Giải toán 9 Bài 2. Đường kính và dây của đường tròn

§2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN A. Tóm tắt kiến thức
So sánh độ dài của dường kính vù dày
Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Quan hệ vuông góc giữa đường kính vá dây
Trong một dường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung diêm cứa dây ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung diêm của một dây không di qua tám thì vuông góc với dày ấy.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ
Gi ái
Nhận xét
Trong hình bên, dường tròn (O ; 2 7?) có OA 1 OB và OE = OF = 2.
Chứng minh rằng CE = EF = ED.
Vẽ OM 1 CD ta dược
MC = MD.	(1)
AOEF cân tại o có OM ± EF nên ME = ME.	(2)
Từ (1) và (2) suy ra CE = FD.
AOEF vuông cân tại o nên EF2 - OE2 + OF2 = 22 + 22 = 8.
Do đó EF = 2\/2. Suy ra OM = ME - MF = 77.
Ta có MC2 = oc2 - OM2 = (2^5 )2 -(V2)2 = 18=>MC= 372.
Do dó CE = MC - ME = 3^2 - 7Ĩ = 2^2.
Vậy CE = EF = FD (= 2V2).
Việc vẽ OM ± CD giúp ta chứng minh được MC = MD, ME = MF, từ đó ta dược CE = DF.
Trong dường tròn, nếu phai so sánh các phần cứa một dây hoặc tính toán độ dài của một số yếu tố, ta thường vẽ them đường kính vuông góc với dây.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Do đó 4 điểm B, c, D, E cùng thuộc đường tròn (O) đường kính BC. b) Xét đường tròn nói' ớ câu a), BC là đường kính, DE là một dây không đi qua tâm, do đó DE < BC.
Vẽ OM 1 CD ta được MC = MD. (1)
Ta có OM // AH // BK (cùng vuông góc với CD).
Mặt khác, OA = OB nên MH = MK. (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH = DK.
Kết quả của bài toán trên không thay đổi nếu ta đổi chỗ hai điểm c và D cho nhau.
Bài 11.
Bài 10.
Nhận xét.
D. Bài tập luyện thêm
Cho đường tròn (O ; R). Vẽ dây AB = R và dây CD = rVÌ. Chứng minh rằng các tam giác ÁOB và COD có diện tích bằng nhau.
Cho đường tròn (O ; 2). Một dây AB có độ dài là 2V2. Gọi M là trung điểm của AB. Khi dây AB di động thì điểm M di động trên đường nào ?
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 6cm. Vẽ dây CD vuông góc với AB. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ACBD.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô
Vẽ OH 1 AB, OK 1 CD, ta có
R	R x/3
HA = HB = Ạ ; KC = KD.=
2 2
OH2 = OB2 - HB2 = R2 -
OH =
Ra/3
*■ 2
OK2 = oc2 - KC2 = R2 -
=.0K=ị 2
SAOB =|ab.oh = |r.^^-^-^.
A0B 2	2	2	4
SC0D = ^CD.OK = ^r73.^ = ^L C0D 2	2	2	4
Từ (1) và (2) suy ra SAOB = SC0D.
Nối OM thì OM 1 AB. Ta có OM2 = OB2 - MB2 = 22 - (72 )2 = 2 => OM = 72.
DođóMe (O ;72).
(1)
Ta có CD < AB (quan hệ giữa dây và đường kính). Suy ra CD < 6 (cm).
Diện tích tứ giác ACBD là :
B
s = ị AB.CD 2
.6.CD
< — .6.6 = 18 (cm2).
2
(Dấu "=" xảy ra CD là đường kính).
Vậy max s = 18 cm2 khi CD là đường kính.
Cảnh báo. Nếu viết CD < AB thì đã sai lầm ở chỗ CD không thể là đường kính. Vì thê' phải viết CD < AB.