Giải toán 12 Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
§5. KHẢO SÁT Sự BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM số
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Sơ ĐÓ KHẢO SÁT HÀM số
Tìm tập xác định của hàm số
Xét chiểu biến thiên của hàm số
Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số Tìrri các đường tiệm cận của đổ thị (nếu có).
Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm của hàm sổ, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng.
Vẽ đồ thị của hàm sô
Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. (Trong trường hợp đồ thị không cắt các trục tọa độ hoặc việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần này).
il. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA y = ax3 + bx2 + cx + d (a * 0)
a > 0
a < 0
Phương trình y'= 0 có hai
nghiệm phân biệt
y
y /.
y
\
/ \x
/ °
vy x
Phương trình y'= 0 có nghiệm kép
y
/
U
y
_4 .
1
0 X
0
Phương trình y'- 0 vô nghiệm
y
7
y
7
X
0
rr
V. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BANG Đổ THỊ
Cho phương trình fix, m) = 0 (1) (m là tham số)
Đưa (1) về dạng: f(x) = m (2)
y = f(x) có đồ thị (C) y = m có đồ thị d
d là đường thẳng song song trục tung tại tung độ y = m Sô' nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và d.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
b) Tập xác định: D = 3
y' = 3x2 + 8x + 4;
X =
lim y = +oo;
X—>+oo
, 32
y 27
-2 (y = 0)
lim y = -00
y' = 3x2 + 2x + 9 > 0, Vx e 3.
Bảng biến thiên và đồ thị
+ 00
Hàm số luôn đồng biến và không có cực trị. lim y - +00, lim y = đồ thị hàm số không có tiệm cận.
X—>+CC X—»-
+x
d) Tập xác định: D = K
y' = -6x2 < 0, Vx e K. Hàm số luôn nghịch
biến trên tập xác định và không có cực trị.
lim y = -00, lim y = +00, đồ thị hàm số
X-»+oo X->-co
không có tiệm cận.
X
—co
0
+00
y'
—
0
—
V
+00
* — oc
2. Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị cúa các hàm sô’ bậc bốn sau: a) y = -X4 + 8x2 - 1 b) y = X4 - 2x2 + 2
3
• y
5
0
1
X
15
d) y = 2x2 - X4 + 3
7h
a) Tập xác định: D = R
_ x.,3
+ 16x =
-4x(x2 - 4)
X = 0
(y = -1)
X = -2
(y = 15)
X = 2
(y = 15)
—X
Ố^lầi
y' - 0
-2
X—>±cc
Bảng biến thiên và đồ thị X -oo -2
+0C
+00
+x-
b) Tập xác định: D = K
y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1) x = 0 (y = 2)
±1 (y = 1)
lim y = +x
X—>±co
Bảng biến thiên và đồ thị -=c -1
.+00
c) Tập xác định: D = 2
y' = 2xĐồ thị cắt trục Ox tại X = ±1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị cúa các hàm sô phân thức:
+ 2x = 2x(x2 + 1); y' = 0 X = 0 (y =
Bảng
X
íiến thiên và đồ thị
+ 00
—00
0
y'
—
0
+
y
+00 ______
co 11
1
_» +0°
* 2 —
lim y = +0C
x-»±00
Đồ thị cắt trục Ox tại X = ±1 d) Tập xác định: D = K
y' = -4x - 4x3 = -4x(l + X2) y' = 0 X = 0 (y = 3)
lim y = -00
x-»±oo
+00
a) y ■
b) y =
1 - 2x 2x - 4
Bảng biến thiên và đồ thị X —oo 0
Ốịiải
Tập xác định: D = K \ {!)
y' = 7—< 0, Vx * 1 (x-1)2
lim y = —ao; lim y = +00 nên X = 1 là tiệm cận đứng x-»l“ X->1+
lim y = 1 nên y = 1 là tiệm cận ngang.
