: f'(x)= lim — Ax-»o Ax Nếu |Ax| khá nhỏ thì f'(x)«4r Ax hay Ay « f'(x).Ax (1) Tích f(x).Ax, kí hiệu df(x), đứợc gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm X ứng với số gia Ax đã cho. Vậy df(x) = f(x).Ax CHÚ Ý Áp dụng định nghĩa vi phân vào trường hợp f(x) = X, ta được dx = (x)’Ax = Ax. Vậy ta có thề viết vi phân của hàm số y = f(x) dưới dạng df(x) = = f(x)dx hay dy = y’dx. ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng Nếu |Ax| khá nhỏ và nếu xét tại điểm x0 thì từ (1) suy ra Ay « f(x0)\x = df(x0) tức là f(x0 + Ax) - f(xo) = f(x0)Ax hay f(x0 + Ax) - f(xo) + f(xo)Ax (2) Đó là một công thức tính gần đúng rất đơn giản. Nếu \x càng nho thì công thức này cho kết quả càng chính xác. B. BÀI TẬP Bài 1 [ Áp dụng công thực (2), hãy tính gần dũng giá trị sin30"30’. ) Giai Xét hàm sô' f(x) - sinx (x được tính bằng radian), ta có f(x) - cosx. 71 in , 71 Đăt xo - ~~ 77 - 30 và Ax = —— • 6^6 J 360 Ap dụng công thức (2), ta được 71 360 f 7 + 77- * f n +f’ T -777 <6 360j <6j W 3e 1-IAV sin 30°30' « sin — + COS — y 6 < 6 a/Õ Vậy sin30°30'«-7 + 2 360 71 '360 Bài 2 Tính vi phân của các hàm số sau: a) y = ——— (a và b là các hằng số) ạ + b c) y = X2 +.sin2x b) y = xsinx d) y = tg3x a) ” 7=dx 2(a + b)Vx c) (2x + sin2x)dx Bài 3 Giải b) (sinx + xcosx)dx 0 cũn2 V d) ~S1.rc xdx (hoặc 3tg2x(l + tg2x)dx) COS X Áp dụng công thức (2), hãy tính gần đúng các số sau đây: 1 a) 0,9995 b) ựo, 996 c) cos45°30' Giải a) Xét hàm số f(x9 = —, ta có f (x) = —— X _ X Đặt x0 = 1, Ax = -0,0005 và áp dụng công thức gần đúng 1 f(x0 + Ax) 55 f(xồ) + f(x0)Ax ta được 1 1 , 1 y.Ax hay 1 + 0,0005 = 1,0005 x0+Ax x0 x; u, yyyo 55 0,998. Gọi ý. Xét hàm số f(x) = Vx; đặt x0 = 1 và Ax = -0,004 71 4 71 Xét hàm số f(x) - cosx, ta có f(x) - -sinx. Đặt x0 = —; Ax = 4„- 360 7t x (vì =30 ) và áp dụng công thức'gàn đung trên, ta được 360 7Ĩ 0,9995 -• ( 71 71 5 71 . ^71? COS — 4- ■ « COS sin <4 360y _4 _ Vậy cos45°30' « —— -7— 2 2 360 360 « 0,7009 Giái Đặt y - sinx, ta có y’ = cosx c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Tính gần đúng các số sau: a) cosl51° b) cos61° tg44° d) sin31° Bài 2 Chứng minh rằng với |x| rất bé so với a > 0 (|x| < a) ta có: Va'2 + X « a + -7— (a > 0) 2a Áp dụng công thức trên, hãy tính gần đúng các số sau: a) Võ b) V34 c) VĨ2Õ