SGK Toán 8 - Bài 12. Chia đa thức một biến đã sắp xếp

§12. Chia đa thức một biến đã sắp xếp
Phép chia hết
Để chia đa thức (2x4 - 13x3 + 15x2 + llx - 3) cho đa thức (x2 - 4x - 3) ta làm như sau :
Đặt phép chia
2x4- 13x3+ 15x2+ llx-3
X - 4x - 3
Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia :
2x : X = 2x .
Nhân 2x với đa thức chia X - 4x - 3 rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích nhận được :
X - 4x - 3
2x
2x4- 13x3 + 15x2+ llx-3 2x4 - 8x - 6x
- 5x3 + 21x“ + 1 lx - 3
Hiệu vừa tìm được gọi là dư thứ nhất.
• Chia hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, cụ thể là :
c 3 .2
-5x :x = -5x.
Lấy dư thứ nhất trừ đi tích của - 5x với đa thức chia ta được dư thứ hai:
2x4 - 13x3 + 15x2 + i lx - 3
X2 - 4x - 3
4	3	2
2x - 8x - 6x
2x2 - 5x
- 5x3 + 21x2 + 1 lx - 3
- 5x3 + 20x2 +15x
X2- 4x-3
Thực hiện tương tự như trên, ta được :
2x4 - 13x3 + 15x2 + 1 lx - 3
X2 - 4x - 3
2x4- 8x3 - 6x2
2x2 - 5x + 1
- 5x3 + 21x2 + llx-3
- 5x3 + 20x2 + 15x
X2 - 4x - 3
X2- 4x-3
0
Dư cuối cùng bằng 0, ta được thương là 2x2 - 5x + 1. Khi đó ta có (2x4-13x3 + 15x2+ llx-3) : (x2 - 4x - 3) = 2x2 - 5x + 1,
Phép chia có dư bằng 0 là phép chia hết.
Kiểm tra lại tích (x2 - 4x - 3)(2x2 - 5x + 1) có bằng (2x4 - 13x3 + 15%2 + + 1 lx - 3) hay không.
Phép chia có dư
Thực hiện phép chia đa thức (5x3 - 3x2 + 7) cho đa thức (x2 + 1). Làm tưomg tự như trên, ta được :
5x3 - 3x2	+ 7 X2 + 1
5x3	+ 5x	5x - 3
- 3x2 - 5x + 7 -3x2	- 3
- 5x + 10
Đến đây ta thấy đa thức dư -5x + 10 có bậc bằng 1 nhỏ hofn bậc của đa thức chia (bằng 2) nên phép chia không thể tiếp tục được.
Phép chia trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư, -5x + 10 gọi là dư và ta có :
5x3 - 3x2 + 7 = (X2 + l)(5x - 3) - 5x + 10.
► Chú ý. Người ta chứng minh được rằng đối với hai đa thức tuỳ ý A và B của cùng một biến (B tồn tại duy nhất một cặp đa thức 0 và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B (R được gọi là dư trong phép chia A cho B).
Khi R-ũ phép chia A cho B là phép chia hết.
BÀI TẬP
Sắp xếp	các đa thức theo luỹ thừa	giảm dần của	biến rồi làm	phép	chia :
(X3 -	7x + 3 - X2): (x - 3);	b) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x):	(x2 - 2).
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện	phép chia :
(x2 +	2xy + y2) : (x + y);	b) (125x3 +	1) : (5x + 1);
(x2 -	2xy + y2): (y - x).
Cho hai đa thức : A = 3x4 + X3 + 6x - 5 và B = X2 + 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A - B . Q + R.
LUYỆN TẬP
Làm tính chia :
a) (25X5 - 5x4 + 10x2): 5x2 ;	b) (15x3y2 - 6x2y - 3x2y2): 6x2y.
Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không.
a) A = 15x4 - 8x3 + X2
A = X2 - 2x + 1 B = 1 - x.
Làm tính chia :
(2x4 + X3 - 3x? + 5x - 2) : (x2 - X + 1).
Tính nhanh :
a) (4x2 - 9y2): (2x - 3y);
(8x3 + 1): (4x2 - 2x + 1);
(27x - 1): (3x - 1);
(x2 - 3x + xy - 3y): (x + y).
z . 9 -	, '	_ 3	_ 2
74. Tìm số a đế đa thức 2x - 3x + X + a chia hết cho đa thức X + 2.