Giải toán 9 Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

  • Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức trang 1
  • Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức trang 2
  • Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức trang 3
  • Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức trang 4
  • Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức trang 5
  • Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức trang 6
  • Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức trang 7
  • Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức trang 8
§2. CĂN THỨC BẬC HAI
VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC TÃ1=|a|
Tóm tắt kiến thức
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi VÃ là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
Điều kiện để cãn thức VÃ được xác định (hay có nghĩa) là giá trị của A không âm.
Lưu ý. Nếu biểu thức A có chứa biến, muốn tìm giá trị của biến để cãn thức VÃ được xác định, ta phải giải bất phương trình A > 0.
Với mọi biểu thức A, ta luôn có VÃ2" = I A| hay
ry [ A nếu A > 0,
Va2 =	. V /7
-A nếu A < 0.
Ví dụ giải toán
Vídụl. Tính:
V(-37)2 ;	b) V(3-VĨÕ)2 ;	c) V4x2 + 2ƠX + 25 .
Giải. Áp dụng đẳng thức VÃ2" = IA|, ta có :
V(-37)2 = |-37| =37;
V(3-VĨÕ)2 = |3-VĨÕ|.
Để viết kết quả dưới dạng không còn dấu giá trị tuyệt đối, ta phải xét xem 3 - Vĩõ là số âm hay dương. Muốn vậy cần so sánh 3 và Vĩõ .
Vì 3 = vv và 9 < 10 nên 3 < Vĩõ . Do đó 3 -Vĩõ < 0.
Suy ra |3 - VĨÕ| =-(3 - Vĩõ) = Vĩõ - 3.
Vậy V(3-VĨÕ)2 = Vĩõ - 3.
c) Ta có : \Ux2 +2ŨX + 25 - ự(2x + 5)2 = |2x + 5|.
Nhưng |2x + 5| = <
2x + 5 khi 2x + 5 > 0 hay khi X > —I
-(2x + 5) khi X
Vậy khi X > —I thì aMx2 +20x + 25 = 2x + 5 ;
khi X < —thì V4x2 +20x4-25 = -(2x + 5) = -2x - 5.
khi x < —f- thì aMx2 +2ƠX+-25 - 2
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức : 7X +1-277 + 7X +1 + 277 .
Phân tích. Ta chỉ có thể hy vọng rút gọn được biểu thức nếu có thể biến đổi
căn hơn. Nhận thấy rằng để 77 có nghĩa thì X > 0. Do đó X = (77 )2. Thế thì X + 1 - 277 = (77)2 - 277 + 1 = (77 - l)2 và do đó
X +1 -277 = V(77-l)2 . Bây giờ có thể áp dụng đẳng thức A2 =!a|.
Giải. Ta có 7X+1-277 + 7X+1+277 = V(7x)2-277+1 + ự(77)2 +277+1 '
= ặ/ (77 — l)2 + ự (77 + l)2 = |77 —l| + |77 + l|.
Vi 77 > 0 nên 77 + 1 > 0. Do đó |77 + l| - yfx + 1.
Mặt khác 77 - 1 > 0 khi 77 > 1 hay khi 77 >71 ; tức là khi X > 1.
Do đó	|77-1
Vậy khi X > 1 thì
-1 =
77 -1 khi X > 1
1 - 77 khi 0 < X < 1.
7x +1-277+7x +1+277 - 77-1 + 77 +1=2 77 ;
khi 0 < X < 1 thì
ựx +1-2a/x + ạ/x + 1 + 2a/x = 1 -a/x + Vx +1 = 2. Ví dụ 3. Tim điều kiện của X để mỗi căn thức sau có nghĩa :
b)
3x + 2
a/7-5x ;
Giải, a) a/7-5x có nghĩa khi 7 - 5x > 0.
7
Ta có : 7 - 5x > 0 7 > 5x 4 > X.
5
7
Vậy a/7-5x có nghĩa khi x - 5 •
b) Điều kiện để
x-1
x-l	IX X_1
CÓ nghía là —	> 0.
'3x + 2
3x + 2
Ta có :
(I)«
(II) «
3x + 2
X>1 3x>-2
X<1
> 0 khi <
x-l>0
(I) hoặc
3x < -2
3x + 2 > 0
X>1
x> 1. x > --
3
xi‘ _ 2
o X < —- .
x<-4	3
3
x-l<0 3x + 2 < 0
(II).
I X_1	2
Vậy điều kiện để J--—— có nghĩa là X > 1 hoặc X < - —.
V3X + 2	-	3
Lưu ý.
