Giải toán 12 Ôn tập chương I

ÔN TẬP CHƯƠNG I
5. Cho hàm sô y = 2x2 + 2mx + m - 1 có dồ thị là (C,„). Ill là tham sô.
Kháo sát sự biến thiên và vè đồ thị cùa hàm số khi m = 1.
Xác định m đế' hàm sô: i) Đồng biến trên khoảng (-1; +x)
iil Có cực trị trên khoảng (-1; +t»).
Chứng minh ràng (C„|) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
a) Với m = 1 ta có y = 2x2 + 2x
Ốịiải
y
|(C,)
Tập xác định: D = K
y' - 4x + 2; y' - 0 X
1 1
2<y	2’
A
k
lim y = +x
-
1
0 í
X—>±cc
Bảng biến thiên và đồ thị
X
—oc
1
2
+ 30
y'
—
0
+
y
+CO
1
- +00
2
ĐỒ thị đi qua 0(0; 0), A(-l; 0). b) Ta có y' = 4x + 2m
y' = 0 X = - ^
2
Báng biến thiên
X
—00
m
~~2
+ x
y'
-
0
+
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +00) khi và chỉ khi -	 m > 2
Hàm số có cực trị trên khoảng (-1; +=o) khi và chỉ khi -1 < o m < 2
2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C,n) với trục hoành 2x2 + 2mx + m - 1 - 0
Ta có: A' = m2 - 2m + 2 = (m - l)2 + 1 > 0, Vm e R
Vậy (Cm) luôn cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.
a) Kháo sát sự biên thiền và vẽ đồ thị (C) của hàm sô fix) = -X3 + 3x? + 9x + 2.
Giải bat phương trình f ’(x - 1) > 0.
29--
y
ĩ
L
\ ị
0
3
X
-3
+0O
Viết phương trình tiếp tuyến ciía đồ thị (C) tại diêm có hoành độ Xo, biết rằng f "(xo) = -6.
Tập xác định: D = R.
f '(x) = -3x2 + 6x + 9 = -3(x2 - 2x - 3)
f '(x) = 0 «•
X =-1 (f(-l) = -3) x = 3	(f(3) = 29)
lim f(x) = +=c; lim f(x) = -X
X-»-00	X-»+oo
f(x)
b) Ta có
+00 ■
Bàng biến thiện và đồ thị -00 -1
f '(X - 1) = -3(x - l)2 + 6(x - 1) + 9 = -3x2 + 12x; f '(x - 1) > 0 0 < X < 4. Vậy s = (0; 4)
f '(x) = -3x2 + 6x + 9, f ”(x) = -6x + 6, f "(xo) = -6 -6xo + 6 = -6 .xo = 2 Ta có: fí2) = 24; f'(2) = 9
Vậy phương trình tiếp tuyến tại Xo = 2 là y - 9(x - 2) + 24 hay y = 9x + 6.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô’y = X3 + 3x2 + 1.
Dựa vào đồ thị cùa (C), biện luận sô nghiệm của phương trình sau theo m: X3 + 3x2 + 1 = -y.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điếm cực dại và điểm cực tiếu ctia đồ thị (C).
a) Tập xác định: D = R
y' = 3x2 + 6x = 3x(x + 2)
X =-2 (y = 5)
X = 0 (y = 1)
lim y = -oo; lim y = +00
X-»-00	X—>+00
b) Sô' nghiệm của phương trình X3 + 3x2 + 1 = là số giao điểm của đồ 2
m
~2'
thị (C) và đường thẳng (d) có phương trình y =
Dựa vào đồ thị ta có:
 5 m 10: phương trình có 1 nghiệm
2	2
— = 1 hoặc = 5 m = 2 hoặc m = 10: phương trình có 2 nghiệm
2	2
1 2<m<10: phương trình có 3 nghiệm
2
c) Điểm cực đại A(-2; 5),'điểm cực tiểu B(0; 1). Đường thẳng qua A, B có
phương trình là: y ~	= x ~ Xg ; y 7 1	 y = -2x + 1
yA-yB XA - XB 4	-2
Cho hàm sô”: fix) = X3 - 3mx2 + 3(2m - l)x + 1 với m là tham số.
Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định.
Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu
Xác định m sao cho f "(x) > 6x.
Ốỹ.ải
Tập xác định: D = K
y' = 3x2 - 6mx + 3(2m - 1) = 3(x2 - 2mx + 2m - 1)
Hàm sô' đồng biến trên K y' > 0, v.x e K
(a = 1 > 0	,	_	,	_ n
 m - 2m + l(m-l)m=l
(A' < 0
Hàm sô' có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt A' = (m - l)2 > 0 o m * 1
Ta có f '(x) = 3x2 — 6mx + 3(2m - 1)
f "(x) = 6x - 6m
f "(x) > 6x 6x - 6m > 6x m < 0
á 9	3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đỗ thị (C) của hàm số fix) = Ạ X4 - 3x2 + ỵ.
