Giải Toán 11: Vấn đề 2. Phương trình lượng giác cơ bản

  • Vấn đề 2. Phương trình lượng giác cơ bản trang 1
  • Vấn đề 2. Phương trình lượng giác cơ bản trang 2
  • Vấn đề 2. Phương trình lượng giác cơ bản trang 3
  • Vấn đề 2. Phương trình lượng giác cơ bản trang 4
  • Vấn đề 2. Phương trình lượng giác cơ bản trang 5
  • Vấn đề 2. Phương trình lượng giác cơ bản trang 6
VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ BẦN
Giải phương trình:
Bài 2
Giải các phương trình: _ 2
a) cos(x - 1) = —
■
e) cost 2 íc
Bài 3
Giải phương trình:
Bài 4
Cách giải:
Chia 2 vế phương trình cho Va2 + b2 * 0.
3-	b
Đặt cos a =	- và sin a = -	- với a e [0,27ĩ].
Va2 + b2	Va2 + b2
c
Va2 + b2
I 2 I 2
Va + h
A. Kiến thức cần nhớ
Các phương trình sinx = m và cosx = m vô nghiệm khi in > 1 và có
vô số nghiệm khi |m| <1.
X = a + k27t	,.11
với m < 1 và sin a = m
X = 71 - a + k27i
x = a + k27i ,.11
với m < l.và cos a = in
X = -a + k2n
. sin X = m 
. cos X = m 
tanx = m o X = a + 1<71, với tana = Ill
cotx - m X = a + kit, với cota - m
B. Giải hài tập sách giáo khoa
Bà i 1
Giái các phương trình sau:
b) sindx = 1
c) sin
. (2x kA in „ - „ = I 3 3j
/3
sin(2x + 20") - - —7- 2
Giải
X = arcsin 4 - 2 + k2K • X = K - arcsin 4 - 2 + k2K
X = -40° + k,180°; X = 110° + kl80°
Chú ý: Từ nay về sau kí hiệu k chỉ các sô nguyên tùy ý (k 6 Z).
Bài 2
X = kK
sin 3x - sin X 
Với những giá trị nào của X thì giá trị của các hàm sô y = sin3x và y = sinx bằng nhau?
2
a) X - 1 ± arccos “ + k2K;
3	’
11k , 4k	5k , 4k
c) X = —— + k ——, X = - —— + k ——
7	18	3	18	3
b) X = ±4° + kl20°
. K ,	K
X = ± 7-+ kx, x = ± ---+ KK
6	3
Bài 4
Giải phương trình sau:
2cos2x
1 - sin 2x
Điều kiện: sin2x 5É 1
Giiii
COS 2x = 0 
2x = 77 + 1<2k
2
2x = -4 + k2K
2
X = -7 + kx
4
7T ,
X = - — + kK
4
Giải các phương trình sau:
a) cos(x - 1) = 1
b) cos3x = cosl2°
<3x kA	1
1
c) COS —— — — = —
7	V 2	4 ;	2
d) cos 2x = —
4
Bài 3
Giải
3x = X + k2K 3x = K - X + k2K
K , K X = -7 + k 77
4	2
Giải
Giá trị — + kK bị loại do điều kiện. 4	•	•
Bài 5
Giãi các phương trình sau:
8
73
a) tan(x-15”) = y-
b)
cot(3x - 1) = -73
c) cos2x tanx = 0
d)
sin3x cotx = 0
Giải
X = 45° + kl80°
1	5n	, 71
x = — + —r + k^r
3	18	3
,	... lĩ , , 71
Điều kiện: cosx * 0. Đáp sô: X — —- + K , X — K7C
......	„ .	..	7t 1	, 7Ĩ
cl) Điều kiện; sinx *■ 0. Đáp số: X - — + krc, X - k —
Bài 6
Với những giá trị nào của X thì giá trị của các hàm sô y = tan và y = tan2x bằng nhau?
