Giải toán 12 Bài 1. Nguyên hàm

§1. NGUYÊN HÀM
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi X 6 K.
Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số c, hàm só G(x) = F(x) + c cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Định lí 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều cỏ dạng F(x) + c, với c là một hằng số.
Tính chất
Jf'(x)dx = f(x) + c
Jkf (x)dx = k Jf(x)dx (k * 0)
J[f(x)±g(x)]dx = Jf(x)dx± Jg(x)dx
Định lí 3
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Bảng nguyên hàm
.
ồdx = c
J
ax
axdx = — + c (a > 0, a * 1) Ina
.
‘dx = X + c
J
cosxdx = sinx + c
.
x“dx = — xa+1 +c (ct*-1) a +1
I
sinxdx = -cosx + c
.
- dx = ln|x| + c
X
.
—V dx = tanx + c
COS2 X
’exdx = ex + c
—dx = -cotx + c sin2 X
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
Phương pháp đổi biến số
Nếu Jf(u)du = F(u) + c và u - u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Jf(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + c
Hệ quả: Jf(ax + b)dx = — F(ax + b) + c (với a * 0)
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu hai hàm số u = u(x) và V = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì Ju(x)v'(x)dx = u(x)v(x)- Ju'(x)v(x)dx
hay Judv = uv-Jvdu
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
c 2 f K
1 - — e và
í1--!'
(	X.J
1
1. Trong các cặp hàm sò’ dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm sô' còn lại? a) e * và -e ’ ;	b) sin2x và sin2x ;
éịiải
Ta có (e"x)' = -e"x và (-ẹ’x)' - e“x nên e~x và -e~x là nguyên hàm của nhau.
(sin2x)' = 2sinxcosx = sin2x nên sin2x là một nguyên hàm của sin2x.
c)
1-
x2
nên 11 - — I ex là một nguyên hàm của í 1 - — j ,ex.
2. Tìm nguyên hàm của các hàm sô' sau:
a) fix) ■■
7x4-1
b) fix) =
2X - 1
c)ftx) =
■ 2 2 ’ sin x.cos X
d) fix) = sin5x.cos3x ; e) fix) = tan2x ; g) fix) = e3~2x; h) fix) = —	———— .
(1 + x)(l - 2x)
ố/Zz?Z
(2Ỵ
fíx) = pỊĨ-e- = Jf (x)dx = H +e->= —2—+ i . 2^-1
lej	J v ’ ln2	e*(ln2-l) ex ex(ln2-l)
c)
dx
e
11,, . .
sin2 X cos2 X JVsin2x cos2 X
+	— I dx = tanx - cotx + c
Jsin5xcos3xdx = 4 J(sin8x + sin2x)dx = -4f4C0S8x + ^cos2x I +c
2 2 \ 8 2 /
= - 4 (4 cos8x + cos2x) + c 4 4
ftan2 xdx = f| —4	1 I dx = tanx - X + c
J	JVcos2 X )
Je3_2xdx = -ỉe3’2* + c
2
= ấA: - A-i =	- J-ri
(2 + 2x)(l-2x)	3V2 + 2x l-2xj 3<2(x + l) 2x-lj
Jf(x)dx = 4 In IX + 11 - 4 In 12x - 11 + c = 4 In
x+1
3	3
3. Sứ dụng phương pháp đối biến số, hãy tính:
3
b) Jx(l + X2)2 dx (đặt u = 1 + X2);
a) J(l - x)9 dx (đặt u = 1 - x);
2x -1
+ c.
c) J cos3 X sin xdx (đặt t = cosx) ;
d) f———	 (đặt u = e’+ 1).
J ex + e x + 2
Ốịlảl
Đặt u=l-x=>du = -dx => dx = -du
f(l - x)9dx = - fu9du = -4^ + c =--4(1 - X)1" + c
J 10 10
Đặt u = 1 + X2 => du = 2xdx => xdx = 4 du
2
?	1	?	1 5	1	5
Jx(l + X2 j^dx = 4 Ju2du = -U- + c = 4<1 + X2)2 + c
Đặt t = cosx => dt = -sinxdx => sinxdx = -dt
fcos3 xsinxdx = - ft3dt = -— + c = -4cos4x + c J	J	4	4
d)
‘= í
dx
í:
exdx
gX + e-x + 2 J e2x + 2gX +
Đặt t = ex + 1 => dt = exdx Suy ra I -	= - “ + c =
t	ex +1
4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) Jxin(l + x)dx b) J(x2 + 2x - ljexdx c) Jxsin(2x + l)dx d) J(l - x)eosxdx .
Ốjiải
rill - đx
„1 nsi Ju = ln(l + x) u ” 1 + x
a,Đặtiđ-- xdx = L ỊịÍ v 2
Jxln(l + x)dx = yln(l + x)- I
.	= ặln(l + X)- ị ffx-l + —?—ì
2	2Jl	X +1)
dx
ln(l + x) -	- X + ln|x + lị) + c
„2 „
= j(x2 - l)ln(l + x) - 2	4
b) Đặt
u = X + 2x - 1
du = (2x + 2)dx V = ex
Đặt
dv = exdx
J(x2 + 2x - l) exdx = (x2 + 2x - l)ex - 2 J(x + 1) exdx
u = X + 1 dv = exdx
du = dx v = ex
Suy ra J(x + 1) exdx = (x + l)ex - Jexdx = xex + c
Vậy J(x2 + 2x -1) exdx = (x2 + 2x - l)ex - 2xex + c = (x2 - l)ex + c.
du = dx -1
c) Đặt
dv = sin(2x + l)dx Jxsin(2x + l)dx - ■^■cos(2x + 1) + ệ- Jcos(2x + l)dx
V = —cos(2x + 1) 2
d) Đặt
u = 1 - X dv = cosxdx
2
X	1
= --^cos(2x + 1) + -ySÍn(2x + 1) + c 2	4
du = -dx
V = smx
J(l-x)cosxdx = (1 - x)sinx + Jsinxdx = (1 - x)sinx - cosx + c.
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Tính các nguyên hàm sau:
a) Jx27l + X3 dx; b) Jx2.e x dx; c) j--nx) dx; d) J
dx
ex-e_x
Tính các nguyên hàm các hàm số sau:
J(1 -3x)e_2*dx	b) Jxln(2-x)dx
Jxcos2xdx	d) Jexsin2xdx.
Bàng cách biến đổi lượng giác hãy tính:
a) Jcos4 xdx ;	b) Jsin xcos2x.sin7xdx ; c) J(sin6 X + cos6 xjdx .