Giải Toán 11: Vấn đề 2. Phương trình lượng giác cơ bản
VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ BẦN Giải phương trình: Bài 2 Giải các phương trình: _ 2 a) cos(x - 1) = — ■ e) cost 2 íc Bài 3 Giải phương trình: Bài 4 Cách giải: Chia 2 vế phương trình cho Va2 + b2 * 0. 3- b Đặt cos a = - và sin a = - - với a e [0,27ĩ]. Va2 + b2 Va2 + b2 c Va2 + b2 I 2 I 2 Va + h A. Kiến thức cần nhớ Các phương trình sinx = m và cosx = m vô nghiệm khi in > 1 và có vô số nghiệm khi |m| <1. X = a + k27t ,.11 với m < 1 và sin a = m X = 71 - a + k27i x = a + k27i ,.11 với m < l.và cos a = in X = -a + k2n . sin X = m . cos X = m tanx = m o X = a + 1<71, với tana = Ill cotx - m X = a + kit, với cota - m B. Giải hài tập sách giáo khoa Bà i 1 Giái các phương trình sau: b) sindx = 1 c) sin . (2x kA in „ - „ = I 3 3j /3 sin(2x + 20") - - —7- 2 Giải X = arcsin 4 - 2 + k2K • X = K - arcsin 4 - 2 + k2K X = -40° + k,180°; X = 110° + kl80° Chú ý: Từ nay về sau kí hiệu k chỉ các sô nguyên tùy ý (k 6 Z). Bài 2 X = kK sin 3x - sin X Với những giá trị nào của X thì giá trị của các hàm sô y = sin3x và y = sinx bằng nhau? 2 a) X - 1 ± arccos “ + k2K; 3 ’ 11k , 4k 5k , 4k c) X = —— + k ——, X = - —— + k —— 7 18 3 18 3 b) X = ±4° + kl20° . K , K X = ± 7-+ kx, x = ± ---+ KK 6 3 Bài 4 Giải phương trình sau: 2cos2x 1 - sin 2x Điều kiện: sin2x 5É 1 Giiii COS 2x = 0 2x = 77 + 1<2k 2 2x = -4 + k2K 2 X = -7 + kx 4 7T , X = - — + kK 4 Giải các phương trình sau: a) cos(x - 1) = 1 b) cos3x = cosl2° <3x kA 1 1 c) COS —— — — = — 7 V 2 4 ; 2 d) cos 2x = — 4 Bài 3 Giải 3x = X + k2K 3x = K - X + k2K K , K X = -7 + k 77 4 2 Giải Giá trị — + kK bị loại do điều kiện. 4 • • Bài 5 Giãi các phương trình sau: 8 73 a) tan(x-15”) = y- b) cot(3x - 1) = -73 c) cos2x tanx = 0 d) sin3x cotx = 0 Giải X = 45° + kl80° 1 5n , 71 x = — + —r + k^r 3 18 3 , ... lĩ , , 71 Điều kiện: cosx * 0. Đáp sô: X — —- + K , X — K7C ...... „ . .. 7t 1 , 7Ĩ cl) Điều kiện; sinx *■ 0. Đáp số: X - — + krc, X - k — Bài 6 Với những giá trị nào của X thì giá trị của các hàm sô y = tan và y = tan2x bằng nhau? Giải tan = tan 2x 2x = — -x + k7Cx = T|- + k — 4 12 3 Bài 7 Giải các phương trình sau: a) sin3x - cosõx - 0 b) tanSxtanx = 1 a) (n 'ì 71 —-3x 5x = ± — - 3x Is J Giai + k27i b) tan3x tanx = 1 Điều kiện: cos3x * 0, cosx * 0 tan3x tanx =:! tan 3x = 8x = -- + k27ĩ 2 2x = -77 + k27i 2 71 , 71 X = — + k — 16 4 X = —- + kTĩ 4 tanx tan3x = tan tan3x = cotx < t 71 , 71 71 3x = —- x + k7ix = — +k — 2 8 4 Bài 1 c. Bài tập bổ sung Tìm nghiệm cua các phương trình sau trong khoảng đã cho: sin2x = với 0 < X < 77 73 . cos(x - 5) = —— VỚI - 71 < X < 71 2 Giili a) Cách 1: Với 0 < X < 77, ta có 0 < 2x < 277. Với điều kiện đó: 771 Cách 2: Ta có: sin 2x = 2 2x = — x 6 2x = Vĩ 12 1 177 ~L2 2x = --- + k277 6 2x = + R2ti 6 X = + k77 12 , 777 r 1,„ X = —- + k77 12 Xét điều kiện 0 < X < 77, ta có: „ 77 ' 1 , 1 u — < k < — + 1. Chi CÓ một giá trị k nguyên 7 77 thỏa man điẽu kiện này là k = 1. Vậy trong các giá trị X = • + k77 chi 1177 l2 có X — —— (ứng với k - 1) là thoa mãn điều kiện 0 < X < 77. . V . . - .. .... 7ĩI . , lương tự, trong các giá trị X - —• + k77 chi c 0 X = —— (ứng với k = 0) là thỏa mãn điều kiện 0 < X < 77. Kẽt luận: X = —— và X = —— 12 12 X - 5 = -- + k277 6 Vs. b) cos(x - 5) = —— " 2 _ 77 , „ X - 5 = -— + k277 Tìm k dê điêu kiện -77 < X < 77 dược thóa mãn. Xét họ nghiệm thú' nhãt: 77 X - -7 + 5 + k27ĩ 6 X - + 5 + k277 6 77 -71 < -7 + 5 + k277 <77 eo -777 - 30 < 12k77 < 577 - 30 6 7 30 k < — < k ; 30 7 30 5 30 12 1271 < k < 12 ” 1271 Vì -1,38 < — — <— -— < -0,37 vàk e z nén -1,38 < k < -0,37 12 1277 12 1277 1 171 Chỉ có một giá trị k nguyên thỏa mãn k = -1. Ta có nghiệm thứ nhất cua phương trình là X - — + h - 271 - □ Tương tự, xét họ nghiệm thu hai: 7Ị -71 —571 - 30 < 12k7t < 771 - 30. Vậy k = -1. 6 1 71 r Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là X = - — + õ - 2n = õ —. _ llrc . " 1371 6 Kết luận: X — 5 — và X - õ — o 6 Bài 2 Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1-COSX sin(x-2) a) y - . /- b) y - c) y 2sin X + V2 tan X 1 + tan X d) y cos 2x - cos X 1 7_ \3 cot 2x + 1 Giái Ta phải có sin X —— tức là X* -y + k27t và X — + k27i. ,2 r 4 4 Vậy tập xác định của hàm sô đã cho là 2) = R \ 1 + k27t k e z, m = 1; 3 • 4 Điều kiện là cos2x - cosx * 0, tức là 2cos2x - cosx - 1 * 0. Ta có: cos X = 1 Tx = 1<2ti 2 cos2 X - cosx -1 = 0» cosx = ,271, o X = ±— + k27ĩ 3 Sử dụng đường tròn lượng giác, dễ thấy có thể kêt hợp các họ 2tx _ nghiệm này thành một họ nghiệm X = k——. Vậy hàm sò đã cho 271 3 xác định với x * k— ó c) 2) = R \ - rí + 1 k e z ■ 4 Tập xác định là 2) = R \ Bài 1 Giai các phương trình: 271 ^k—— k e z > 3 71 , 7Ĩ J__+ k_ k e z 6 2 d) 2) = R \ D. Bài tập đề nghị sin(x + 2) = -ỉ- a) sin(x + 2) = — 3 c) b) sin3x = 1 d) sin( 2x + 20" ) b) cos3x = COS12° cl) COS 2x = — 4 2cos2x - 3cosx +1 = 0