Giải toán 9 Bài 1. Căn bậc hai

§1. CĂN BẬC HAI
Tóm tắt kiến thức
Căn bậc hai của một số không âm a là một số X sao cho X = a.
Một số dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau ; căn bậc hai dương được kí hiệu bởi Vã, căn bậc hai âm được kí hiệu là - Vã.
Số 0 có đúng một căn bậc hai là Võ = 0.
Số âm không có căn bậc hai.
Với số dương a, số Vã được gọi là căn bậc hai số học của a.
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
Phép tìm căn số học của một số không âm được gọi là phép khai phương. Lưú ý Với a > 0 :
Nếu X = Vã thì X > 0 và X2 = a ;
Nếu X > 0 và X2 = a thì X = Vã.
Định lí. Với các số không âm a và b ta có : a Vã < Vb .
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của các số:
49 ;	b) 48 ; c) -4 ; d) 576.
Giải, a) Vì 72 = 49 và (—7)2 = 49 nên 49 có hai cãn bậc hai là V49 = 7va-V49 = -7.
Số 48 có hai căn bậc hai là : 748 và -748 .
Số -4 không có căn bậc hai.
Vì 242 = 576 nên 576 có hai căn bậc hai là
/576 = 24 và-7576 =-24.
En Lưu ý. Số a là một số chính phương nếu có một số tự nhiên X sao
cho X2 = a. Do đó một số chính phương luôn có căn bậc hai là những số nguyên. Trong cách phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố, các số mũ đều là số chẵn. Thật vậy, giả sử a = X2 và X = pm... qn. Thế thì a = X2 = (pm...qn)2 = p2m...q2n. Vì thế muốn tìm cãn bậc hai của một số, ta có thể phân tích số đó ra thừa số nguyên tố. Nếu các số mũ trong cách phân tích này là những số chẵn thì số đó có căn bậc hai là những số nguyên ; nếu trái lại, căn bậc hai của số đó là một số vô tỉ. Chẳng hạn, 576 = 2.288 = 2.2.144 = 2.2.2.72 = 2.2.2.2.36
= 2.2.2.2.2.18 = 2.2.2.2.2.2.9 = 26.32 = (23.3)2 = 242. Vậy 576 có hai căn bậc hai là 7576 = 24 và -7576 = -24.
Ví dụ 2.
Giải. Nhận thấy : 25 = 52, y =	Qj	, 16 =	42, 64 = 82.
= — + 4 = -4 + 4 = 0.
3
Ví dụ 3.
Giải.
Tính giá trị của biếu thức
, 2x2+3x-0,2
Tại X =776 , biểu thức đã cho có giá trị là
tại X =
2(7777+3777-0,2	2.1,6 + 3777-0,2 _ 3,2 + 3-777-0,2
_3+3777_ 3(1 + 776)
3.
/1,6+1
/1,6 + 1
777 + 1
/1,6 + 1
/1,6+1
3 Lưu ý. 7^6 là một sô' thực. Các quy tắc và tính chất của các
phép tính trên tập số thực cũng giống như các quy tắc và tính chất của các phép tính trên tập hợp số hữu tỉ. Chẳng hạn, nhờ tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ta có
3 + 3 776 = 3(1 + 776 )
và theo quy tắc chia ta có 3(1 + 777): (777 + 1) = 3.
Ví dụ 4. Giải phương trình 5x2 - 25 = (2x + 3)(2x - 3).
Giải. 5x2 - 25 = (2x + 3)(2x - 3) 5x2 - 25 = 4x2 - 9
++X2 = 25 - 9++X2 = 16.
Suy ra X là căn bậc hai của 16.
Sô' 16 có hai căn bậc hai là 4 và -4.
Vậy phương trình có hai nghiệm là X = 4 và X = -4.
Ví dụ 5. So sánh hai số :
Phân tích. Ta đã biết cách so sánh hai sô' hữu tỉ. Nhờ “Dinh lí. Với các sô' không ám a và b ta có : a Tã < 77 ”, ta có thể đưa việc so sánh hai căn thức về việc so sánh hai sô' hữu tỉ.
Giải, a) Ta có — = 4,66.... Do đó ~ > 4,6.
3	3
/14
Vậy > V4,6 .
77 . /7-7 và -ự4,6 .
Ví dụ 6. So sánh V168 và 13.
Phân tích. Để có thể vận dụng được định lí nói trên, ta cần đổi 13 thành căn bậc hai của một số. Theo điều lưu ý trong bảng tóm tắt kiến thức : “nếu X > 0 và X2 = a thì X = Tã”, ta có 13 = 7l69 vì 132 = 169.
Giải. Vì 168 < 169 nên 7l68 < Vl69 .
Do 13 = a/iố9 nên suy ra Vl68 < 13.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 1. Vl21 =11. Hai căn bậc hai của 121 là 11 và -11.
7l44 = 12. Hai căn bậc hai của 144 là 12 và -12.
Vl69 = 13. Hai căn bậc hai của 169 là 13 và-13.
