Giải toán 9 Bài 6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

§6. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYÊN CẮT NHAU A. Tóm tắt kiến thức
Định lí
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm (h.a).
Đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác (h.b).
Hình a	Hình b	Hình c
Đường tròn bàng tiếp tam giác
Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia.
Tâm cửa đường tròn bàng tiếp trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và c, giao điểm này cũng nằm trên đường phân giác góc A (h.c).
Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, c là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của tia AO với dây BC. Vẽ điểm D đối xứng với A qua BC.
Chứng minh rằng tứ giác ABDC là hình thoi.
Đường thẳng co cắt BD tại E. Chứng minh rằng BD và CD là các tiếp tuyến của đường tròn (O ; OE).
Giải.
a) Ta có, AB = AC và Ai - A2 (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra AABC cân tại A và
AH 1 BC ; HB = HC.
Ta lại có HA = HD nên tứ giác ABDC là hình bình hành.
/^1
(í
'^2
ợ
r
H/\	1 .y
sZ
yy
B
Hình bình hành này có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi.
b) Ta CÓ oc ± AC (tính chất của tiếp tuyến).
Suy ra OE 1 BD (vì BD // AC).
Vậy BD là tiếp tuyến của đường tròn (O ; OE).
Vẽ OF ± CD thì OE = OF (điểm o nằm trên tia phân giác của góc D thì cách đều hai cạnh của góc D).
Vậy điểm F nằm trên đường tròn (O ; OE), suy ra CD là tiếp tuyến của đường tròn này.
Nhận xét. Khi vẽ hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì tia nối từ điểm đó qua tâm vuông góc với dây cung nối hai tiếp điểm. Tính chất này thường dùng để giải nhiều bài tập có liên quan đến hai tiếp tuyến cắt nhau.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 26. a) Vì AB, AC là các tiếp tuyến nên AB - AC và Ai = A2.
Suy ra OA ± BC (tính chất của tam giác cân).
Điểm B nằm trên đường tròn đường kính CD nên CBD = 90°.
Suy ra BD // AO (vì cùng vuông góc VỚI BC).
Nối OB thì OB 1 AB.
Xét AAOB vuông tại B có :
; A OB 2	1
sin A, = — = — = —
1 OA 4	2
=> Âi = 30° => BAC = 60°.
Tam giác ABC cân, có một góc 60° nên là tam giác đều. Ta có AB2 = OA2 - OB2 = 42 - 22 = 12 => AB = 2V3.
Vậy AB = AC = BC = 2V3 cm.
Nhận xét. Qua câu c) ta thấy : Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng 60°.
Bài 27. HD. Chứng minh
AB = AC ; DB = DM và EC -EM.
Chu vi AADE =
= AD + DM + ME + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB.
Bài 28. HD : Gọi tâm của đường tròn là o. Hãy xác định vị trí của tia AO đối với góc xAy.
Bài 29. • Phân tích
Đường tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nên tâm o nằm trên tia phân giác Am của góc xAy.
Đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B nên tâm o nằm trên đường thẳng d ± Ax tại B.
Vậy o là giao điểm của tia Am với đường thẳng d.
Cách dựng
Dựng tia phân giác Am của góc xAy.
Qua B dựng đường thẳng d ± Ax, cắt tia Am tại o.
Dựng đường tròn (ó ; OB), đó là đường tròn phải dựng.
Chứng minh
Vì OB 1 Ax tại B nên đường tròn (O ; OB) tiếp xúc với Ax tại B.
Vì o nằm trên tia phân giác của góc xAy nên o cách đều hai cạnh của góc xAy. Do đó đường tròn (O ; OB) tiếp xúc với Ay..
Bài 30.
• Biện luận. Bài toán luôn có một nghiệm hình.
Ax ± OA tại A, By ± OB tại B nên Ax, By là các tiếp tuyến của đường tròn.
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :
CM = CA ; DM = DB ;
Oi = Oỉ; O3 = O4.
Ta có COD = 90° (tính chất hai tia phân giác, của hai góc kề bù).
CD = CM + MD = CA + BD.
Xét ACOD vuông tại o ta có
OM2 = MC.MD = AC.BD hay AC.BD = R2 (không đổi).
