Giải toán 9 Bài 7 + Bài 8. Vị trí tương đối của hai đường tròn

§7. §8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐÔÌ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN A. Tóm tắt kiến thức
1. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn
VỊ trí tương đối
Số điểm chung
Hộ thức giữa
d, R và r
Hai đường tròn cắt nhau
2
R-r<d<R + r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau :
Tiếp xúc ngoài
Tiếp xúc trong
1
d = R + r
d=-R-r
Hai đường tròn khđng giao nhau :
ở ngoài nhau
(0) dựng (O')
Đặc biệt: (0) và (O') đồng tâm
0
d > R + r
d<R-r
d = 00' = 0.
2. Tính chất của đường nối tăm
Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.
Từ đó suy ra :
Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm (h.a).
Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung (h.b).
Hình a	Hình b
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho hai đường tròn (O ; R) và (ơ ; r) với R > r, cắt nhau tại A và B. Vẽ hình bình hành OAƠM.
Chứng minh rằng BM // oơ.
Vẽ đường kính AOC. Chứng minh ba điểm B, M, c thẳng hàng.
Giải, a) Vẽ dây chung AB cắt 00' tại K.
Ta có KA = KB.
Gọi I là giao điểm của AM với OO' thì IA = IM (tính chất đường chéo hình bình hành).
Xét AABM thì IK là đường trung bình nên IK//BMhay BM//00’.	(1)
Xét AABC có OK là đường trung bình nên OK//BChay BC//OO'. (2)
Từ (1) và (2), theo tiên đề O-clit suy ra ba điểm B, M, c thẳng hàng. Nhận xét. Việc vẽ thêm dây chung AB để .có thể vận dụng định lí đường trung
bình của tam giác là một phần quan trọng trong chứng minh ví dụ này. Khi bài toán có hai đường tròn cắt nhau, nếu cần vẽ đường phụ, ta thường vẽ thêm dây chung.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Hình a
Bài 33. HD : Chứng minh một cập góc so le trong bằng nhau bằng cách dùng hai góc A đối đỉnh làm trung gian.
Bài 34. Vẽ dây chung AB cắt 00' tại H.
Ta có AB 1 00’ và HA = HB = 12cm.
Ta có
OH2 = OA2 - AH2 = 202 - 122 = 256 => OH = 16cm.
Hình b
O'H2 = 0'A2 - AH2 = 152 - 122 = 81 => O'H = 9cm.
Nếu o và O' nằm khác phía đối với AB (h.a) thì
00'= 16 + 9 = 25 (cm).
Nếu o và O' nằm cùng phía đối với AB (h.b) thì
Bài 35.
00' = 16-9 = 7 (cm).
- Dòng đầu :	0 ; d < R - r.
Dòng thứ hai
Dòng thứ ba :
Dòng thứ tư :
Dòng cuối :
0 ngoài nhau ; 0.
1 ; d = R + r.
Tiếp xùc trong ; 1.
Cắt nhau ;R-r<d<R + r.
Bài 36. a) Gọi O' là tâm của đường tròn đường kính OA thì O'A = 0'0.
Ta có 00' = OA - O'A hay d = R - r nên đường tròn (O) và đường tròn (O') tiếp xúc trong.
b) Tam giác CAO có cạnh OA là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nên ACAO vuông tại c
=> oc 1 AD
=> CA = CD (đường kính vuông góc với một dây).
Bài 37. Vẽ OM 1 AB.
Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây ta được MA = MB và MC = MD.
Từ đó suy ra AC = BD.
Nhận xét. Kết luận của bài toán vẫn được giữ nguyên nếu c và D đổi chỗ cho nhau.
Bài 38. a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nên d = R + r = 3+ l= 4 (cm). Trả lời: Đường tròn (O ; 4cm).
Hai đường tròn tiếp xúc trong nên d = R- r = 3- l= 2 (cm). Trả lời: Đường tròn (O ; 2cm).
