Giải toán 12 Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHÂT và
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM số
KIÊN THỨC CẦN BẢN
Định nghĩa
Cho hàm sổ y - f(x) xác định trên tập D.
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm sổ y = f(x) trên tập D nếu f(x) < M với mọi X thuộc D và tồn tại Xo € D sao cho f(xc) = M.
Kí hiệu M = maxf(x).
D
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trẽn tập D nếu f(x) > m với mọi X thuộc D và tồn tại Xoe D sao cho f(x0) = m.
Kí hiệu: m = minf(x).
D
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]
Tìm các điểm X1, X2, Xn trên khoảng (a; b), tại đó t '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định.
Tính f(a), f(xi), f(Xỉ)	f(Xn), f(b).
Tìm sô lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong'các sô trên. Ta có:
M = maxf(x), m = minf(x)
[a: bi	[a; bj
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Tilth giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cùa hàm sò: a) y = X1 - 3xz - 9x + 35 trên các đoạn [—1: 4] và [0: 5]
bj y = X4 -- 3x? + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5] 2 — x „	.
c) y = 7—— trên các đoạn [2; 4] và [-3; -2]
1 - X
đ) y = \Iỗ - 4x trên đoạn [-1: 1],
* Xét D = [-4; 4], HSLT trên [-4; 4]
y' = 3x2 - 6x - 9; y' = 0 
X = 3 e D X = -1 6 D
Ta có: y(-4) = -41; y(4) = 15; y(-l) = 40; y(3) = 8
Vậy:	max y = 40 ; min y =-41.
xe[-4;4]	xe[-4;4]
* Xét D = [0; 5], HSLT trên [0; 5]
X = 3 e D
Vậy:
Ta có: y(0) = 35; y(5) = 40; y(3) = 8
inaxy = 40; miny - 8 . [0:5] ‘	[OS]
y' = 4x:ì - 6x = 2x(2x2 - 3); y' = 0 
* ■ Với D = [0:
31 thìx = -^|
e D. IISLT trên [0; 3]
Ta có y(0) = 2; y(3) = 56, y( ) = - — . Vậy miny = V2 4	[0:3r
* Với D = [2; 5J. HSLT trên [2; 5] thì X = 0; X = ±
nên: y(2) = 6; y(5) = 552
Vậy min y = 6; max y = 552 .
[2:5] ■	[2;5] ■
2.
3.
4,
D = [-1; 1] : y' = r-: 2 . < 0, Vx e [-1; 1]
<5 4x
y(-l) = 3; y(l) = 1 Vậy min y = 1; maxy = 3.
Trong số các hình chữ nhặt cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có điện tích lớn nhất.
éjũỉi
Gọi X là một cạnh của hình chữ nhật (x > 0). Cạnh còn lại là 8 - X (0 < X < 8). Khi đó diện tích hình chữ nhật là:
s = x(8 - x) = 8x - X2 => S' = 8 - 2x; S' = 0 o X = 4 Bảng biến thiên:
X
0
4
8
S'
+
0
—
////////////
s
CĐ'^—
MaxS =
(0:H)
S(4) = 16 X = 4
Trong tát cả các hình chữ nhật cùng diện tích 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Vậy khi hình chữ nhật là hình vuông thì diện tích lớn nhát.
,	,	48
Gọi X là một cạnh của hình chữ nhật (x > 0). Cạnh còn lại là —.
x
Chu vi hình chữ nhật là: p = 2
p' z 0 o x' - 48 o x = 4\f3
Bảng biến thiên:
Tính giá trị lớn nhất của các hàm sô: a) y = —í— ;	b) y = 4x“ - 3x’.
. '	1 + X
Vậy khi hình chữ nhật trở thành hình vuông thì chu vi nhỏ nhát.
éỹiải
a) Tập xác định: D = R
—8x	_.
y' = 7T. -	; y' = 0 X = 0 (y = 4)
(1 + X )
b) Tập xác định: D =
y' = 12x y' = 0
12x:ì = 12x2(l - X)
(y = 0) (y = 1)
Vậy maxy = 1.
-	I I	4
5. Tính giá trị nhỏ nhát ciia các hàm sô sau: a) y = IX I:	b) y = X + — (x > 0).
Bảng biến thiên:
X
—OC'
0
+OO
V'
+
0
—
y
0.	
	 4——-._
	0
Vậy maxy = 4.
tfiai.
Tập xác định: D = R
Ta có Ixl >0 với Vx e R, dấu bằng xảy ra khi X = 0. Vậy miny = 0.
Xét D = (0; +°o)
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Tìm giá trị lớn nhâ’t, nhỏ nhát, của hàm số: y = 2x + Võ - X2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau đây trong đoạn đã chỉ ra:
y = 2x:i + 3x2 - 12x + 1 trong [-1; 5]
y = Võ - 4x trong [-2; 0]
Dựng hình chừ nhật có diện tích lớn nhât biết rằng chu vi của nó không đổi và bằng 16 cm.
Chứi g minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp hình tròn bán kính R thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhât và có diện tích lứn nhf'it.
Trong các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R, xác định hình nón có thể tích lớn nhất.