lim y = —co; lim y = +00 nên X = 2 là tiệm cận đứng x->2+ x->2"
lim y = -1 nên y = -1 là tiệm cận ngang
X—>±co
X
—00 2 +00
y'
+
+
y
+00
-GO/^
Điểm đặc biệt: X = 0 => y = - - Bảng biến thiên và đồ thị
-1
c) Tập xác định: D = R \ 1- -
y' = 4., < 0, Vx * -±
(2x +1)2 2
lim y = -00, lim y = +00 nên X = - ì là tiệm cận đứng
4-ir 4-1)
1
'2
2'
V
0
l"^~'
4
1
2
Bảng
X
hến thiên
1
—00 +00
2
y'
—
—
y
1
2
^>4 —00
+00
1
2
Điểm đặc biệt: X = 0 => y = 2
4. Bằng cách kháo sát hàm sô, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) X3 - 3x2 + 5 = 0; b) -2x3 + 3x2 - 2 = 0 ; c) 2x2 - X4 = -1.
lim y = - 4 nên y = - 4 là tiệm cân neans. x4±oo 2 2
ÚịlÂl
Đồ thị (C) hàm số y = X3 - 3x2 + 5 cắt trục Ox tại một điểm nên phương trình X3 - 3x2 + 5 - 0 có nghiệm duy nhất.
b) Xét hàm sô' y = -2x3 + 3x2 - 2 Tập xác định: D = s
Đồ thị (G) hàm sô' y = -2x3 + 3x2 - 2 cắt trục Ox tại một điểm nên phương trình -2x3 + 3x2 - 2 = 0 có nghiệm duy nhất. y
c) Xét hàm sô' y = -X4 + 2x2
Tập xác định: D = .3?
y' = -4x3 + 4x = -4x(x2 - 1)
y' = 0
lim y = - X
X—>±OO
X = 0 (y = 0) X = ±1 (y = 1)
1
-1
o 1
X
-1
X
—00
-1
0
1
+00
y'
+
0
-
0
+
0 .
y
—00
•^0
X
Bảng biến thiên và đồ thị
Đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (C) hàm sô' y = -X4 + 2x2 tại hai điểm phân biệt nên phương trình -X4 + 2x2 = -1 có hai nghiệm phân biệt.
5. a) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) cùa hàm sô y = -X3 + 3x + 1
b) Dựa vào dồ thị (C). biện luận về sô nghiệm cùa phương trình sau theo tham số m.
X3 — 3x + m = 0
Ốịiải
a) Tập xác định: D = .<
y' = -3x2 + 3 = -3(x2 - 1) X = 1 (y = 3)
y' = 0
x = -l (y =-1)
lim y = +oo; lim y = -00
X—>-oc X—>+oc
Bảng biến thiên
+ 30
+ í ^-^3
— 1 '*■—oc
b) Ta có X3 - 3x + m = 0 -X3 + 3x + 1 = m + 1
Từ đồ thị ta có: • m + 1 3m 2
Phương trình có một nghiệm
• m + 1 = -1 hoặc m + l = 3m = -2 hoặc m - 2 Phương trình có hai nghiệm
-1 -2 < m < 2: phương trình có ba nghiệm
6. Cho hàm sô y = 'nx ~ .
2x + m
Chứng minh ràng với mọi giá trị cùa tham sô’ m. hàm sỏ’ luôn đống biến trên mồi khoáng xác định của nó.
Xác định m đê tiệm cận đứng cùa đồ thị qua A(-l; Ợ2 ).
Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị cùa hàm số khi m = 2.
tfial
Tập xác định: D = \ ị- ~
m2 + 2 m
y = —'—-V > 0, Vm e s và Vx*-^
(2x + m)2 2
Do đó hàm sô' luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Ta có lim y = -x; lim y = +00
Suy ra X = là tiệm cận đứng của đồ thị 2
Tiệm cận đứng qua A(-l; 72 ) khi = -1 m = 2
c) Với m = 2 ta có y =
2x-l
2x + 2
Tập xác định: D = K \ 1-11 6
y' =
(2x + 2)2 Tiệm cận đứng: X = -1 Tiệm cận ngang: y = 1
y > 0, Vx -1
-4
1
-1
/0
X
X
—X —1 +»
y'
+
+
y
' 1
Cho hàm số y = - XX —co 0
+ 4 X2 + m 4 2
Với giá trị nào của tham sô' m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1; 1)?
Khảo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị (C) của hàm sô' khi m = 1.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ băng ị .
ốỊiải
+ m m =
Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 1) khi và chỉ khi 1=4 + 4
4 2
Với m = 1 ta có y = — X4 4 4
Ta có y'(l) = 2; y'(-l) = -2
Phương trình tiếp tuyến qua A là y —ý = y'(l)(x - 1) y = 2x - - 4 '
7
Phương trình tiếp tuyến qua B là y - -- = y'(-l)(x + 1) y = -2x - 4
Xét họ đường cong (C„,) có phương trình là: y = X3 + (m + 3)x2 + 1 - m; trong đó m là than
Xác định m để hàm sô' có điếm cực đại là X = -1.
Xác định m dế’ đồ thị (C„,) cắt trục hoành tại điểm X = -2.
Ốịlảl
Hàm số có điểm cực đại X = -1 khi và chỉ khi
íy'(-l) = 0 Í3(-l)2 + 2(m + 3)(-l) = 0 í-2m-3 = 0
. 1 m = -
Ịy"(-1) < 0 (6(-l) + 2(m + 3) < 0 [2m < 0
(Cm) cắt trục hoành tại X = -2 -8 + 4(m + 3)+l = 0m = -
+ 4 X2 + 1
Tập xác định: D = K
y* = XVới X = 1 ta có y = — : A( 1; —)
+ X = x(x/0
+ 1); y = 0 X = 0 (y = 1)
4 2
lim y = +00
X—>±00
- 1
y +00 +00
c) Ta có - X 4
Với X = -1 ta có y = 4: B(-1; —)
+ 4 X2 + 1 = - X4 + 2x2 - 3 = 0 X2 = 1 o X = ±1 4 2 4
7 ... 7 .
Vrfi Y — 1 ta rrì V — — • Áí 1 • — V
+00
IQ I OQ
Bảng biến thiên và đồ thị
9. Cho hàm số y = (m + 2m +1 (m là tham số) có đồ thị là G. X -1
Xác định m đế đường cong (G) đi qua điểm (0; -1).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị cúa hàm sô’ với m tìm được.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
<^ZđZ
a) (G) đi qua (0; -1) o -1 = 2m + 1 m _ 0
b) Với m = 0 ta có y =
X —1
Tập xác định: D = R \ (1| -2
y' =
< 0, Vx * 1
X
—oc 1 +»
y'
—
—
y
^^*■—00
+00
(x -l)2
Tiệm cận đứng: X = 1; tiệm cận ngang y = 1 Bảng biến thiên và đồ thị
c) Giao điểm của (G) với trục tung là M(0; -1)
y' = 2 ■ => y'(0) = -2
(x-1)2
Phương trình tiếp tuyến tại M là y + 1 = -2x hay y = -2x - 1.
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm sô':
x'1
a) y = X3 - 3x - 1; b) y = — X2 + 1 ; c) y =
X + 2 X-1
d) y =
2-x
2x-l
Cho hàm số y = X3 - (m + 4)x2 - 4x + m (1)
Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm sô' (1) luôn có cực trị.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi m = 0.
Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt.
Cho hàm sô' y = X4 - mx2 + m - 5 (2)
Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm sô' (2) có ba cực trị.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C2) hàm sô' ứng với m = 2.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C2) song song với đường thẳng y = 24x - 5.
Cho hàm sô' y = 2x + 1
x + 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô.
Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất. Đáp số: M](0; 1), M2(-2; 3).
Tìm hàm số y = ax + b biết:
cx + d
đồ thị có tiệm cận đứng X = 1, tiệm cận ngang y = —
2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số vừa tìm. x + 1
đồ thị đi qua điểm A í 0; - ì Ị
2(x -1)
Khảo sát và Đáp số: y =