Giải toán 9 Bài 5. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a khác 0)

§5. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THANG
y = ax + b (a 0)
A. Tóm tắt kiến thức
ỉ. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ^0) và trục Ox Gọi A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với Ox và T là một điểm thuộc dường thẳng, nằm phía trên trục Ox. Khi đó góc TAx được gọi là góc tạo bởi đường thảng y = ax + b và trục Ox.
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ^0)
Khi a > 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn và nếu a càng lớn thì góc đó càng. lớn.
Khi a < 0, góc tạo bởi đường thẳng y - ax + b và trục Ox là góc tù và nếu a càng bé thì góc đó càng lớn.
Như vậy, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox phụ thuộc vào a. Người ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y - ax + b.
Lưu ý. Khi a > 0, ta có tgTAx =
OP
1 b 1
b
OA "
b
b
a
a
= a = a . Từ đó
= a = -a .
OA
dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi suy ra số đo của TAx . Khi a < 0, ta có có tg(180° - TAx ) = tgOAP = 777- = I b'
Từ đó tìm được số đo của góc 180° -TAx rồi suy ra số đo của góc TAx .
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1, Hãy chỉ rõ hệ số góc của mỗi đường thẳng sau đây :
y = 5x - 2 ;	b) y = 1 - X ;
y=V3x;	d) y = 3 - V2 X.
Giải, a) Hệ số góc của đường thẳng y = 5x - 2 là 5.
Hệ số góc của đường thẳng y = 1 - X là —1.
Ví dụ 2.
Giải.
Ví dụ 3.
Giải.
Hệ số góc của đường thẳng y = Vĩ X là V3 .
Hệ số góc của đường thẳng y = 3 - V2 X là -V2 . Cho hàm số y = 2x + 4.
Vẽ đồ thị của hàm số.
Xác định hệ số góc của đường thẳng y = 2x + 4.
Tính góc giữa đường thẳng nói trên và trục Ox.
Chọn điểm P(O ; 4).
Cho y = 0, từ 0 = 2x + 4 suy ra 2x = -4. Do đó X = -2.
Chọn điểm A(-2 ; 0).
Kẻ đường thẳng AP, đó chính là đồ thị của hàm số.
Hệ số góc của đường thẳng y = 2x + 4 là 2.
Góc giữa đường thẳng y = 2x + 4 và trục Ox là góc PAx.
Ta có tgPAx = a = 2.
Nhờ bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được PAx « 63°26'. 0 Lưu ý. Điểm A có hoành độ là -2.
Nhưng độ dài của đoạn OA = 2 vì độ dài là một số không âm. Do đó từ
L.	*_íT7r. OP 4 -
hình vẽ ta thây tg PAx = -— = — = 2.
OA 2
Cho hàm số y = -3x - 3.
Vẽ đồ thị của hàm số.
Tính góc giữa đường thẳng y = -3x - 3 và trục Ox.
— Chọn điểm P(O ; —3).
. \	
T
-1
\°
\
p
-3
í
- Cho y = 0, từ 0 = -3x - 3 suy ra X = -1. Chọn điểm A(-l ; 0).
s - Kẻ đường thẳng AP, đó chính là đồ thị hàm số.
tgOAP= -(-3) = 3. Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi tính được OAP «71°34'.
Do đó ÍÂĨí « 180° - 71°34'= 108°26'.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Vậy hàm số đã cho là y = 2x - 3.
Bài 30.
Hàm số đã cho là y = 3x + b.
Vì đồ thị đi qua điểm A(2 ; 2) nên 2 = 3.2 + b. Suy ra b = -4.
Vậy hàm số đã cho là y = 3x - 4.
Vì đồ thị của hàm số đã cho song song với đường thẳng y = v?x nên nó có hệ số góc là a = V3 . Do đó hàm số đã cho là y = V3 X + b. Vì đồ thị đi qua điểm B( 1 ; V3 + 5) nên V3 + 5 = V3 .1 + b. Suy ra b = 5. Vậy hàm số đã cho là y = V3 X + 5.
Đồ thị được vẽ như hình bên.
Giao của đường thẳng y = 0,5x + 2 với Ox là A(-4 ; 0).
Giao của đường thẳng y = -X + 2 với Ox là B(2 ; 0).
. Vì hai đường thẳng y = 0,5x + 2 và y = -X + 2 đều có tung độ gốc là 2 nên giao của chúng là C(0 ; 2).
Ta có tgA = 0,5. Suy ra A « 26°34'.
Vì ABOC là tam giác vuông cân nên B = 45°.
Suy ra ACB « 180° - (26°34 + 45°) = 108°26'.
Bài 31.
Ta có AB = 6 (cm), AC = V22 +42 = 2V5 (cm), BC = 2 V2 (cm). Do đó chu vi của AABC là 6 + 2 V5 + 2 V2 (cm).
D. Bài tập luyện thêm
Cho hàm số bậc nhất y = ax + b. Xác định a và b để đường thẳng
1
y = ax + b có hệ số góc là —~ và đi qua điếm M(2 ; -2).
Cho đường thẳng y - ax + b có tung độ gốc là 3 và cắt trục Ox tại điểm Q(-2 ; 0).
Xác định hệ số góc của đường thẳng.
Vẽ đồ thị của hàm số với a và b vừa tìm được.
Cho đường thẳng y = -2x + 2.
Xác định đường thẳng y = ax + b biết rằng nó đi qua điểm M(2 ; 3) và có cùng tung độ gốc với đường thẳng y = -2x + 2.
Xác định hệ số góc của đường thẳng tìm được trong câu a).
Chứng tỏ rằng đường thẳng tìm được trong câu a), đường thẳng đã cho và trục Oy đồng quy.
Dùng định lí Py-ta-go để chứng minh rằng đường thẳng tìm được trong câu a) vuông góc với đường thẳng đã cho.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
ĐS : a = -ị,b = -l.
2
a) b = 3, -- = -2.
a
Suy ra hệ số góc của đường thẳng
, . X ỉ	3
b) Đường thăng đã cho là y = — X
Đồ thị được vẽ như hình bên.
a) Tung độ gốc của đường thẳng y - -2x + 2 là 2. Theo giả thiết b = 2. Vì đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(2 ; 3) nên 3 = a:2 + 2.
Vì đường thẳng y = y X + 2 và đường thẳng y = —2x + 2 có cùng
tung độ gốc là 2 nên chúng đều cắt Oy tại điểm P(0 ; 2).
Vậy hai đường thẳng nói trên và Oy đồng quy tại p.
Ta có PA2 = 22 + 42 = 20, PB2 = 22 + l2 = 5.
AB2 = 52 = 25 = 20 + 5 = PA2 + PB2.
Vậy hai đường thẳng y = -2x + 2 và y = -7- X + 2 vuông góc với nhau.