7225 = 15. Hai cãn bậc hai của 225 là 15 và -15.
7256 = 16. Hai căn bậc hai của 256 là 16 và -16.
7324 = 18. Hai căn bậc hai của 324 là 18 và -18.
7361 = 19. Hai căn bậc hai của 361 là 19 và -19.
V400 = 20. Hai căn bậc hai của 400 là 20 và -20.
Bài 2. HD. Viết mỗi số nguyên thành căn bậc hai của một số.
2 = Vĩ. Vì 4 > 3 nên 77 > 77 hay 2 > 77.
ĐS : 6 < 777.
ĐS : 7 > 777 .
Bài 3. HD. Nghiệm của phương trình X2 = a (với a > 0) là các căn bậc hai của a.
x=V7« 1,732,
X =777« 1,871,
ĐS. a)x =77« 1,414, X =-77«-1,414.
x = -77 «-1,732. x= -777--1,871.
X =7442 « 2,030, X = -7442 « -2,030.
Bài 4. a) Vận dụng điều lưu ý trong phần tóm tắt kiến thức :
“Nếu a > 0 thì a = (Vã)2 ”.
Ta có X = (77 )2 = 152 = 225 ;
Từ 2 77 = 14 suy ra 77 = 14:2 = 7.
Vậy X =	= 72 = 49.
HD : Vận dụng định lí trong phần tóm tắt kiến thức.
Trả lời: 0 < X < 2.
HD : Đổi 4 thành cãn bậc hai của một số.
Trá lời : 0 < X < 8.
Bài 5. Gọi X là độ dài cạnh hình vuông, X > 0. Diện tích của Vinh vuông là X-. Diện tích của hình chữ nhật là 3,5. 14 = 49 (m2). Theo đầu bài X2 = 49. Suy ra X - 7 hoặc X = -7. Vì X > 0 nên X = 7.
Vậy độ dài cạnh hình vuông là 7m.
D. Đài tập luyện thêm
Tìm Căn bậc hai của mỗi'Số sau :
81; b) II ; c) 0,09 ;	d) 12;	e)441.
25
Tìm X thoả mãn mỗi điều kiện sau :
3(x2 + 2x - 1) + 5 = 6x + 50
5x2 - 12x + 4 = x(x - 12) + 44.
„	2x3 +3x2 -6x-7	.	/7
Tính giá trị của biếu thức	—-—-	 tại X = - V5 .
x + 2
Phân tích biểu thức thành nhân tử :
7x - 13 Vx + 6 ;	b) 6x Vx - 8x - 9 Vx + 12.
So sánh các số : — và .
12 V 143
Lời giấi - Hướng dẫn - Đáp số
a) ĐS : Cãn bậc hai của 81 là : 9 và -9.
ĐS : Căn bậc hai của ẬỆ là : -ậ và -Ệ .
25	5	5
ĐS : Căn bậc hai của 0,09 là : 0,3 và -0,3.
ĐS : Căn bậc hai của 12 là : 7Ĩ2 và -7Ĩ2 .
Ta có 441 = 3.147 = 3.3.49 = 32.72 = (3.7)2= 212.
Do đó căn bậc hai của 441 là 21 và*-21.
a) 3(x2 + 2x - 1) + 5 = 6x + 50	3x2 + 6x - 3 + 5 = 6x + 50
 3x2 = 48 X2 = 16 X = 7Ĩ6 = 4 hoặc X = -7Ĩ6 - -4.
5x2 - 12x + 4 = x(x - 12) + 44 5x2 - 12x + 4 = X2 - 12x + 44 4x2 = 40 X2 = 10 o X = 7ĨÕ hoặc X = -7ĨÕ.
HD : Vận dụng quy tắc am.an = am + n, định nghĩa căn bậc hai và các tính chất của các phép tính.
Giải. Tại X = -77 ta có
2x3 + 3x2 -6x-7_ 2(-77)3 +3(-77)2 -6(-T5)-7 x + 2	■	-77 + 2
_ 2(-77)(-77)2 + 3(77)2 +67?-7 _ -277.5 + 3.5 + 677-7 -77 + 2	~	-77 + 2
_-io77 +15 + 677-7 _ (-10 + 6)75+8 _-475+8 _ 4(-77 + 2) _ -77 + 2	-	-77 + 2	- -77 + 2 - -77 + 2
a) HD : Lưu ý rằng nếu X > 0 thì X = (77 )2.
Giải. 7x - 1377 +6 = 7(77)2 -777 -ó77 + 6 = 7 77(77 -1) - 6(77 -1) = (77- 1)(7T7 - 6).
b) 6x77 - 8x - 977 + 12 = (6x77 - 8x) - (977 - 12)
5. HD
JT
12
ĐS ..- -Ịị >
12 V143
= 2x(3 77 - 4) - 3(3 77 - 4) = (3 77- 4)(2x - 3).
121 ~ . 121 ,. 120
143
— . Do đó phải so sánh — với — I144	144