Giải toán 9 Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)
§7. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIÊU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI (tiếp theo) A. Tóm tắt kiến thức Khử mẫu của biểu thức lấy căn Với hai biểu thức A, B mà AB > 0 và B 0, ta có ÍÃ VB ” IBI Trục căn thức ở mẫu Với hai biểu thức A, B mà B > 0, ta có A aVb Vb B Với các,biểu thức A, B, c mà A > 0 và A B , ta có c C(VÃ + B) A±B A-B Với các biểu thức A, B, c mà A > 0, B > 0 và A B, ta có c _C(VÃ + Vb) A ± ạ/B A-B B. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Khử mẫu của biểu thức lấy cãn : a) — • a V 13 ; l2 • b) ’ c) 2x3y với X > 0, y > 0 ; d) 5x 18(x-l) Giải. Vl2.13 13 /156 13 = V13.12 _ V13.3.4 _ 2VĨI3 _ V39 I12 - 12 " 12 - 12 6 Lưu ý. Trong thực hành, để cho kết quả được đơn giản, ta có thể khứ mẫu của biểu thức lấy cãn như sau : Phân tích mẫu thành nhân tử ; Nhân cả tử và mẫu của biểu thức lấy cãn với những thừa số thích hợp sao cho mẫu trở thành một bình phương ; Áp dụng quy tắc khai phương một thương. [ĩĩ - I 13.3 VĨ33 Chăng hạn • — = V12 b) 1 13.3 22.32 c) 2x3y ( 3.2xy 2x3y.2xy 6xy 22x4y2 2.3 •ựóxy 2x2y d) 5x 5x 5x.2(x-l) Ví dụ 2. 18(x-l) Ỵ2.9(x-1) y 2.9(x-l).2(x-l) 110x(x -1) _ ựlOx(x -1) - V4.9(x-1)2 ~ 6(x-l) Trục căn thức ở mẫu : 3VĨ7 a) b) 12 3 + V5 . c) " f~ ; 3-V5 Giải. dì } VĨÕ+2V3 ; , 19 e) X-V7+1 a) b) 3VĨ7 _ 3VĨ7.V5 _ 3V175 _ 3V85 V? 5-5-5 12 _ 12 _ 12 _ X-ựã V48 - VĨ63 - 4V3 - 73 - 0 Lưu ý. Trước khi trục căn thức ở mâu, ta nên đưa thừa số ra ngoài dấu căn ở mẫu. 3 + 7? _ (3 + 7?)(3 + 7?) _ 9+ó7?+5 = 14 + 67? = 7 + 37? 3 —7?~ 32-5 ~ 9-5 4 2 'Tó _ 76(710-27?) _ 777ĨÕ-277.7? Tĩõ+27? - (7ĩõ+27?)(7ĩõ-27?) - (7ĩõ)2-(27?)2 _ 7640-27??? _ 73.2.2.5-272.3.3 _ 27Ĩ?-2.37? 10-4.3 - ■ 10-12 ~ -2 . = 377-71?. 0 Lưu ý. Hai biểu thức TÃ + B và TÃ - B được gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau. Hai biểu thức 7Ã + 7Ẽ và 7Ã-7b cũng là hai biểu thức liên hợp với nhau. Trong thực hành, để trục căn thức ở mẫu, ta thường nhân cả tử và mẫu của phân số đã cho với biểu thức liên hợp của mẫu. e) 19 _ 19 _ 19[7? + (77 -1)] e 77-77 + 1 - 7?-(77-l) ” [T?-(77-l)][7? + (T7-l) 19[7?+(77 -1)] _ !9[7?+(77 -1)] _ 19(7?+7?