Giải Toán 11: Vấn đề 4. Vi phân

  • Vấn đề 4. Vi phân trang 1
  • Vấn đề 4. Vi phân trang 2
  • Vấn đề 4. Vi phân trang 3
VẤN ĐỀ 4: VI PHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khái niệm vi phân
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm X. Ta có:
f'(x)= lim —
Ax-»o Ax
Nếu |Ax| khá nhỏ thì
f'(x)«4r
Ax
hay Ay « f'(x).Ax	(1)
Tích f(x).Ax, kí hiệu df(x), đứợc gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm X ứng với số gia Ax đã cho. Vậy df(x) = f(x).Ax
CHÚ Ý
Áp dụng định nghĩa vi phân vào trường hợp f(x) = X, ta được dx = (x)’Ax = Ax.
Vậy ta có thề viết vi phân của hàm số y = f(x) dưới dạng df(x) = = f(x)dx hay dy = y’dx.
ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
Nếu |Ax| khá nhỏ và nếu xét tại điểm x0 thì từ (1) suy ra Ay « f(x0)\x = df(x0)
tức là f(x0 + Ax) - f(xo) = f(x0)Ax
hay f(x0 + Ax) - f(xo) + f(xo)Ax	(2)
Đó là một công thức tính gần đúng rất đơn giản. Nếu \x càng nho thì công thức này cho kết quả càng chính xác.
B. BÀI TẬP
Bài 1
[ Áp dụng công thực (2), hãy tính gần dũng giá trị sin30"30’.	)
Giai
Xét hàm sô' f(x) - sinx (x được tính bằng radian), ta có f(x) - cosx.
71 in	,	71
Đăt xo - ~~ 77 - 30 và Ax = ——
•	6^6 J	360
Ap dụng công thức (2), ta được
71
360
f 7 + 77- * f n +f’ T -777 <6	360j	<6j W 3e
1-IAV sin 30°30' « sin — + COS — y 6 < 6
a/Õ
Vậy sin30°30'«-7 +
2 360
71
'360
Bài 2
Tính vi phân của các hàm số sau:
a) y = ——— (a và b là các hằng số) ạ + b
c) y = X2 +.sin2x
b) y = xsinx d) y = tg3x
a) 	”	7=dx
2(a + b)Vx
c) (2x + sin2x)dx
Bài 3
Giải
b) (sinx + xcosx)dx
0 cũn2 V
d) ~S1.rc xdx (hoặc 3tg2x(l + tg2x)dx) COS X
Áp dụng công thức (2), hãy tính gần đúng các số sau đây: 1
a)
0,9995
b) ựo, 996
c) cos45°30'
Giải
a) Xét hàm số f(x9 = —, ta có f (x) = ——
X _	X
Đặt x0 = 1, Ax = -0,0005 và áp dụng công thức gần đúng
1
f(x0 + Ax) 55 f(xồ) + f(x0)Ax
ta được
1 1 , 1 	y.Ax hay
1 + 0,0005 = 1,0005
x0+Ax x0 x;	u, yyyo
55 0,998. Gọi ý. Xét hàm số f(x) = Vx; đặt x0 = 1 và Ax = -0,004
71	4	71
Xét hàm số f(x) - cosx, ta có f(x) - -sinx. Đặt x0 = —; Ax =
4„-	360
7t	x
(vì	=30 ) và áp dụng công thức'gàn đung trên, ta được
360
7Ĩ
0,9995
	 -•
( 71	71 5
71	.
^71?
COS
— 4-	■
« COS	sin
<4	360y
_4 _
Vậy cos45°30' « ——	-7—
2	2 360
360
« 0,7009
Giái
Đặt y - sinx, ta có y’ = cosx
c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1
Tính gần đúng các số sau: a) cosl51°	b) cos61°
tg44°	d) sin31°
Bài 2
Chứng minh rằng với |x| rất bé so với a > 0 (|x| < a) ta có:
Va'2 + X « a + -7— (a > 0)
2a
Áp dụng công thức trên, hãy tính gần đúng các số sau: a) Võ	b) V34	c) VĨ2Õ