Giải
tan
= tan 2x 2x = — -x + k7Cx = T|- + k — 4	12	3
Bài 7
Giải các phương trình sau: a) sin3x - cosõx - 0
b) tanSxtanx = 1
a)
(n	'ì
71
—-3x
 5x = ±
— - 3x
Is J
Giai
+ k27i
b) tan3x tanx = 1 Điều kiện: cos3x * 0, cosx * 0 tan3x tanx =:! tan 3x =
8x = -- + k27ĩ 2
2x = -77 + k27i
2
71	, 71
X = — + k —
16	4
X = —- + kTĩ
4
tanx
 tan3x = tan
 tan3x = cotx
< t 71	, 	71	71
3x = —- x + k7ix = — +k — 2	8	4
Bài 1
c. Bài tập bổ sung
Tìm nghiệm cua các phương trình sau trong khoảng đã cho:
sin2x = với 0 < X < 77
73	.
cos(x - 5) = —— VỚI - 71 < X < 71
2
Giili
a) Cách 1: Với 0 < X < 77, ta có 0 < 2x < 277. Với điều kiện đó:
771
Cách 2: Ta có:
sin 2x =	
2
2x = —
x 6
2x = Vĩ
12 1 177
~L2
2x = --- + k277
6
2x =	+ R2ti
6
X =	+ k77
12
,	777 r 1,„
X = —- + k77
12
Xét điều kiện 0 < X < 77, ta có:
„	77	'	 1	,	1
u — < k < — + 1. Chi CÓ một giá trị k nguyên 7	 77
thỏa man điẽu kiện này là k = 1. Vậy trong các giá trị X =	• + k77 chi
1177	l2
có X —	——	(ứng với	k -	1) là	thoa mãn	điều	kiện 0	<	X < 77.
.	V .	.	-	..	....	7ĩI .	,
lương tự,	trong các	giá	trị X	- —• +	k77	chi	c 0	X	=	—— (ứng với k = 0)
là thỏa	mãn điều kiện	0 <	X < 77.
Kẽt luận: X = —— và X = ——
12 12
X - 5 = -- + k277
6
Vs.
b) cos(x - 5) = —— 	"	
2	_	77	, „
X - 5 = -— + k277
Tìm k dê điêu kiện -77 < X < 77 dược thóa mãn. Xét họ nghiệm thú' nhãt:
77
X - -7 + 5 + k27ĩ 6
X -	+ 5 + k277
6
77
-71 < -7 + 5 + k277 <77 eo -777 - 30 < 12k77 < 577 - 30 6
7	30 k < —
< k ; 30
7	30	5	30	12 1271 < k < 12 ” 1271
Vì -1,38 < — 	— <—	-— < -0,37 vàk e z nén -1,38 < k < -0,37
12 1277	12 1277
1 171
Chỉ có một giá trị k nguyên thỏa mãn k = -1.
Ta có nghiệm thứ nhất cua phương trình là X - — + h - 271 - □
Tương tự, xét họ nghiệm thu hai:
7Ị
-71 —571 - 30 < 12k7t < 771 - 30. Vậy k = -1.
6 1
71	r
Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là X = - — + õ - 2n = õ —.
_ llrc .	" 1371	6
Kết luận: X — 5	— và X - õ	—
o	6
Bài 2
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1-COSX	sin(x-2)
a) y -	.	/-	b) y -
c) y
2sin X + V2 tan X
1 + tan X
d) y
cos 2x - cos X 1	7_
\3 cot 2x + 1
Giái
Ta phải có sin X —— tức là X* -y + k27t và X — + k27i.
,2 r	4	4
Vậy tập xác định của hàm sô đã cho là
2) = R \ 1	+ k27t k e z, m = 1; 3 •
4
Điều kiện là cos2x - cosx * 0, tức là 2cos2x - cosx - 1 * 0. Ta có:
cos X = 1 Tx = 1<2ti
2 cos2 X - cosx -1 = 0»
cosx =
,271, o X = ±— + k27ĩ
3
Sử dụng đường tròn lượng giác, dễ thấy có thể kêt hợp các họ 2tx	_
nghiệm này thành một họ nghiệm X = k——. Vậy hàm sò đã cho 271	3
xác định với x * k— ó
c) 2) = R \ -
rí
+
1
k e z ■
4
Tập xác định là 2) = R \
Bài 1
Giai các phương trình:
271
^k——
k e z >
3
71	, 7Ĩ
J__+ k_
k e z
6 2
d) 2) = R \
D. Bài tập đề nghị
sin(x + 2) = -ỉ-
a) sin(x + 2) = —
3
c)
b) sin3x = 1
d) sin( 2x + 20" )
b) cos3x = COS12°
cl) COS 2x = —
4
2cos2x - 3cosx +1 = 0