2
Viết phương trình tiếp tuyến cũa đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f "(x) = 0.
Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình X4 - 6x2 + 3 = m.
f(±l) =-1; f'(-1) = 4; f'(1) =-4 Tiếp tuyến tại điểm (1; -1) có phương trình là y = -4x + 3 Tiếp tuyến tại điểm (-1; -1) có phương trình là y = 4x + 3
c) X - 6x + 3 = m 4-x - 3x + r = „
22 2
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị các hàm số:
4	o„2	3	, m
Từ đó ta có: -— < -3 2
m _ 3
2 2 m < -6: phương trình vô nghiệm
 m = -6: phương trình có 2 nghiệm 3
< o -6 < m < 3: phương trình có 4 nghiệm 2
¥ ■ 2
m 3 — > — 2 2
 m - 3: phương trình có 3 nghiệm
 m > 3: phương trình có 2 nghiệm
Cho hàm số: y = -X4 + 2mx2 - 2m + 1 (m là tham sô) có đồ thị là (Cm).
Biện luận theo m số điểm cực trị của hàm số.
Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành?
Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu.
Z^ZdZ
a) Ta có y' = -4x3 + 4mx = -4x(x2 - m) m < 0: Hàm số.có một cực đại (tại X = 0);
m > 0: Hàm số có hai cực đại (tại X = ± Vin) và một cực tiểu (tại X = 0).
nên (Cm) luôn cắt trục hoành, c) Ta có y' = -4x(x2 - m)
(Cm) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi m > 0 11. a) Khảo sát sự biến thiên và vè đổ thị ÍC) của hàm số: y :
Chứng minh rằng với mọi giá trị cùa m dường thăng y = 2x + m luón cắt (C) tại hai điếm phân biệt M và N.
Xác định m sao cho độ dài MN là nhó nhất.
Tiếp tuyến tại một điếm s bất kì cùa (C) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại p và Q. Chứng minh ràng s là trung điểm cứa PQ.
Ốịiải
a) Tập xác định: D = X. \ (-11 -2
y' =
(x +l)2
< 0; Vx * -1
lim y = +OC, lim y = -oc nên X = -1 là tiệm cận đứng í-»-l+	x-»-l	lY*
lim y = 1 nên y = 1 là tiệm cận ngang
x->±x
x
—00 —1 +00
y'
—
-
y
1
+OC ...
—00
1
Bảng biến thiên
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: X + 3
= 2x + m 	2x2 + (m + l)x + m - 3 = 0 (1) (x # -1)
XiX2 =
Xj + Xọ = - -
Ta có A = (m + l)2 - 8(m - 3) = m2 - 6m + 25 = (m - 3)2 + 16 > 0, Vm Vậy d luôn cắt (C) tại hai điểm M và N có hoành độ X), x-2 thỏa:
2 2 c) Ta có: MN2 = (x2 - Xi)2 + (y2 - yi)2 = (x2 - Xj)2 + (2x2 + m - 2xj - m)2
- 2(m - 3)
= 5(x2 - X))2 = 5[(xi + x2)2 - 4X]X2| = 5
= — (m2 - 6m + 25) = — f(m - 3)2 + 161 > 20 4	4
Đẳng thức xảy ra khi m - 3 và min MN = 2 Võ .
Gọi S(X(j, y0) G (C). Phương trình tiếp tuyến cúa (C) tại s là:
-2	, x0 + 3	-2(x-x0) + (x„+ l)(x0+3)
y =	-.'2 (x - xo) +	1 =	X 1X2	
(xu + 1)	xo + 1	(x0 + 1)
Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại p và tiệm cận ngang tại Q Ta có: Xp = -1; yq = 1 => Xq = - ỉ [(Xo + l)2 - (Xo + l)(xo + 3)] + Xo = 2xo + 1
Do đó: Xp + Xq = 2x0 = 2xH. Vậy s là trung điểm của PQ.
12. Cho hàm số: fix) = 4 X3 - ỉ X2 - 4x + 6.
2
a) Giải phương trình f '(sinx) = 0.	b) Giãi phương trình f "(cosx) = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f ”(x) = 0.
ốsỊiải
a) Ta có f '(x) = X2 - X - 4;
f '(x) .= 0x2-x-4 = 0x = -—. Ta có IXI >1 2
Cả hai giá trị này của X đều nằm ngoài đoạn [-1; 1]. Suy ra phương trình f '(sinx) = 0 vô nghiệm.
Ta có f "(x) = 2x - 1, do đó f "(x) = 0 X =
Suy ra phương trình f "(cosx) = 0 cosx =	 X = ±-^ + k27t, k e z
Theo câu b), nghiệm của phương trình f "(x) = 0 là X = i
£7
12
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng
+
145 24 ■