Giải toán 9 Ôn tập chương II

ÔN TẬP CHƯƠNG II
A. Tóm tắt kiến thức
CÁC ĐỊNH NGHĨA
Đường tròn tâm o bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm o một khoảng bằng R.
Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó.
CÁC ĐỊNH LÍ
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.
a) Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
b) Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Trong một đường tròn :
Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Trong một đường tròn :
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Dây lớn hơn thì gần tâm hơn, dây gần tâm hơn thì lớn hơn.
a) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
b) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho đường tròn (O ; R) và đường tròn (O' ; r) với R > r, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Các tiếp tuyến chung ngoài BC và DE cắt nhau tại K, trong đó B và D thuộc đường tròn (O), c và E thuộc đường tròn (O').
Chứng minh rằng bốn điểm A, o, O', K thẳng hàng.
Chứng minh rằng tứ giác BCED là hình thang cân.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm cua BC và DE. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Tính diện tích tứ giác OMO'N.
Giải.
Hai tiếp tuyến chung ngoài BC và DE đối xứng với nhau qua đường nối tâm. Vì vậy giao điểm K của chúng nằm trên đường nối tâm 00'. Mặt khác, A là tiếp điểm nên A cũng nằm trên đường nối tâm 00'.
Suy ra bốn điểm A, o, O', K thẳng hàng.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có Kb = KD ; KC = KE và Ki = K2. Từ đây suy ra tứ giác BCED là hình thang cân.
Qua A vẽ một tiếp tuyến chung cắt BG và DE lần lượt tại M' và N'. Ta sẽ chứng minh M' = M và N' = N.
Thực vậy, t£ có M'B = M'A và M’C = M'A, suy ra M’B = M'C, do đó M' = M. Chứng minh tương tự ta được N' = N.
Vậy MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Ta có MO ± MO' (hai tia phân giác của hai góc kề bù).
Xét AMOO' vuông tại M có MA ± 00' nên MA2 = AO.AO' suy ra MA = VrT, dẫn tới MN = 2a/rỡ.
Đường tròn (O) tiếp xúc ngoài với đường tròn (O') nên
00' = 0A + AO' = R + r'
Tứ giác OMO'N có hai đường chéo,vuông góc nên có diện tích là : s= |oơ.MN= |(R + r).27R7 = 7RỠ(R + r).
Nhận xét. Cách chứng minh ở câu c) là chứng minh gián tiếp. Từ A, ta vẽ tiếp tuyến chung M'N' của hai đường tròn rồi chứng minh M'N' trùng với MN dễ hơn chứng minh trực tiếp MN là tiếp tuyến.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
*
Bài 41. a) Tam giác EBH vuông tại E nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BH.
Tương tự tâm K của đường tròn ngoại tiếp AFHC là'trung điểm cua CH.
_ B
Ta có 01 = OB - IB hay d = R - Tj.
Do đó đường tròn (O) và đường tròn (I) tiếp xúc trong.
Chứng minh tương tự, đường tròn (O) và đường tròn (K) tiếp xúc trong.
Ta có IK = IH + HK hay d = r, + r2, do đó hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài.
b) Tam giác ABC có BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nên BAC = 90°.
Mặt khác AEH = 90°, AFH = 90° nên tứ giác AEHF là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
Gọi M là giao điểm hai đường chéo của hình-chữ nhật.
Các tam giác MAF và MHE cân tại M, suy ra Fi = Hi.
Mặt khác B = Hi nên B = Fi.Do đó AABC co AAFE (g.g).
AR AG
Suy ra —— = ——, do đó AB.AE = AC.AF.
AF AE
AMEI = AMHI (c.c.c) => MEI = MHI = 90°. Do đó IE 1 EF. Chứng minh tương tự, KF ± EF.
Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
Ta có EF = AH (hai đường chéo của hình chữ nhật).
AH = HD = y AD (đường kính vuông góc với dây).
Do đó EF = 4aD.
2
EF lớn nhất o AD lớn nhất AD là đường kính của đường tròn (O) «H = O.
Vậý khi H trùng với o thì EF có độ dài lớn nhất.
Bài 42. a) Ta có MA = MB =
AMO = BMO (tính chất tuyến cắt nhau).
Suy ra OM 1 AB,
Chứng minh tương tự ta OM 1 AC.
Mặt khác MO ± MO' (hai tia phân giác của hai góc kề bù).
Tứ giác AEMF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, b) Tam giác AOM có AE ± OM nên ME.MO = AM". (1)
Tương tự, MF.MƠ = AM2.	(2)
Từ (1) và (2) suy ra ME.MO = MF.MO'.
c) Vì MA - MB = MC nên đường tròn (M) đường kính BC đi qua A. Mặt khác MA ± 00' (vì MA là tiếp tuyến chung) nên 00' là tiếp
B
tuyến của đường tròn đường kính B^
Ta có 0B // O'C (cùng vuông góc với BC). Tứ giác BCO'0 là hình thang.