- > 0 khi >
< 0 khi <
A>0
B>0
A>0
B<0
hoặc khi <
hoặc khi <
Á<0
B<0.
A 0.
Ví dụ 4. Giải phương trình : 3 a/2x + 8 -5 = 7-2 a/2x + 8 .
Phân tích. Vì phương trình có ẩn dưới dấu căn nên ta phải đặt điều kiện cho ẩn để căn thức có nghĩa.
Giải. Điều kiện để căn thức a/2x + 8 có nghĩa là 2x + 8 > 0 hay 2x > -8 hay x>-4.
3a/2x + 8 -5 = 7-2a/2x + 8 «5a/2x + 8 = 12
 ạ/2x + 8 — — 2x + 8 — 5
'12	~	" f12r _n.,o_144
28 28 Vì —> -4 nên phương trình có nghiệm là X =.—H' ■
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 6. a) có nghĩa khi y > 0 ; vì 3 > 0 nên a > 0.
có nghĩa khi -5a > 0 hay khi a < 0.
ự4-a có nghĩa khi 4 - a > 0 hay khi a < 4.
-ự3a + 7 có nghĩa khi 3a + 7 > 0 hay khi a > “.
Bài 7. a)Đ5;0,l.
V(-0,3)2 = 1-0,3| =0,3.
-V(-l,3)2 =-|-l,3| =-1,3.
, d) -0,4-\/(-0,4)2 = -0,4.|-0,4| = -0,4. 0,4 = -0,16. Bài 8. a) ĐS : 2 - V3 .
V(3-VĨĨ)2 = |3-Vĩĩ| = -(3- 7ĨĨ)= Vĩĩ -3.
ĐS: 2a.
3ự(a-2)2 =3|a-2|.
Vì a < 2 nên a - 2 < 0. Do đó |a - 2| = -(a - 2) = 2 - a. Vậy 3 V(a-2)2 = 3(2 - a) = 6 - 3a.
Bài 9. a) Ta có Vx2" = |x| nên Vx2” = 7 |x| = 7.
Vậy X = 7 hoặc X = -7.
HD : Chú ý rằng |—8| = 8. ĐS : X - 8 hoặc X = -8.
HD : Chú ý rằng 4x2 = (2x)2. ĐS ; X = 3 hoặc X = -3.
ĐS : X = 4 hoặc X = ^4.
Bài 10. a) HD : Khai triển vế trái.
Áp dụng kết quả của câu a) ta được : V4-2V3 =73-1.
Suy ra V4-2V3 - Ti = -1.
Bài 11. a) ĐS : 22.
36 : T2.32.18-Tl69 = 36 : Vl8.18 - 13
= 36 : V182” - 13 = 36 : 18 - 13 = 2 - 13 = —11.
ĐS : VVsĩ = 3.
£>s: 732 +42 =5.
Bài 12. a) ĐS ; X >-3,5.
ĐS : X < 4.
3
Điều kiện để J—V— có nghĩa là : —V— > 0.
V-1+X	— 1 + x
Vì 1 > 0 nên -1 + X > 0. Do đó X > 1.
0 Lưu ý. Trong một phân số, mẫu số phải khác 0.
Vì X2 > 0 với mọi giá trị của X nên 1 + X2 > 0 với mọi giá trị của X. Do đó Tl + X2 có nghĩa với mọi giá trị của X.
Bài 13. a) Vì a < 0 nên Tã2” = |a| = —a.
Đo đó 2 Vã2”- 5a = -2a- 5a = -7a. b) ĐS : 8a.
Vi a4 = (a2)2 và a2 > 0 nên
VÕF + 3a2 = V(3a2)2 + 3a2 = 3a2 + 3a2 = 6a2.
Vi a < 0 nên a3 < 0 và |a31 = -a3. Do đó
5 Vĩ/ - 3a3 = 5 V(2a3)2 - 3a3 = 5. |2a31 - 3a3 = 5.(-2a3) - 3a3 = -13a3.
Bài 14. HD. Chú ý rằng nếu a > 0 thì a = (Vã )2.
x2-3 = x2-(V3)2 = (x- V3)(x+ Vĩ).
Trả lờiX2 - 6 = (x - Vó )(x + Vó ).
Trả lời : X2 + 2 V3 X + 3 = (x + V3 )2.
Trả /ớz’; X2 - 2 V5 X + 5 = (x - V5 )2.
Bài 15. a) £)S .■ X = V5 hoặc X = - V5 .
x2-2VĨĨx+ 11 = 0 (x - Vĩĩ)2 = 0 X - Vĩĩ = 0 X = Vĩĩ.
