Giải toán 12 Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực

§4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ số THựC
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Căn bậc hai của số thực a < 0 là ± i ựịãĩ
Phương trình bậc hai với hệ số thực ax2 + bx + c = 0 với a, b, c e K, a * 0 Xét A - b2 - 4ac
, .	_ t 	»	. .	b
Nếu A = 0 phương trình có nghiêm kép X =
2a
	,	—bì TÃ
■ Nếu A > 0 phương trình có hai nghiệm thực x12 = —
2a
~	-b±i7ịÃi
Nếu A < 0 phương trình có hai nghiệm phức x12 = -——*—
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7;	-8;	-12;	-20;	-121.
Ốjiảl
Căn bậc hai phức của các số: -7; -8; -12; -20; -121 lần lượt là:
±iT7;	±2i72;	±2i73;	±2i75; ±lli
c) 5z2 - 7z + 11 = 0.
Giải các phương trình sau trên tập hợp sô phức:
-3z2 + 2z - 1 = 0 ;	b) 7z2 + 3z + 2 = 0 ;
Ố^Ịlảl
a) —3z2 + 2z — 1 = 0 3z2 - 2z + 1 = 0 A' = 1 - 3 = -2 = 2i2 Phương trình có hai nghiệm phức Zi_2 =
A = -47 = 47i2
Phương trình có hai nghiệm phức zlt2 =
A = -171 = 171Ĩ2
Phương trình có hai nghiệm phức zli2 =
-3 ±1^47
14
7±iTĨ7Ĩ
10
3. Giải các phương trình sau trên tập hợp sô' phức: a) z4 + z2.- 6 = 0 b) z4 + 7z2 + 10 = 0.
í^iải
Đặt z = z2, ta được phương trình z2 + z - 6 = 0. Phương trình này có hai nghiệm là = 2, z2 = -3. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm ±72 và ±i 73 .
Đặt z = z2 ta có phương trình
z2 + 7Z + 10 = 0 
z =-2 z =-5
z2 =-2 z2 =-5
Z = ±i72 z = ±i7õ
4. Cho a, b, c 6 R, a # 0, Zi, z2 là hai nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0. Hãy tính Zi + z2 và Z1.Z2 theo các hệ sô' a, b, c.
-b ± TÃ
A = b2 - 4ac
Nếu A > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực z1>2 =
za
Khi đó Zi + z2 = - —; ZpZ2 = — a	a
.	 -b ± 7jÃĨ
Nếu A < 0 phương trình có hai nghiệm phức zli2 = —--- ■ 2a
xn,;	b	(—b)2 — ĩ2|a| b2 + 4ac - b2 c
Khi đó Zi + z2 = -— và Zi.z2 = ——5—— - 	trr	 =
a	4a	4a	a
Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ sô' thực nhận z và Z làm nghiệm.
Ốịlảl
Phương trình bậc hai nhận z, Z làm nghiệm là
(x - z)(x - Z) = 0 X2 - (z + z )x + z. Z = 0
Nếu z = a + bi thì z + Z = 2a và z. Z = a2 + b2 Vậy phương trình cần tìm là: X2 - 2ax + a2 + b2 = 0.
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Tìm các cãn bậc hai phức của các sô' sau: -1; -5; -25.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) X2 + X + 1 = 0	b) 3x2 - X + 7 = 0
2x4 + 3x2 - 5 = 0	d) X3 + 1 = 0.
Lập phương trình bậc hai có nghiệm là:
a) 73 + 2i và 73 - 2i	b) 2 - 73 i và -2 - 73 i.