Gọi I là trung điểm của 00' thì IM là đường trung bình của hình thang, IM // OB do đó IM 1 BC.
Tam giác MOO' vuông tại M nên đường tròn (I) đường kính 00' đi qua M. Suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn này.
D
Bài 43. a) Vẽ OE ± AC, O'F ± AD, ta được OE // O'F // IA (vì cùng vuông góc với CD).
Xét hình thang OO'FE có
IA // OE và 01 = lơ nên AE = AF.
Mặt khác AE = ị AC ;
2
ẠF = 77 AD nên AC = AD. 2
b) Gọi M là giao điểm của AB và 00'. Ta có AB ± 00' và MA = MB. Xét AABK có IM là đường trung bình nên IM // KB hay KB // 00', suy ra KB 1 AB (vì AB 1 00').
D. Bài tập luyện thêm
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ một cát tuyến cắt đường tròn (O) tại M và cắt đường tròn (O') tại N sao cho A nằm giữa M và N.
Chứng minh rằng MN < 2.00'.
Xác định vị trí của MN để MN có độ dài lớn nhất.
Xác định vị trí của MN để A là trung điểm của MN.
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến OB của đường tròn (O') với B là tiếp điểm. Trên tia đối của tia BO' lấy điểm M sao cho BM = OA. Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Cho đường tròn (O ; R). Từ một điểm A ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B, c là các tiếp điểm). Gọi H là trực tấm của tam giác ABC.
Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi.
Chứng minh ba điểm A, o, H thẳng hàng.
Nếu BAC = 60° thì điểm A di động trên đường nào ? Điểm H di động trên đường nào ?
Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; r) tiếp xúc ngoài tại A. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ 00', vẽ các bán kính OM, O'N song song với nhau.
Chứng minh rằng AM ± AN.
Tính diện tích lớn nhất của tứ giác 0MN0'. Khi đó tam giác AMN có diện tích là bao nhiêu ?
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô
a) Vẽ OH 1 MN ; O'K 1 MN.
Ta được HA = HM ; AK = KN.
Do đó MN = 2HK.
Vẽ ƠI 1 OH thì HK = Oĩ.
Ta có O'I < 00' (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên) nên HK < 00 ’. Suy ra MN < 2.0Ơ.
Ta có MN MN // oơ). Do đó MN lớn nhất là bằng 2.00' khi MN // 00'.
Gọi c là trung điểm của 00'.
Ta có A là trung điểm của MN AM = AN AH = AC là đường trung bình của hình thang OHKO'
« AC // OH o MN _ AC.
II
(B/
0	A
( 0
AK
AAO'M = ABO'O (c.g.c) => A = B = 90 => AM 1 00’
=> AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O').
3. a) AB, AC là hai tiếp tuyến nên OB ± AB ; oc ± AC.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên CE ± AB ; BD ± AC.
Vì đường tròn (O) và đường tròn (O') tiếp xúc ngoài tại A nên o, A, O' thẳng hàng
Do đó OB // CE ; oc // BD ; tứ giác OBHC là hình bình hành.
Hình bình hành này có hai cạnh kề ' nhau : OB = oc nên là hình thoi, b) Ta có AB = AC, HB = HC và OB = oc.
đường trung trực của BC, do đó chúng thẳng hàng, c) Nếu BAC = 60° thì Âi = 30° và ôi = 60°. X
ABOH là tam giác đều => OH = OB = R.
Vậy điểm H di động trên đường
tròn (O ; R).
AAOB vuông tại B có
OB R
OA
sinAj	sin 30°
-=2R.
/
Vậy điểm A di động trên đường tròn (O ; 2R).
4. a) Ba điểm o, A, O' thẳng hàng. Vì OM // O'N nên Ô + Ổ' = 180°.
Các tam giácOAM, O'AN cân nên :
Â, =
180°-O
180°-Ở
~	, 7 360°-(Ô + ở)
Do đó Ai + A2 = 	7	
= 90
Suy ra MAN = 90° hay AM 1 AN. b) Vẽ 0'H 1 OM thì O'H là đường cao của hình thang OMNO'.
Diện tích của hình thang OMNO' là :
<rX
2 2 2 2 2 Vậy diện	tích lớn nhất của	hình thang	OMNO'	là' R + r (R + r),	đạt
được khi OM ± 00o' N _L 00'. Khi đó diện tích AAMN là
'AMN
'OMNO' '
50AM
Sq'AN -
(R + r)2	R2+r2
= Rr.