Ta có AI ± 00'. Xét AOIO' vuông tại I, ta có IA2 = OA.O'A = 9.4 = 36 => IA = 6.
Do đó BC = 12 (cm).
Nhận xét. Câu a), b) chỉ là gợi ý để làm câu c). Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thèm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuân lơi.
Bài 40. Trong hệ thống các bánh xe răng cưa thì hai bánh xe răng cưa tiếp xúc ngoài bao giờ cũng chuyển động ngược chiều nhau, hai bánh răng cưa tiếp xúc trong bao giờ cũng chuyển động cùng chiều nhau. Vì vậy hệ thống bánh răng ở hình a), hình b) chuyển động được. Hộ thống bánh răng ở hình c) không chuyển động được.
D. Bài tập luyện thêm
Cho đường tròn (O ; 17) và đường tròn (O' ; 10) cắt nhau tại A và B. Biết 00’ = 21, tính AB.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Vẽ đường tròn (O) đường kính CD và đường tròn (A ; a).
Chứng minh rằng hai đường tròn này cắt nhau.
Gọi N là giao điểm của hai đường tròn (N * D). Tia CN cắt AB tại M. Chứng minh rằng diện tích tứ giác AMCO bằng một nửa diện tích hình vuông.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AB = 2 ; CD = 4,5 và BC = 6,5. Vẽ đường tròn (B ; 2) và đường tròn (C ; 4,5).
Chứng minh rằng hai đường tròn này tiếp xúc ngoài với nhau và cùng tiếp xúc với AD.
Gọi N là tiếp điểm của hai đường tròn. Qua N vẽ một tiếp tuyến chung cắt AD tại M. Chứng minh rằng AD = 2.MN.
Tính diện tích hình thang.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
Gọi H là giao điểm của AB với đường thẳng 00'. Khi đó : HA = HB và AB ± 00'.
Ta đặt OH = X thì O'H = 21 - X.
Từ (1) ta được phương trình : 172 - X2 = 100 - (21 - x)2. Giải ra ta được X = 15, do đó AH = 8 và AB =16.
B
Ta có AO là đoạn nối tâm.
Xét AAOD có :
AD - OD < OA < AD + OD hay R - r < AO < R + r.
Vậy hai đường tròn (A) và (O) cắt nhau.	c
Vẽ dây chung DN cắt AO tại H, ta được
HN = HD.
Xét ADCN có OH là đường trung bình nên OH // CN hay AO // CM. Mặt khác AM // oc nên tứ giác AMCO là hình bình hành.
Diện tích hình bình hành này là :
1	* 2-lc
‘d.d——d ——s
s = OC.AD
ABCD-
Nhận xét.
3.
Nhận xét.
c
2 2 2
Khi bài toán có hai đường tròn cắt nhau, ta thường vẽ thêm dây chung để xuất hiện những yếu tố mói giúp ta chứng minh được dễ dàng.
BC là đoạn nối tâm. Ta có BC = 6,5 - 2 + 4,5 hay d = R + r.
Do đó đường tròn (B) và đường tròn (C) tiếp xúc ngoài.
Ta có BA là bán kính của đường tròn (B), CD là bán kính của đường tròn (C) mà AD ± BA ;
AD ± CD nên AD là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C).
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :
MA = MN ; MD = MN do đó MA + MD = 2MN hay AD = 2MN.
Ta có Ml = Mỉ ; Ms - M4 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Suy ra MB ± MC.
Xét AMBC vuông tại M, có MN ± BC (tính chất của tiếp tuyến).
Do đó MN2 = NB.NC = 2.4,5 = 9 => MN = 3 và AD - 6.
Diện tích hình thang ABCD là :
s = I (AB + CD).AD = I (2 + 4,5).6 = 19,5 (đvdt).
Câu b) là câu gợi ý để làm câu c). Khi bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nhau, nếu cần vẽ đường phụ thì ta vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm.