Giải toán 9 Bài 1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

§1. sự XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN.
TÍNH CHẤT ĐÕÌ XỨNG CÙA ĐƯỜNG TRÒN
A. Tóm tắt kiến thức
Định nghía đường tròn Đường tròn tâm o bán kính R, kí hiệu (O ; R), là hình gồm các điểm cách điểm o một khoảng bằng R.
Nếu A nằm trên đường tròn (O ; R) thì OA = R
Nếu A nằm trong đường tròn (O ; R) thì OA < R
Nếu A nằm ngoài đường tròn (O ; R) thì OA > R
Định lí về sự xác định một đường tròn Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
Tâm o của đường tròn đi qua ba điểm A, B, c là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Tính chất đôi xứng của đường tròn
Đường tròn là hình có tâm đối xứng và có trục đối xứng : tâm đối xứng là tâm đường tròn, trục đồi xứng là bất kì đường kính nào.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho hình thoi ABCD, đường trung trực của AB cắt BD tại K.
Chứng minh rằng K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho biết BD = 8 ; AC = 6, tính bán kính của đường tròn nói trên.
Giải, a) Gọi o là giao điểm của hai
đường chéo của hình thoi.
Ta có AC ± BD và OA = oc ; OB = OD.
Vậy K là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC của AABC nên K là. tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
A
b) Ta có OA = 3 ; OB = 4, do đó AB = 5.
Gọi E là giao điểm thứ hai của đường tròn (K) với BD. Tam giác ABE có cạnh BE là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nên tam giác ABE vuông tại A.
,	AR2 25
Suy ra AB = BE.BO => BE =	= — = 6,25.
BO 4
Do đóR = BE : 2 = 3,125.
Nhận xét. Ở câu b ta đã dùng định lí : Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông. Định lí này rất hay dùng để nhận biết tam giác vuông trong đường tròn.
Bài 1.
c. Hướng dân giải các bài tập trong sách giáo khoa
AC = 13.
Gọi o là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có
OA = OB = oc = OD.
Bốn điểm A, B, c, D cách đều điểm o nên bốn điểm này cùng thuộc một đường tròn.
Xét AABC vuông tại B, có AC2 = AB2 + BC2 = 122 + 52 = 169
Bán kính của đường tròn là R = 13 : 2 = 6,5.
Nhận xét : Để chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn, ta chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm.
Bài 2. Nối (1) với (5) ; nối (2) với (6) ; nối (3) với (4).
Bài 3.
Nhận xét.
Bài 4.
Bài 5.
Bài 6.
Xét AABC vuông tại A.
Gọi o là trung điểm của cạnh huyền BC, ta có :
OA = OB = oc.
Vậy o chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp AABC.
Xét AABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.
Ta có OA = OB = oc (= R).
Suy ra OA = BC, do đó
AABC vuông tại A.
Y	y'
g	A-
1
// V?
-2I "'ỉ //
\ AT’/—
0	3/2" y2	X
-1	/
; 2).
Định lí trong bài tập này thường được dùng để giải nhiều bài tập về nhận biết tam giác vuông.
HD. Khoảng cách d từ gốc tọa độ đến điểm (x ; y) được tính theo công thức d = ựx2 +y2.
Ta có OA = y/ĩ A nằm trong đường tròn (O ; 2).
OB = V5 > 2 => B nằm ngoài đường tròn (O ; 2). oc = 2 => c nằm trên đường tròn HD. - Trên đường tròn lấy ba điểm A, B, c.
Vẽ hai dây AB, AC.
Dựng các đường trung trực của AB, AC chúng cất nhau tại o, đó là tâm của đường tròn.
Cách khác : - Gấp tấm bìa sao cho hai phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp là một đường kính.
Lại gấp như trên theo nếp gấp khác, ta được một đường kính thứ hai. Giao điểm của hai đường kính là tâm của đường tròn.
Hình 58 vừa có tâm đối xứng, vừa có hai trục đối xứng.
Hình 59 có một trục đối xứng.
Bài 7 Bài 8.
Bài 9
Nối (1) với (4) ; nối (2) với (6); nối (3) với (5).
Phân tích
Giả sử đã dựng được đường tròn (O) thỏa mãn đề bài. Tâm o phải thỏa mãn hai điều kiện :
o nằm trên đường trung trực ■ m của BC.
o nằm trên tia Ay.
Cách dựng
Dựng đường trung trực m của BC, cắbAy tại o.
Dựng đường tròn (O ; OB), đó là đường tròn phải dựng.
Chứng minh
Vì điểm o e m nên OB = oc, suy ra đường tròn (O ; OB) đi qua B và c. Mặt khác, o e Ay nên đường tròn (O) thỏa mãn đề bài.
• Biện luận
Vì m luôn cắt tia Ay tại một điểm o duy nhất nên bài toán luôn có một nghiệm hình.
HD. a) Vẽ hình vuông ABCD. Vẽ bốn cung tròn vào trong hình vuông, mỗi cung có tâm là một đỉnh của hình vuông và có bán kính bằng cạnh hình vuông.
b) Vẽ 5 cung tròn có tâm lần lượt là A, B, c, D, E, bán kính bằng đường chéo của mỗi ô vuông.
D. Bàỉ tập luyện thêm
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM. Vẽ điểm D đối xứng với A qua BC. Vẽ điểm E đối xứng với A
• qua M. Chứng mirih rằng 5 điểm A, B, c, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định, đỉnh A di động sao cho đường trung tuyến BM = l,5cm. Hỏi :
Điểm M di động trên đường nào ?
Điểm A di động trên đường nào ?
Cho trước 5 điểm A, B, c, M, N sao cho bốn điểm A, B, c, M cùng nằm trên một đường tròn, bốn điểm B, c, M, N cùng nằm trên một đường trộn. Chứng minh rằng có thể vẽ được một đường tròn đi qua cả 5 điểm A, B, c, M, N.
1.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
Tam giác ABC vuông tại A nên theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ta có :
MA = MB = MC. (1)
Vì D đối xứng với A qua BC nên
MD = MA.	(2)
Vì E đối xứng với A qua M nên
ME = MA.	(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra MA = MB = MC = MD = ME.
thuộc một đường tròn tâm M, bán
Do đó 5 điểm A, B, c, D, E cùng kính MA.
a) Điểm M cách điểm B cho trước một khoảng là l,5cm nên điểm M di động trên đường tròn (B ; l,5cm).
b) Vẽ điểm o đối xứng với điểm c qua B. Xét AAOC có BM là đường trung bình nên
BM = ị OA => OA = 3cm.
2
Điểm A cách điểm o cố định một khoảng là 3cm nên điểm A di động trên đường tròn (O ; 3cm).
Cảnh báo. Nói rằng điểm A di động trên đường tròn (B ; BA) là sai vì khoảng cách BA luôn thay đổi.
Bốn điểm A, B, c, M cùng nằm trên một đường tròn. Bốn điểm B, c, M, N cùng nằm trên một đường tròn. Hai đường tròn này có ba điểm chung là B, c, M nên chúng phải trùng nhau. Do đó cả 5 điểm A, B, c, M, N cùng nằm trên một đường tròn.