-1) 277+1 1 + 577-2 x+277 77-2 x77-477 Giải. 277-1 , 577-1 3 rỉ + 7 —/zT = 73 + 1 2 77-1 = (277-0(77-1) + 577-1 _ 3(73 + 1) (77 + 0(77-1) 2 (77- 0(77 + 0 = 2.(77)2 -273-73 + 1 + 573-1 _ 373 + 3 (73)2-1 2 (73)2-1 = 2.3-^77 + 1 + 573-1 _ 373+3 _ 7-373 573-1 _ 377 + 3 3-1 2 3-1 ~ 2 2 2~ __ 7-373+573-1-373-3 _ 3-77 '2 - 2 ■ Điều kiện để biểu thức có nghĩa là : x>0, 7x - 2 + 0, X77-477 = 77(x-4) + 0 hay X > 0, X 4. Ta có 277 +1 1 + 577-2 _ 277 + 1 1 + 577-2 x+277 77-2 x7x-47x 77(77+2) 77-2 77(x-4) (277+0(77-2) 77(77+2) 577-2 77(77+2)(77 -2) (77-2)77(77+2) 77(x-4) = (277+0(77-2) _ 77(77+2) 577-2 77(x-4) 77(x-4) 77(x-4) 2x - 477+77 - 2 - X - 277+577 - 2 77(x-4) - x~4 1 77(x-4) 77 0 Lưu ý. Khi biến đổi biểu thức, ta cũng thường phải phân tích các mẫu thành nhân tử rồi quy đồrig mẫu thức các phân số. Hơn nữa, nhiều khi ta phải nhớ rằng với X > 0, ta có x = (77)2; x77 = (77)3,... c. Hưóng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa F _ Vó Bài 48. ĐS : U- = ; V 600 60 V 540 90 /X = 2ỈĨ. (1-V3)2 _(V3-1)V3 V 50 - 10 ’ V 27 - 9 a . a a A/ab Bài 49. • A 7 có nghĩa khi 7 > 0 và 7 = 777 • |b| Nếu a > 0, b > 0 thì ab- 7 = aVab . Vb Nếu a < 0, b < 0 thì ab - — = -aVab . V b , a pb a Vba • lương tự, ta co : 7- — = 77—- . b V a b I a I Nếu a > 0, b > 0 thì Nếu a < 0, b < 0 thì b V a b a fb~ Vba - .X M . fbTT TbTT • Ta co J— H—— = J—— = - . Vb b2 V b2 Ibl Điều kiện để căn thức có nghĩa là b + 1 > 0 hay b > -1. Do đó : Nếu b > 0 thì Othì ÍĨZI.2^±I b\ Nếu -1 < b < 0 thì J7- + —7 k + 1 . V b b2 b Iọa3 q„3 • Điều kiện để A 77- có nghĩa là 7- > 0 hay 7 > 0. V 36b 36b b Cách l ị^a3 _ í^~ _ V4a3b V4a2.ab _ 21 a I Tab acỉ 'V36b V4b_ |4b| 4|b| 4|b| aTãb /ab = 2b Cách 2. Biến mẫu thành một bình phương rồi áp dụng quy tắc khai phương một thương : 9a- V 36b • Điều kiện để pb 4b2 a b ịalVab 1 2 /4b 2|b| Tab = aTãb 2b 2 , 2 „ _ có nghĩa là — >0 hay xy > 0. Do đó xy xy Bài 50. Bài 51. Bài 52. Bài 53. ĐS: 2 _ O„..72xy _ o....V2xy 3xy =3xy =3xyJ5“ V xy |xyI xy 7ĨÕ . 7? 