Giải toán 9 Bài 1. Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

§1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG
CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM số
A. Tóm tắt kiến thức
Định nghĩa hàtn sô
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi X sao cho với mỗi giá trị của X, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của X và X được gọi là biến số.
Hàm số thường được kí hiệu bởi những chữ f, g, h, ... Chẳng hạn khi y là một hàm số của biến số X, ta viết y = f(x) hoặc y = g(x), ....
f(a) là giá trị của hàm số y = f(x) tại X = a.
Khi hàm số y được cho bởi công thức y = f(x), muốn tính giá trị f(a) của hàm số tại X = a, ta thay X = a vào biểu thức f(x) rồi thực hiện các phép tính trong biểu thức.
Khi X thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là một hàm hằng.
Đổ thị của hàm sô
Tập hợp các điểm biểu diễn các cập giá trị tương ứng (x ; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).
Hàm sô đồng biến, hàm sô nghịch biến
Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của X thuộc tập sô' thực R. Với X],x2 tùy ý thuộc R :
Nếu Xj < x2 mà f(xt) < f(x2) thì hàm số được gọi là hàm số đồng biến.
Nếu Xị f(x2) thì hàm số được gọi là hàm số nghịch biến.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Bảng -sau đây ghi lại sự thay đổi của nhiệt độ từ sáng đến chiều tối trong một ngày mùa đông, trong đó thời gian là t (tính bằng giờ) và nhiệt độ là y (tính bằng độ ( °C)) :
t
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
y
14°
14°
15°
16°
17°
19°
21°
21°
20°
20°
18°
16°
Với môi giá trị của t chỉ có một giá trị xác định của y. Như vậy, y là một hàm số của t. Nếu kí hiệu y = f(t) thì f(6) = 14 = f(7), f(l 1) = 19, f(12) = 21, f(17) = 16.
Dưới đây là đồ thị của hàm số y = f(t)
Ví dụ 2. Giả sử sự phụ thuộc của đại lượng y vào đại lượng thay đổi X được xác định bởi công thức y = 2x. Nếu kí hiệu f(x) = 2x thì ta có hàm số y = f(x).
Hãy tính giá trị của hàm số tại X = -4.
Tính f(0); f(3); f( V5 ).
Vẽ đồ thị của hàm số.
gốc toạ độ và điểm M(3 ; 6).
' I
Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng hàm số y = f(x) = 2x - 3 là một hàm số đồng biến.
Phân tích. Để chứng tỏ rằng hàm số này đồng biến, ta phải chứng tỏ rằng :
nếu Xị < x2 thì f(Xj) < f(x2) hay 2xj — 3 < 2xọ - 3.
Giải. Giả sử Xị, x2 thuộc R và Xj < x2.
Vì 2 > 0 nên từ Xị < x2 suy ra 2xj < 2x2.
Do đó 2X[ - 3 < 2x2 - 3. Nhưng 2Xị - 3 = f(Xị) và 2x2 - 3 = f(x2).
Vậy f(Xj) < f(x2) và do đó hàm số đã cho đồng biến.
Ví dụ 4. Hàm số y - g(x) = -2x - 3 đồng biến hay nghịch biến ?
Phân tích. Muốn biết hàm số này đồng biến hay nghịch biến, ta phải xét xem khi
X), x2 thuộc R và Xj g(x2).
Giải. Giả sứ Xj, x2 thuộc R và xt < x2.
Vì -2 -2x2. Do đó -2Xị - 3 > -2x? -3. Nhưng -2xj - 3 = g(Xj) và -2x2 - 3 = g(x2).
c.
Vậy g(xj) > g(x2) và do đó hàm số đã cho nghịch biến.
Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Bail, a)	f(-2) = -| ;	f(-l) = -|;	f(0) = 0 ;
( 1 A 1	2	....	4
fllK;	f(1) = !;	f(2) = I;	f(3)=2‘
g(-2)=|;	g(_l>=2 ;	g(0) = 3;
g(y} = y;	g(l)=y;	g(2)=y;	g(3) = 5.
Khi X lấy cùng một giá trị thì giá trị của g(x) lớn hơn giá trị của f(x) là 3 đơn vị.
Bài 2. a)
Bài 3. a) Đồ thị của hàm số y = 2x là đường thẳng đi qua o và điểm A(1 ; 2).
