SGK Toán 8 - Bài 4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang

§4. Đưòng trung bình của tam giác, của hình thang
Giữa hai điểm B và c có chướng ngại vật (h. 33). Biết DE = 50m, ta có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm B và c
Đường trung bình của tam giác
Vẽ tam giác ABC bất kì rồi lấy trung điểm D của AB. Qua D vẽ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt cạnh AC ở E. Bằng quan sát, hãy nêu dự đoán về vi trí của điểm E trên cạnh AC.
Định lí 1
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Hình 34
GT AABC, AD = DB, DE // BC
KL AE = EC
Chứng minh. (h. 34) Qua E, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC ở F.
Hình thang DEFB có hai cạnh bên song song (DB // EF) nên DB = EF. Theo giả thiết AD = DB. Do đó AD = EF.
AADE và AEFC có
A = Êi (đồng vị, EF // AB)
AD = EF (chứng minh trên)
Di = Ft (cùng bằng B).
Do đó AADE = AEFC (g.c.g), suy ra AE = EC. Vậy E là trung điểm của AC.
• Trên hình 35, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC, đoạn thẳng DE gọi là đường trung bình của tam giác ABC.
Dùng thước đo góc và thước chia khoảng để kiểm tra rằng ADE = B và
Định nghĩa. Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
DE = ^BC.
2
Định lí 2
Dường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
GT AABC, AD = DB, AE = EC
KL DE//BC, DE= |bC 2
Chứng minh. (h. 36) Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF.
AAED = ACEF (c.g.e, học sinh tự chứng minh),
suy ra AD = CF và A = Cl.
Ta có AD = DB (giả thiết) và AD = CF nên DB = CF.
Ta có A = Cl, hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // CF, tức là DB // CF, do đó DBCF là hình thang.
Hình thang DBCF có hai đáy DB, CF bằng nhau nên hai cạnh bên DF, BC song song và bằng nhau.
Do đó DE // BC, DE = ị DF = ị BC.
2 2
Tính độ dài đoạn BC trên hình 33.
?4
Đường trung bình của hình thang
Cho hình thang ABCD (AB II CD). Qua trung điểm E của AD kẻ đường thẳng song song với hai đáy, đường thẳng này cắt AC ở I, cắt BC ởF (h. 37). Có nhận xét gì về vị trí của điểm I trên AC, điểm F trên BC ?
Định lí 3
GT
ABCD là hình thang (AB H CD) AE = ED, EF // AB, EF // CD
KL
BF = FC
Hình 37
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Chứng minh. (h. 37) Gọi I là giao điểm của AC và EF.
Tam giác ADC có E là trung điểm của AD (giả thiết) và EI // CD (giả thiết) nên I là trung điểm của AC.
Hình 38
Tam giác ABC có I là trung điểm của AC (chứng minh trên) và IF // AB (giả thiết) nên F là trung điểm của BC.
• Trên hình 38, hình thang ABCD (AB // CD) có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC, đoạn thẳng EF gọi là đường trung bình của hình thang ABCD.
Định nghĩa. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Định lí 4
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
GT
Hình thang ABCD (AB // CD)
AE = ED, BF = FC
KL
EF // AB, EF // CD, ef=ab + cd
2
Chứng minh. (h. 39) Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AF và DC.
Hình 39
AFBA và AFCK có :
Fi. = F2 (đối đỉnh)
BF = FC (giả thiết)
B = Cl (so le trong, AB // DK).
Do đó AFBA = AFCK (g.c.g), suy ra AF = FK và AB = CK.
E là trung điểm của AD, F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của AADK, suy ra EF // DK (tức là EF // CD và
EF//AB)vàEF= ịũK.
2
Mặt khác DK = DC + CK = DC + AB. Do đó EF=DC + AB-
Tính X trên hình 40.
BÀI TẬP
Đường trung bình của tam giác
Tính X trên hình 41.
Tính khoảng cách AB giữa hai mũi của compa trên hình 42, biết rằng c là trung điểm của OA, D là trung điểm của OB và CD = 3cm.
Cho hình 43. Chứng minh rằng AI = IM
Hình 44
Đường trung bình của hình thang
Tính X trên hình 44.
Hai điểm A và B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Khoảng cách từ điểm A đến xy bằng 12cm, 'khoảng cách từ điểm B đến xy bằng 20cm. Tính khoảng cách từ trung điểm c của AB đến xy.
Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng.
LUYỆN TẬP
Tính X, y trên hình 45, trong đó
AB//CD//EF//GH.
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.
So sánh các độ dài EK và CD, KF và AB.
Chứng minh rằng EF < AB + CD
Cho hình thang ABCD (AB // CD), E là trung điểm của AD, F là trung điểm cửa BC. Đường thẳng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K.
Chứng minh rằng AK = KC, BI = ID.
Cho AB = 6cm, CD = 10cm. Tính các độ dài El, KF, IK.