Giải toán 12 Bài 2. Tích phân

§2. TÍCH PHÂN
A. KIÊN THỨC CĂN BẢN
Tích phân và tính chất
a) Định nghĩa
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Hiệu sô' F(x) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân b
xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f(x), kí hiệu là: Jf(x)dx ã
Ta còn dùng kí hiệu F(x)r để chỉ hiệu số F(b) - F(a)
Vậy
a
Chú ý: • Jf(x)dx = 0
a
Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
nọi t e [a; PJ. Kni ao: b	p
Jf(x)dx= Jf(<p(t))<p'(t)dt. a	a
Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số X - ọ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; P] sao cho tp(a) = a, <p(P) = b và a < <p(t) < b với mọi t e [a; P]. Khi đó:
b
Định lí 2: Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] sao cho a < u(x) < p, Vx e [a; b].
J'(X); vx e [a; DJ, trong b	u(b)
Jf(x)dx = J g(u)du
Nếu f(x) = g(u(x)).u'(x)i Vx e [a; b], trong đó g(u) liên tục trên [a; P] thl b
a	u(a)
b) Phương pháp tính tích phân từng phần
Nếu u = u(x) và V = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn b	b
[a; b] thì Ju(x)v'(x)dx = (u(x)v(x))Ị - Ịu'(x)v(x)dx a	a
b	b
hay Judv = uv|° - Jvdu .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1	n
1. Tính các tích phán sau: a) f ?/(l - x) 1
c) í ,	■ dx;
dx :	b) fsin<-ị-xìdx
a	a
éịiải
a) Đặt u=l-x=>du = -dx => dx = -du
Đổi cận:
X
1
2
1
2
3
1
u
—
—
2
2
Vậy:
1/2 	 1 /2 2	3/2 2	q 5
J Ự(1 - x)2 dx = — j uJ,x(x + 1)
2 2
71
2	\2	r 1 - 3x	ị
d) íx(x + l) dx ; e) í	——-dx;.	g) f sin3xcosõxdx .
0	1 (X + 1)	.1
2 2
du = Ju3du = — u3
-1/2	3/2	1/2	5
3/2
= —UVU 5
3/2	3<
3/9	1,1
—3 — _ —31—
2V4	2V4
b) Ta có: Jsm|l - xịdx = cos! ~ - X* - ~	= 0
c’ ,w ”
= ln
lzJ2x(x + l)	1ZJ2<X	X +	lJ
2	2
Jx(x + l)2 dx = J(x3 + 2x2 + xjdx =
0	0
Đặt u = x + l=>du = dx
- In ị - In 4 = ln2 3	3
G4 2x3 X2
	'	I	I	
4	3	2
Đổi cận:
X
1
2
2
3
u
—
3
2
34
3
;(x + l)!	i	u2	Jl.u2 0,1
2	2 2
\ 3
I - 31n|u| L =-|-31n3 + | + 31n| = |-31n2 <u	) 2	3	3	23
7t	71
2 1 ( 1 1 \ g) Jsin3xcos5xdx = — J(sin8x - sin2x)dx =f - — cox8x + — cos2x 1
7Ĩ	7Ĩ
= 0.
2 2 ill — xldx ; b) fsin2xdx;
ln 2 „
> fe2x+1+lj
0	—	dx ;
7C
d) sin2xcos2xdx
J' 	"/2	11	11/2 7t
=	J(1 + cos2t)dt = — (t + —sin2t) = J
	J
0 0
J ex
0
J
0
2. Tính các tích phân sau:
éịiải
2	12
a) Ta có: J|l- x|dx = J|l - x|dx + J|l - xịđx
0	0 1
1	2
= J(1 - x)dx + J(x - l)dx = 0	1
1/ 1 .
■dx = £• X - 5 sin 2x
21 2 J
<x2
>1
7Ĩ	71
2	2
b) Jsin2 xdx = J 0	0
ln 2 2x+l , ,	ln 2 ,
0 * /( 0 0
1 - cos2x
ex+1 + e~x
)dx=(
71
2 'ti
„x+l „-x e - e
r=e+A
/lo 2
7t	1 K	1 Kf 1
d)	Jsin 2x COS1 	0 2 2 0 4 c) Đặt u = 1 + xex => du = (ex + xex)dx = ex(l + x)dx
 Đổi cận:	X 0	1
	xdx =	— Jsin2x(l + cos2x)dx =	— Jsin2xdx + — Jsin4xdx
0 0	0 0
= I - — cos2x --^-cos4x 4	16
3. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: 3
a)
dx (đặt u = X + 1)
C)
= 0.
