Giải toán 9 Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY A. Tóm tắt kiến thức Định lí 1. Trong một đường tròn : Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Định lí 2. Trong hai dây của một đường tròn Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. Đ. Ví dụ giải toán Ví dụ. Hình sau có đường tròn (O) và hai dây AB, CD vừa bằng nhau vừa song song. Chứng minh rằng tứ giác ABDC là hình chữ nhật. Giải. Trước hết ta chứng minh AD và BC là hai đường kính. Vẽ OH 1 AB ; OK 1 CD. Vì AB // CD nên ba điểm H, o, K thẳng hàng. Vì AB = CD nên OH = OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm), Nối OA, OD ta được AHOA = AKOD (cạnh huyền, cạnh góc vuông). Suy ra Oi =02, do đó ba điểm A, o, D thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta được ba điểm B, o, c thẳng hàng. Tứ giác ABDC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Hình bình hành này có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật. Cảnh báo. Nhiều bạn ngộ nhận AD, BC là đường kính, chỉ chứng minh OA = OB = oc = OD rồi suy ra ABDC là hình bình hành. Đó là một sai lầm. c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa Bài 12. ạ) Vẽ OH ± AB, ta có HA = HB = 4cm. Xéj AHOB vuông tại H, có OH2 = OB2 - HB2 = 52 - 42 = 9 => OH = 3 (cm). b) Vẽ OK 1 CD. Tứ giác KOHI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra OK = HI. Ta có HI = 4 - 1 = 3cm, suy ra OK = 3cm. Vậy OH = OK = 3cm. Hai dây AB và CD cách đều tâm nên chúng bằng nhau. Do đó AB = CD. Bài 13. a) Vì HA = HB nên OH 1 AB. Vì KC = KD nên OK 1 CD. Mặt khác, AB = CD nên OH = OK (hai dày bằng nhau thì cách đều tâm). E AHOE = AKOE (cạnh huyền, cạnh góc vuông). SuyraEH = EK. . (1) b) Ta có HA = KC (một nửa của hai dây bằng nhau). (2) Từ (1) và (2) suy ra EH + HA = EK + KC hay EA = EC. Bài 14. HD. Vẽ OH ± AB, đường thẳng OH cắt CD tại K. Hãy chứng minh OK 1 CD, KC = KD và HA = HB. Tính được OH =15, suy ra OK = 7. Bài 15. HD. Từ đó suy ra KD = 24, suy ra CD = 48. Xét đường tròn nhỏ ta được OH < OK. Xét đường tròn lớn ta được ME > MF. Từ kết quả câu b) suy ra MH > MK. Bài 16. Vẽ OH JL EF. Xét AHOA vuông tại H ta có OH < OA. Suy ra EF > BC. Nhận.xét. Trong các dây đi qua một điếm A ở trong đường tròn, dây vuông góc với OA là dây ngắn nhất. D. Bài tập luyện thêm Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O ; 5). Biết BC = 8, hãy tính khoảng cách từ tâm o tói các cạnh của tam giác. Cho đường tròn (O ; 5), dây AB = 2V21. Vẽ dây MN // AB và cách AB là 2cm. Tính độ dài của dày MN. Cho đường tròn (O ; 6,5). Vẽ hai dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại điểm K ở bên trong đường tròn. Biết mỗi dây có độ KA dài 12cm và KA < KB. Tính tỉ số KB Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số Xét AHOC vuông tại H có __7 7 7 _7 .7 OH- = OC- - HC = 5 - 4 = 9 =>OH = 3. Xét AABH vuông tại H có AB2 = AH2 + BH2 = 82 + 42 = 80 => AB = 4^5. Vẽ.OK ± AB, ta có OK2 = OA2 - AK2 = 52 - (2^5 )2 = 5 => OK = 75. Vì AB = AC nên khoảng cách từ o tới hai dây này bằng nhau và bằng 75. Khoang cách từ o tó'i BC là 3. Giải tương tự như bài 14 SGK, nhưng bài toán có hai đáp số là 6 và 10. N 0 1 □ X.J* / "I 3 K M Vẽ OM ± AB, ON 1 CD. Vì AB = CD nên OM = ON, do đó tứ giác NOMK là hình vuông => MK = OM. Vì OM 1 AB nên MA = MB = 6. OM2 = OB2 - MB2 = (6,5)2 - 62 = 6,25 => OM = 2,5, do đó KM = 2,5. Tỉ số KB 8,5 17' Suy ra KA = 6 - 2,5 = 3,5 ; KB = 6 + 2,5 = KA 3,5 7