Giải toán 12 Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

§1. sự ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIEN của hàm số
KIÊN THÚC CĂN BẢN
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa: K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
Hàm số y = f(x) xác định trên K.
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trẽn K nếu:
VX1, Xỉ e K, X1 f(xi) < f(X2)
Hàm số y - f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu:
VX1, X2 e K, X1 f(xi) > f(X2)
Tính đơn điệu và dâu của đạo hàm
Dịnh lí: Cho hàm sổ y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nểu f'(x) > 0 với mọi X thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Nếu f'(x) < 0 với mọi X thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM số
Tìm tập xác định.
Tinh đạo hàm f'(x). Tìm các điểm X, (i = 1, 2	 n) mà tại đó đạo hàm
băng 0 hoặc không xác định.
Sắp xếp các điểm X, theo thứ tự tâng dần và lập bảng biến thiên.
Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BAI TẠP
1. Xét sự dóng biến, nghịch biên cùa các hàm sô:
a) y = 4 + 3x - X2	b) y = 1 X3 + 3x2 - 7x - 2
c) y = X4 - 2x2 + 3	d) y = -X3 + X2 - 5.
ốịlẢl
a) Tập xác định: D = R.
y' = 3 - 2x; y' = 0 3 - 2x = 9 o X = I (\v = yJ
Bảng biến thiên:
3
X	—00	—	+00
	2	
y'+0- 
Hàm số đồng biến trên khoảng ^-oo;	, nghịch biến trên khoảng + 00^.
b) Tập xác định: D = K.
L _ !	_ 17'
y' = X2 + 6x - 7; y' = 0 	„„„
ặ
X
—00
-7
1
+00
y'
+
0
0
+
239	
17
—-—* + 00
y
3	"	~~
•*	3 -
Hàm số’ đồng biến trên
các khoảng (-oo;
-7) và
(1; +a>),
nghịch
Bảng biến thiên:
trên khoảng (-7; 1). c) Tập xác định: D = K
y' = 4x3 - 4x = 4x(x2- 1), y' = 0 
Bảng biến thiên:
X	— oo’
-1
X = 0 (y = 3) X = ±1 (y = 2)
1	+30
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +oc) và nghịch biến trên các khoảng (-oo; -1) và (0; 1).
d) Tập xác định: D = K
X = 0 (y = -5)
:_2	, __131,
X = — (y = ——
3	27
y' = -3x + 2x = x(-3x + 2); y' = 0 
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng p; J và nghịch biến trên các khoảng
(-00; 0) và [|; + x]-
2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
3x +1	■ , , X2 - 2x	_	/7Ĩ	- —
—'——;	c) y = VX - X - 20 ;
a) y =
1-x
b) y =
1-x
d) y =
2x
X2 - 9 '
a) Tập xác định: D = R \ UI
3x +1
y =	~ => y' = ——> 0, Vx * 1.
-X +1	(1 - x) (1 - x)
X
—oc	1	+00
y'
+
+
y
+00
Bảng biến thiên:
b) y =
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-co; 1), (1; +00).
X2 — 2x (1 - x)2 -1	,	.	1
	— = —	 = 1 - X + ——-
1 — X	1-X	X — 1
Tập xác định: D = R \ UI
1
y' = -1 -
< 0, Vx * 1
X
-co	1	+00
y'
—
-
■ y
—oc
+ =0"-^^^^
(x -1)2
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-00; 1); (1; +00).
2	!'x < -4
c) y xác định khi và chỉ khi X - X - 20 > 0 
Tập xác định: D = (-co; -4| u [5; +co)
2x-l y =
X
-00	-4	5	+CC
y'
—
+
y
+00*^—
0
2ựx2 - X - 20
Bảng biến thiên:
Hàm sô' nghịch biến trên khoảng (-»; -4), đồng biến trên khoảng (5; +x). d) Tập xác định: D = ffi \ (-3; 31
, _ 2(x2 - 9) - 2x.2x _ -2(x2 +9)	„	_
X
-X	-
3	ỉ
+x
ỵ'
—
—
—
y
0^
+x^_
+ x _
-X
Bảng biến thiên:
đồng biến trên khoáng (-1; 1); nghịch biến trên các
(x2-9)2	(x - 9)
X + 1
Hàm sô' nghịch biến trên các khoảng (-«; -3), (-3; 3), (3; +x). 3. Chứng minh rằng hàm sô y khoảng (-co; -1) và (1: +oo).
Tập xác định: D = R
x2+1-2x2
y =
1 - X2
, ,	„ ;y' = 0ol-x2 = 0
(x2 +1)2
x-1 (y-ì) x = -l
Vậy hàm sô' đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-»; -1) và (1; +ac).
4. Chứng minh rằng hàm sô y = v'2x - X2 dồng biến trên khoáng (0; 1) và nghịch biến trẽn khoáng II; 2).
C^iải
y xác định khi và chỉ khi 2x-x2>00<x<2 Tập xác định: D = [0; 2|
.	_	2 - 2x _	1 - X
2\Ỉ2x - X2 \l2x - X2
Bảng biến thiên:
X
—00 0
1
2
+x
y'
+
0
—
y
Vậy hàm sô' đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).
b) tanx > X + - 0 < X < 11
5. Chứng minh các bất đẵng thức sau: a) tanx > XI 0 < X < Ị
2j
6jlẩl
Hàm sô' f(x) = tanx - X liên tục trên nửa khoảng ị0;	) và có đạo hàm
f'(x) =
COS2 X
1 > 0 với mọi X e 0;
Với 0 g(0) = 0 => tanx > X + Vx e (0;
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Xét tính đơn điệu của hàm số:
V4	.. Y2
,	x . -.3 x
a) y = -- + X -5-— 3x;
4	2
b) y =
X2 + 3x + 3
c) y =
2. Chứng minh hàm sô y = định với mọi m.
x + 1
x2-m2x + m-2	_ A	x_. , . - _ ....
	—-	 tăng trên từng khoang xác
X +1
(x +l)2
Xét tính đơn điệu của các hàm sô: a) y = 74 - X2
Chứng minh rằng:
a) tanx > sinx, 0 < X <
2
Hưởng iẫn
X2 + 2x - m2 - m + 2	. ,,	2	1 . n
-— co A = -m + m - 1 < 0
b) y =
79 - X2
X*2
b) cosx >1- 7- ; 0 < X < 2
co I