Bài 31. a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :
AD = AF ; BD = BE ; CE = CF. Xét vế phải AB + AC - BC =
= (AD + DB) + (AF + FC) - (BE + EC) = (AD + BE) + (AF + CE) - (BE + EC) = AD + AF = 2AD. b) Các hệ thức tương tự là :
2BD = BA + BC - AC ;
2CF = CA + CB - AB.
Nhận xét. Từ bài toán trên ta có các kết quả sau :
AD = AF = p - a ; BD = BE = p - b ; CE = CF = p - c
trong đó AB = c ; BC = a ; CA = b và p là nửa chu vi của tam giác ABC.
Bài 32. HD. Tâm o của đường tròn nội tiếp tam giác đều cũng là giao điểm ba đường trung tuyến, ba đường cao.
Do đó đường cao h = AE = 3.OE - 3cm.
Trong tam giác đều, h = 22C- (a là độ dài mỗi cạnh).
Suy ra a = ^4=* = —7= = 2V3 (cm).
73 73
Do đó diện tích tam giác ABC là
s = 1 ah = ị .273.3 = 373 (cm2).
2 2
Ta chọn (D).
D. Bài tập luyện thêm
1. Cho đường tròn (O ; 2). Từ một điểm A cách o là 2V2, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, c là các tiếp điểm). Tính chu vi tam giác ABC.
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Biết AB = 7 ; AC = 24 va BC = 25. Tính diện tích các tam giác AOB, BOC và COA.
Trong hình bên, đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC. Ta kí hiệu BC = a, AC = b, AB = c vàp = 1±|±£.
Chứng minh rằng :
AM = AN = p ;
BM = BE = p - c ; CN = CE = p - b.
Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Từ một điểm c trên nửa đường tròn, vẽ một tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở D và E. Vẽ CH ± AB cắt AE tại M. Chứng minh rằng :
AD + BE > 2R ;
AD.BE = R2 ;
M là trung điểm của CH ;
Ba đường thẳng AE, BD và CH đồng quy.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô
1. Nối OB, ÒC. ta được OB 1 AB ; oc 1 AC.
Ta có AC2 = OA2 - oc2 = (2V2 )2 - 22 = 4
=> AC = 2, do đó AB = 2.
Tứ giác ABOC có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi. Hình thoi này có C = 90° nên là hình vuông.
2,
Suy ra BC - OA = 2V2.
Chu vi AABC là 2 + 2 + 272=4 + 2^2. Ta có AB2 + AC2 = 72 + 242 = 625 ;
BC2 = 252 = 625.
Vậy AB2 + AC2 = BC2.
Do đó AABC vuông tại A. Từ đó suy ra tứ giác AFOD là hình vuông.
2AD = AB + AC - BC
7 + 24-25
AD =	=3.
Theo kết quả bài 31 SGK ta có
Từ đó tính được SA0B = 10,5 ; SB0C = 37,5 ; SAOC = 36.
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :
BM = BE ; CN = CE và AM = AN.
Ta có AM + AN = (AB + BM) + (AC + CN)
•= AB + BE + AC + CE = AB + AC + (BE + CE)
= AB + AC + BC.
Do đó 2AM = 2p => AM = p => AN = p.
Ta có BM = AM - AB = p - c => BE = p - c.
CN = AN - AC = p - b => CE = p - b.
T	r
/
\ s	t	\
xV	/	\
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AD = CD ; BE = CE.
Vậy AD + BE = CD + CE = DE. Tứ giác ADEB là hình thang vuông tại A và B, DE là một cạnh bên nên DE > AB = 2R. Do đó
AD + BE>2R.	A H o
Ta có DOE = 90° (hai tia phân giác của hai góc, kề bù). Tam giác DOE vuông tại o, suy ra oc2 = CD.CE = AD.BE hay AD.BE = R'.
Ta có AD I I BE // CH.
Áp dụng định lí Ta-let vào các tam giácADE và ABE ta được
(1)
(2)
CM _ CE CM •_ AD _ CD AD - DE CE _ DE - DE
. MH AM CD BE - AE DE
Từ(l)và (2) ta có
CE BE
Mặt khác CE = BE nên CM = MH, do đó M là trung điểm của CH.
Chứng minh tương tự ta được BD đi qua trung điểm của CH.
Do đó ba đường thẳng AE, BD và CH đồng quy tại trung điểm của CH.