Đồ thị của hàm số y = -2x là đường thẳng đi qua o và điểm B(l;-2).
^2-
A
r
A
9
A
A
°/
1
' _?
\b
y
X
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
y=——x+3
2
4,25
4
3,75
3,5
3,25
3
2,75
2,5
2,25
2
1,75
b) Hàm số nghịch biến vì khi X tăng lên thì ỵ giảm đi.
Hàm số y = 2x đồng biến vì khi X tăng lên thì y tương ứng tăng lên. Hàm số y - -2x nghịch biến vì khi X tãng lên thì y tương ứng giảm đi.
Bài 4
Bài 5.
Ta biết rằng đồ thị hàm số y = V3x là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ. Hơn nữa, khi X = 1 thì y = V3 . Do đó điểm A(1 ; V3) thuộc đồ thị. Vì thế để vẽ đồ thị này, ta phải xác định điểm A trên mặt phẳng toạ độ. Muốn vậy ta phải xác định điểm trên trục tung biểu diễn số V3 . Ta có
Vã = V2+7 = 7(72 )2 +12.
Hình vẽ trong SGK thể hiện oc = OB = V2 và theo định lí Py-ta-go OD = Voc2 +CD2 = 7(72 )2 +12 = Vã.
Dùng compa ta xác định được điểm biểu diễn số V3 trên Ọy. Từ đó xác định được điểm A.
Xem hình bên
A(2 ; 4), B(4 ; 4).
Tính chu vi AOAB .
Dễ thấy AB = 4-2 = 2 (cm).
Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có :
OA = V22 +42 = 2V5 (cm), OB = V42 + 42 = 4V2 (cm).
Vậy chu vi AOAB bằng AB + OA + OB = 2 + 2V5+4V2 (cm).
Tính diện tích AOAB .
Gọi c là điểm biểu diễn số 4 trên trục tung, ta có:
Saoab = Saobc'-Saoac = — OC.BC- — OC.AC
1 2 1 , _ - . 2,
= 7.4-7.4.2 = 8-4 = 4 (cm2).
2 2
Bài 6. a)
X
-2,5
-2,25
-1,5
-1
0
1
1,5
2,25
2,5
y = 0,5x
-1,25
-1,125
-0,75
-0,5
0
0,5
0,75
1,125
1,25
y = 0,5x+2
0.75
0,875
1,25
1,5
2
2,5
2,75
3,125
3,25
b) Khi X lấy cùng một giá trị thì giá trị của hàm số y = 0,5x + 2 lớn hơn giá trị của hàm số y = 0,5x là 2 đơn vị.
Bài 7. Từ Xj 0 suy ra 3xj < 3x2 hay f(Xị) < f(x2). Vậy hàm số đã cho đồng biến trên R.
D. Bài tập luyện thêm
a) Số lượng quần áo may được của một xưởng may có phải là hàm số của thời gian làm việc của công nhân hay không ? Vì sao ? b) Số tiền thu được của một trại nuôi lợn có phải là một hàm số của số lợn bán ra hay không ? Vì sao ?
Cho hàm số y = f(x) = ị-x + 2.
Hãy tính f(-5); f(0); f( V?); f(-y).
Cho hàm số y = g(x) -	2 x + 3. Hãy xác định trên mặt phẳng toạ độ
các điểm của đồ thị lần lượt ứng với các giá trị X = 2, X = -2 .
a) Chứng tỏ rằng hàm số y = f(x) = - V? X + 4 nghịch biến.
b) Hàm số y = g(x) = —7=x - 7 đồng biến hay nghịch biến ? v/2
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô
a) Có, vì với mỗi thời gian làm việc, xưởng may sản xuất được một lượng quần áo tương ứng xác định.
b) Có, vì mỗi số lợn bán ra, người chủ trại thu được một số tiền tương ứng xác định.
£>S:f(-5) = -l ;f(0) = 2;f(V5)= ~+2;f(-y) = 0.
HD. Các điểm cần xác định có tọa độ là (2;-2) , (-2;8).
a) Với Xị, x7 thuộc R và Xj -V?x2.
Do đó - V?X|+ 4 > - V?x2 + 4 hay f(xj) > f(x2).
Vậy hàm số nghịch biến, b) Trả lời: Hàm số đồng biến.