0(1 -x)2
b) jVl - x2dx (đạt X = sint)
x(l + x)
1 + xex
dx (đặt u = 1 + xe\)
d)
tó
r dx (a > 0) (đặt X = asint).
a) Đặt u = x+ l=>du = dx
X
0
3
u
1
4
3f x2dx 4f(u -1)2 4fu2 - 2u + 1 o(l + x)â 1 u2	1 u2
du
4
< 1	1	3'
(„	3
1	ì ì
= í
u 2 - 2u 2 + u 2
du =
2 2 — u2
- 4u2 - 2u 2
1
<
00
7
GD I UI
b) Đặt X = sint => dx = costdt
Đổi cận:	X
0 1
71
t
0	77
2
JVl - X2 dx = Jx/l - sin21 .costdt = Jcos2tdt
0 0 0
d) Đặt X = asint => dx = acostdt
Đổi cận: X
0
a
2
t
a
0
71
71
6
7t
2 1 6. í	dx = í
6
, acostdt = fdt.tli.”.
0 Va2 -X2
Ố
^a2 (l - sin2 t) 0	''
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính:
7t
2	e	1	1
a) J(x + l)sinxdx
0
b)
Jx2lnxdx	c) Jln(l + x)dx	d) Jịx2
10 0
6ịiải
X -. fu = X + 1	[du = dx
Đặt L _
[dv = sinxdx [v = -cosx
71	.71
2	7Ĩ 2	7t	7t
J(x + l)sinxdx =-(x + l)cosx|2 + Jcosxdx= -(x + l)cosx|2 + sinxịã = 2 0 0
, đx
[u = lnx	u _ X
Đ^	„3
dv = X dx	X3
V = -—
3
fx2lnxdx = ~lnx -ỉ fx2dx = ^-lnx	=ỉ(2e3+l)
J	3	, 3J	3,99'	1
1	li	1	1
, fu = ln(l + x) du =	-
Đặt c , ‘	=> { l + x
dv = dx
1	ly = X
jìn(l + x)dx = xln(l + x)£-Jyệ-dx = xln(l + x)£ - jíl--ệyìdx 0	0 1	(J
= xln(l + x)j’ - J^1	-^-^jdx= 1 n2 - (x - ln(l + x)|i = 21n2 -1
[u = X2 - 2x - 1 [du = (2x-2)dx
Đặt -T	=> . •
dv = e *dx	[v = -e x
1 , n ,! 1.
=> J(x2 - 2x - l)e'xdx - -(x2 - 2x - l)e x| + J(2x - 2)e_xdx
0 ° 0
Đặt
u = 2x-2 fdu = 2dx dv = e'xdx I V = -e_x
1	1
=> J(2x-2)e~xdx = -(2x - 2)e“x|ồ + 2 Je-Xdx = -(2x - 2)e'x|‘ - 2e‘x|’
0	0
1
Vậy J(x2 -2x-l)e’xdx = -(x2 - 2x - l)e'x|‘ - (2x-2)e“x|‘ - 2ex|‘ =-1 0
1
1	3	2	3	2fi
5. Tính các tích phân sau: a) J(l + 3x)ã dx	b) Jx^ - - dx	c) J
0 0 x 1 1
l(l + 3x)2dx = ^.^(1 + 3x)2
*	2 5
0
1	1
2	a 1	2
= í
0	0
2	9	1
rx +X + 1 x + l
fln(l + x)
c) Đặt •
u = ln(l + x)
dv = —ydx X2
1 27 5
dx = X +
đu =
0
dx
1
V = — X
, 2 2
-Ị—ìdx= x + lj
~ + lnlx + i|
2	!	'j0
ị-ln(l + x)_ ln(l + x) r dx _ ln(l + x) J X2	X J J x(x + 1)	X
*
1
6. Tính Jx(l - x)5 dx bằng hai phương pháp:
0
+ ln-
a) Đổi biến sô’ u = 1 - X
273
= 3 ln 1	3
b) Tính tích phân từng phần.
Ốịiải
Đổi cận: X
0
1
u
1
0
a) Đặt u = 1 - X => du = -dx
Jx(l-x)5dx = - Jx(l-u)u5du = Jx(u5-u6)du =
0	0	0	1 6	7 J
42
u = X. b) Đặt r
dv = (l-x)5dx
du = dx
(1 - X)6
Jx(l - x)r’ dx= - 0
(I-*)7
42
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số
2	In3 	 1	3 	;
a) Jx(l - x)7đx ; b) J7ex-ldx; c) J xex2dx ;	d) jx</l-xdx.
I	0	0
Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần
1/2	ln:!	'	í
a) Jxsin2xdx ; b) J xe~3xdx;	c) Jln(3x + l)dx: d) J ln2 xdx.
°	ố	ố	0
Cho hàm sô' f liên tục trên ta; b]. Chứng minh rằng:
n/2	Jt/2
Jf(sinx)dx =Jf(cosx)dx.
0	0