Bài 16. Phép chứng minh sai ở chỗ : sau khi lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng
thức (m-v)2 = (V-m)2, ta được kết quả |m-V| = |V-m| chứ không thể có m - V = V - m .
D. Bài tập luyện thêm
Tim điều kiện để căn thức có nghĩa :
-V3x -18 ;	b) ạ/Vx2 +4V3X + 3 ;
V2X2 +3x-2 ;	d) j2X + 2 .
\2x-5
Rút gọn biểu thức :
15 VĨ4 + 2V(VĨ4-4)2 -8 ; b) Vx2 -4x + 4 - Vx2 +4x + 4 .
Giải phương trình :
Vó -2x = V3x + 12 ;	b) V4x -28Vx + 49 = 5. •
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
a) ĐS : X > 6.
HD : Phân tích biểu thức dưới dấu cãn thành thừa số.
Trả lời: Căn thức có nghĩa với mọi giá trị của X. c) Ta có 2x	a) 15Vĩĩ + 2-\/(VĨ4 - 4)2 -8 = 15VĨ4 + 2IVĨ4-4| -8.
Vì 4 = VĨ6 > V14 nên Vũ - 4 < 0.
Do đó Ịa/Ĩ4 - 4) = -(V14 - 4) = 4 - V14 . Suy ra
15ạ/Ĩ4 + 2 ạ/( V14 — 4)2 -8 = 15 Vũ +2(4- Vũ)-8= 13 Vũ.
Vx2 -4x + 4-Vx2 +4x + 4 =ạ/(x-2)2 -ự(x + 2)2 = |x —2|-|x + 2|.
Ta có X — 2 > 0 \x > 2 ; x + 2>0x> -2.
 + 3x - 2 = 2x2 + 4x-X-2
Do đó :
= (2x2 + 4x) - (x + 2) = (x + 2)(2x - 1)
v/2x2+3x-2 = V(x + 2)(2x-l).
Điều kiện để căn thức có nghĩa là : (x + 2)(2x -
x + 2>0
x + 2<0 TT
ra khi <
(I) hoăc (
M II)-
2x-l>0
^2x-l<0
x>-2	1
1	 X > — .
x>-	2
(I)« <
2
X <-2
(II) 
1	 X < -2.
x<- 1 2
Vậy điều kiện để v/2x2+3x-
- 2 có nghĩa là X > -
d)//D .
Xem ví du 3b). ĐS : X > — hoăc X < -1.
• 0
Do đó :
Khi X < —2 thì X — 2 < 0 và X 4- 2 < 0 và
7x2 -4x4-4-7x2 4-4x4-4 = |x - 2| -|x 4- 2| = -(x - 2) 4- (x 4- 2) = 4. Khi -2 0 và
7x2 -4x4-4-7x2 +4x + 4 =|x-2|-|x + 2| =-(x - 2) - (x 4-2) =-2x. Khi X > 2 thì X - 2 > 0, X + 2 > 0 và
7x2 -4x + 4 -7x2 +4x + 4 =|x - 2| - |x 4- 2| = (x-2)-(x + 2) = —4.
a) Điều kiện để ạ/ó-2x có nghĩa là 6 - 2x > 0 hay X < 3.
Điều kiện để 73x4-12 có nghĩa là 3x + 12 > 0 hay X > -4.
Vậy điều kiện của ẩn là : -4 < X < 3.
Từ Vó -2x = V3x + 12 suy ra
6-2x = 3x 4-12 5x =-6 X = -1,2.
Vì —4 < —1,2 < 3 nên X = -1,2 là nghiệm của phương trình,
Điều kiện để Vx có nghĩa là X > 0.
Tacó 4x-28Vx + 49 = (27x)2-28Vx + 72 = (2Vx -7)2.
Do đó V4x-28Vx+49 = 5o 7(2Vx-7)2 = 5» bVx-7| = 5. Giải phương trình I2VV - 7, =5.
Vì 2 Vx - 7 > 0 Vx > 3,5 nên :
khi Vx > 3,5 ta có I2VV - 7) = 2 Vx - 7 ;
khi Vx < 3,5 ta có I2VV - 7) =7-2 Vx .
Do đó :
Khi Vx > 3,5 ta có phương trình 2Vx -7 = 5. Suy ra Vx = 6 (thỏa mãn Vx > 3,5 ). Vậy X = 36.
Khi Vx < 3,5 ta có phương trình 7 — 2 Vx~ = 5. Suy ra Vx = 1 (thỏa mãn Vx <3,5 ). Vậy X = 1.
Kết luận : phương trình có hai nghiệm là X = 36 và X = 1.