Giải toán 12 Bài 2. Hàm số lũy thừa

§2. HÀM SỐ LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Định nghĩa: Hàm số y = x'1, với a e E, được gọi là hàm số lũy thừa.
Tập xác định: Tập xác định của hàm số y = x“ là:
+ R nếu a nguyên dương + R \ {0} nếu a nguyên âm hoặc a = 0 + (0; +=o) nếu a không nguyên
Đạo hàm
y = x" (a 6 R) thì y' = a.x“-1 với X > 0
Tính chât của đồ thị hàm số y = x“ trên (0; +oo)
Đồ thị luôn đi qua điểm (1; ĩ)
Hàm số luôn đổng biến khi a > 0 và luôn nghịch biến khi a < 0.
Đồ thị không có tiệm cận khi a > 0. Khi 01 < 0 đồ thị có tiệm cận ngang y = 0 và tiệm cận đứng X = 0.
Đổ thị
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Tìm tập xác định của hàm số:
_I	3	,72
y=(l-x)3	b)y=(2-x2)5	c) y = (x2 - ir2	d) y = (x2 - X - 2)' .
Ốịlảl
Vì - 4 Ể z nên y xác định ol-x>Oox<l
3
Vậy Tập xác định: D = (-00; 1).
y xác định 0cx>-72 < X < V2 Vậy Tập xác định: D = (- V2 ; V2 ).
Vì -2 6 z_ nên y xác định X2 - 1 * 0 ox * ±1 Vậy Tập xác định: D = K \ (-1; 11.
y xác định x2-x-2>0ox 2 Vậy Tập xác định: D = (-00; -1) u (2; +00).
Tính đạo hàm của các hàm số:
Ốịiài
Áp dụng tính chất 6: (u“)' = a.u“_1.u'
Tập xác định: D = K
1 o 4 y' = ị(2x2 — X +1) 3 (4x — 1)
3
-1-VĨ7	-1 + 7ĨỸ
b) Tập xác định: D =
l 2
1	o ---
y' = -4(2x + l)(4-x-x2) 4 4
Tập xác định: D =	+00
y' = ^(3x + l)2_1
Tập xác định: D = (-00; 5)
y' = -73 (5-x)72’1
4
Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: a) y = X3
Ốjiải
Tập xác định: D = (0; +00)
■4 \
y' = — x3 > 0, Vx > 0 3
Hàm sô' đồng biến trên (0; +oc)
lim y = 0; lim y = +x x-»0+	xi+cc
Bảng biến thiên và đồ thị X	0
+x
b) Tập xác định: D = 3 \ (0)
y' = -3x~4 =	< 0, Vx * 0
X4
lim y = 0; lim y = +x; lim y = -X x”o+	x-»0_
Tiệm cận ngang: y = 0; tiệm cận đứng: X = 0 Bảng biến thiên và đồ thị
X	-X
+x
+ x-
Hàm số đã cho là hàm sô' lẻ nên đồ thị đôi xứng qua gốc tọa độ.
Hãy so sánh các sô'sau với 1: a) 4,l27	b) 0,2ử'3 c) 0,73'2	d) Vã .
éịiải
Vì 4,1 > 0 nên (4,1)2'7 > (4,1)° = 1
Vì 0 < 0,2 < 1 nên (O,2)03 < (0,2)° = 1
Vì 0 < 0,7 < 1 nên 0,73’2 < (0,7)° = 1
\J3 > 1 nên 73	> 73 = 1.
Hãy so sánh các cặp số sau:
a) 3,172 và 4,37'2;
c) 0,3°'3 và 0.2°
Óịlảl
Vì 3,1 < 4,3 nên 3,17'2 < 4,37'2
, . 10 " 12	riof-3	(12ý3
99 < 77 nên 97	<97
11 11	lllj	UlJ
0,3 > 0,2 nên (0,3)°-3 > (O,2)0’3.
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Tìm tập xác định của các hàm sô' sau: a) y = (x2 - 3x + 2f3
1
c) y = (x3 - 4x2 + 3x)3
b) y = (x2 - 4)2
1
d) y = (6 - x - x2) 2 .
Tính đạo hàm các hàm số ở bài 1.
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm sô sau:
y = x“5	b) y = X3 .
Viết các số sau theo thứ tự giảm dần
í CO
2 2 2
VFjW, (7Fĩ)’t,7i’t	b)(0,5Í3, (1,3)’3; Ti’3, (72)