SGK Toán 8 - Bài 3. Hình thang cân

§3. Hình thang cân
Một dạng hình thang thường gặp : hình thang cân.
Định nghĩa
Hình thang ABCD (AB // CD) trên hình 23 có gì đặc biệt ?
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Tứ giác ABCD là hình thang cân AB // CD
(đáy AB, CD)	[c = D hoặc  = B
Hình 23
B
► Chú ý. Nếu ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) thì c = D và A = B. Cho hình 24.
Tìm các hình thang cân.
Tính các góc còn lại của mỗi hình thang cân đó.
3
c
1
Có nhận xét gì về hai góc đối của hình thang cân ?
Tính chất Định lí 1
Trong hình thang càn, hai cạnh bên bằng nhau.
GT ABCD là hình thang cân (AB//CD) KL AD = BC
Hình 25
Chứng minh. Xét hai trường hợp :
a) AD cắt BC ở o (giả sử AB < CD, h. 25):
ABCD là hình thang cân nên D = C, Ai = Bi.
Ta có D = C nên AOCD cân (hai góc ở đáy bằng nhau), do đó
Vậy AD = BC.
AD // BC (h. 26). Khi đó AD = BC (theo nhận xét ở §2 : hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau).	Hình 26
Hình 27
Chú ý. Có những hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không là hình thang cân. Chẳng hạn trên hình 27, hình thang ABCD (AB // CD) có hai cạnh bên bằng nhau (AD = BC) nhưng không là hình thang cân (vì D c).
Định lí 2
Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
GT ABCD là hình thang cân (AB//CD) KL AC = BD
Chứng minh. (h. 28)
AADC và ABCD có :
CD là cạnh chung
ADC = BCD (định nghĩa hình thang cân) AD = BC (cạnh bên của hình thang cân).
Do đó AADC = ABCD (c.g.c), suy ra AC = BD.
3. Dâ'u hiệu nhận biết
Cho đoạn thẳng CD và đường thẳng m song song với CD (h. 29). Hãy vẽ cấc điểm A, B thuộc m sao cho ABCD là hình thang có hai đường chéo CA, DB bằng nhau. Sau đó hãy đo các góc c và D của hình thang ABCD đó để dự đoán về dạng của các hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
D	c
Hình 29
Định lí 3
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Định lí 3 được chứng minh ở bài tập 18.
Dâu hiệu nhận biết hình thang cân
Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hỉnh thang cân.
BÀI TẬP
Tính độ dài các cạnh của hình thang cân ABCD trên giấy kẻ ô vuông (h. 30, độ dài của cạnh ô vuông là lcm).
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD).
Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.
/
\
/
\
/
ủ
A	B
D	c
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là	Hình 30
giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh
rằng EA = EB, EC = ED.
Đố. Trong các tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ô vuông (h. 31), tứ giác nào là hình thang cân ? Vì sao ?
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE.
Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.
Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng A = 50° .
LUYỆN TẬP
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D e AC, E G AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Hình thang ABCD (AB // CD) có ACD = BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Chứng minh định lí "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau : Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng :
a) ABDE là tam giác cân.
AACD = ABDC.
Hình thang ABCD là hình thang cân.
Q
A
K
Đố. Cho ba điểm A, D, K trên giấy kẻ ô vuông (h. 32). Hãy tìm điểm thứ tư M là giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình thang cân.