Giải toán 9 Bài 4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

$4. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. Tóm tắt kiến thức
Các hệ thức
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng :
Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề ;
Cạnh góc \TJông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề. b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = asinC = acosB c = btgC = bcotgB
Giải tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại.
B. Ví dụ giải toán
A
Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông tại A biết B = 57° và AC = 3,5.
Nhận xét. ơ trên ta đã tính BC bằng cách lấy AC (đã cho) chia cho sin B (góc B đã cho). Kết quả sẽ chính xác hơn là tính BC qua các kết quả trung gian. Ví dụ nếu tính BC theo định lí Py-ta-go, BC2 = AB2 + AC2 thì phải dùng số đo của AB « 2,3, đó là một số gần đúng, kết quả có thể kém chính xác hơn.
Ví dụ 2. Tam giác ABC có AB = 4 ; AC = 3. Tính diện tích tam giác này trong hai trường hợp :
a) Â = 60° ;	b) Â = 120°.
Giải.
Vẽ CH ± AB. Trong cả hai trường hợp ta đều có CAH = 60°.
Bài 26
Bài 27
Hình a
Hình c
Ta có CH = AC.sin 60° = 3.sin 60° ~ 2,6.
Diện tích AABC là : s = ị AB.CH « ị .4.2,6 = 5,2 (đvdt). 2 2
Nhận xét. Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh được rằng : Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
’ABC = — AB.AC.sin A (nếu góc A nhọn).
= — AB.AC. sin(l 80° - A) (nếu góc A tù).
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
HD. Chiều cao của tháp là 86.tg 34° -58 (m)
(h.a) B = 90° - 30° = 60°.
AB = AC.tg c = lO.tg 30° « 5,774 (cm) ;
AC 1 (ì
BC =	« 11,547 (cm).
cosC cos30°
(h.b) B = 90° - 45° = 45°.
=> AC = AB = 10 (cm);
AB 10
BC =	--- = ————- ~ 14,142 (cm).
sinC sin 45°
(h.c) C = 90° - 35° = 55°.
AB = BC.cos B = 20.COS 35° « 16,383 (cm); AC = BC.sin B = 20.sin 35° « 11,472 (cm).
AC 18
tgB = -9^ = 77 « 0,8571
AB 21
BC =
B «41°; C «49°.
AC 18
27,437 (cm).
sinB sin41°
Nếu tính theo định lí Py-ta-go thì
Bài 28.
Bài 29.
Bài 30.
Bài 31.
BC — V2Ĩ +18 « 27,659 (cm).	Hình d
Kết quả này chính xác hơn vì khi tính toán, ta dùng ngay các số liệu đã cho mà không dùng kết quả trung gian.
HD. tga=7 => a « 60° 15'.
4
HD. cos a =
250
320
a «38 37'.
Vẽ BK 1 AC, ta được KBC = 60° và KBA = 60° - 38° = 22°.
Xét AKBC vuông tại K có :
BK = BC.sin c = 1 l.sin 30° = 5,5 (cm). Xét AKBA vuông tại K có :
.-"'C
11
BK
5,5
AB =
5,932 (cm).
cos 22° cos 22°
Xét AABN vuông tại N có
AN = AB.sin38° « 5,932.sin38° « 3,652 (cm).
Xét AANC vuông tại N có AC = AN _	~ 75304 (cm).
sinC sin 30°
Xét AABC vuông tại B có :
AB = AC.sin c = 8.sin 54° « 6,472 (cm).
Vẽ AH ± CD. Xét AACH có :	B
AH = AC.sin c = 8.sin 74° « 7,690 (cm).
Xét AAHD vuông tại H có :
AH 7,690
sin D =
AD ~ 9,6
0,8010 =>D«53C
Nhận xét. Để tính được số đo của góc D, ta đã vẽ AH -L CD. Mục đích của việc vẽ đường phụ này là để tạo ra một tam giác vuông biết độ dài hai cạnh và có góc D là một góc nhọn của nó. Từ đó tính được một tỉ số lượng giác của góc D rồi suy ra số đo của góc D.
Bài 32. Gọi AB là đoạn đường mà con thuyền đi được trong 5 phút, BH là chiều rộng của khúc sông,
-ỉ- h là 12
Xét AABH vuông tại H, biết cạnh huyền AB và một góc nhọn thì có thể tính được BH.
Quãng đường thuyền đi trong 5 phút
AB = 2.-^- = ị (km). 12 6
157 m.
Chiều rộng khúc sông là :
BH = AB.sin A - — sin 70° « 0,1566 (km) 6
D. Bài tập luyện thêm
Giải tam giác ABC vuông tại A biết:
BC = 6,3 ; C = 40° ;
AB = 4,5 ; AC = 5,3.
Tam giác ABC có B = 70° ; C = 50°, đường cao AH = 3,0.
Tính diện tích tam giác ABC.
Cho hình bình hành ABCD có AB = 5,2 ; BC = 3,5 và B = 75°. ' Tính diện tích hình bình hành.
Tam giác ABC có BC = 8,4 ; B = 65° ; C = 40°.
Tính chu vi tam giác ABC.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô'
a) B =50°; AB « 4,0 ; AC « 4,8. b)tgc= ±1 «tg40°
=> C « 40° ; B « 50° ; BC « 7,0.
BH « 1,1 ; CH « 2,5, do đó BC « 3,6
3.
4.
=> s « 5,4 (đvdt).
(Xem hình bên)
Vẽ đường cao CH, ta có
CH = BC.sin B = 3,5.sin 75° « 3,4. Diện tích hình bình hành là : s« 5,23,4 = 17,7 (đvdt).
 = 180°-(65°+ 40°) = 75°.
Vẽ các đứờng cao AH và BK. Ta có BK = BC.sin c = 8,4.sin 40° « 5,4.
AB=-^-^L,5.6.
sin A sin 75°
AH = AB.sin B « 5,6.sin 65° « 5,1.
AC =	’1	S3 7,9.
sinC sin 40°
Chu vi tam giác ABC là :
8,4 + 5,6 + 7,9 = 21,9.
Nhận xét : Việc vẽ thêm các đường cao AH và BK tạo điều kiện vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tính các cạnh của tam giác.