75 2 + 72 . Vỹ + b 2 ’ .2 ; 30 ’ 5 ’ b ' = 3ự2xỹ. ^7^ ; 7Ỉ+1 ;7 + 4V3 ; b(3~^> ; P. 2 9 - b 4p -1 DS: 2(76+75); 710-7? ; Á+yỹ ; 2ab(Vĩ^> x-y a-b £>S: 3(76-2). ĐS : Nếu ab > 0 thì abJ 1 + J , = Vã V a2b2 Nếu ab < 0 thì ab ^1 + I ỹ - -7a2b2 +1 7 ab + a a2b2+.1. c) ĐS : b2 Bài 54. Bài 55. ]Ấ a + Vãb (a + Vãb)(Vã-Vb) aVã-aVb + VãbVã-VãbVb d) r- Ị— = , = -—; Va+Vb a-b a-b aVã - aVb + Va2b - Vab2 _ aVã - aVb + aVb - bVã a-b a-b (a-b)Vã r = - = Va . a-b Nhận xét. Nhận thấy rằng để Vã có nghĩa thì a > 0. Do đó a = ( Vã )2. Vì thế có thể phân tích tử thành nhân tử. a + Vãb _ (Vã)2 + Vã.Vb _ Vã(Vã + Vb) _ Vã" + Vb Vã" + Vb Vã" + vv . 2 + V2 _ V2(V2+1)_ /T . /7" V - ■ I + V2 I + V2 _ V15-V5 _ V3V5-V5 _ V5(V3-1)_ jr 1-V3 " 1-V3 " 1-V3 t 2 Vã-Vó _ V2.V2.V3-Vó _ V2V6-V6 _ V6(V2-1) = Vó V8-2 - 2V2-2 - 2(W-1) ~ 2(V2-1) - 2 a - Vã r 7=- = - V a . 1-Va p-2ựp 'TT • Vp-2 'á)HD : Chú ý rằng a = (Va)2 . ĐS : (Vã + l)(bVã + 1). b) HD : Chú ý rằng Vx2" = (Vx )2. Ta có Vx3"-Vy3"+Vx2y-Vxy2'= (Vx)3 -(VỸ)3+(Vx)2VỸ-Vx.(VỸ)2 = (Vx-VỸ)[(Vx)2+Vx.Vỹ+(Vỹ)2]+Vx.Vỹ(Vx-VỸ) = (Vx-VỸ)[(Vx)2+2Vx.VỸ+(Vỹ)2] = (Vx-VỸ)(Vx+VỸ)2 • Bài 56. HD : Đưa thừa số vào trong dấu căn. Trả 'lời: a) 2 V7 < V29 < 477 < 3 77 ; b) 777 < 2 Vi~4 < 3V7 < óV7. Bài 57. Trả lời: D. D. Bài tập luyện thêm 1. Rút gọn biểu thức : b) 5 II - ụ If- ; V 50 2 V 33 35,/ĩĩ + 161 ; V 23 /5(a-l) 5b(a-l) I 2a c) 3bn —4—— — I , với a > 1. Thực hiện phép tính : 77-377 377 + 77 . a) 77 + 77 77-77 ; c) 277-7 3-277 77+277 77-277 Tìm X thỏa mãn : a) 3Jy+ 377 = 77-1 ; Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô b) 277+3 377-2 3-77 3+77 V 2a a p(a-l) ,. 377 + 2 377 8 b) 7- 7 = Vx +2 Vx -2 4-: 1.' ĐS : a) 127777 ; b) ; c) -^-VlOa(a-1). • 3 2a 77-377 377+77 _ 'ả) 77 + 77 ■ 77-77 ■ = (77-377x77 - 77) (377 + 77x77 + 77) (77 + 77x77 - 77) (77 - 77x77 + 77) _ 5-7ĨÕ-37ĨÕ + 3.2-3.5-37ĨÕ-7ĨÕ-2 _ -6-87ĨÕ 5-2 3 277 + 3 377-2 (27? + 3)(3 + 7?)-(3-7?)(37?-2) 3-77 3 + 7? = 9-5 _ 67? + 2.5 + 9 + 37?-97? + 6 + 3.5-27? _ 40-27? = 20-7? 4 ' 4 ” 2 ) 277-7 3-277 _ 77+27? 77-27? _ (277 - 7)(7x - 27?) - (3 - 277)(7x + 27?) (77+277x77-27?) - _ 2x - 4777 - 777 +147? - 377-ó7? + 2x +4777 x-8 87?-io77+4x x-8 ' 3. a) Điều kiện : X > 0. 3^+377 = 77-1 » 777+73.777 = 73-1 » (1+73)777 = 77-1 » 777 = 73 +1 _ (77-i)(77-i) /77_ 4-277 X3x = 7^7 » <3x = —— 3-1 2 »777 = 2 - 77 » 3x = (2-Vã)2 (lưu ý 2-77 >0) » 3x = 7 - 4 77 » X = ——Tỉùl (thỏa mãn điều kiện). 3 Điều kiện : X > 0, X + 4. 377+2 _ 377 _ 8 (377+2)(77 - 2) - 377(77+2) = 8 77 + 2 77-2~4 —x (77 + 2)(77-2) ~4-x -8 x-4 (77+2)(77-2) x-4 4-x 3x—677+277—4—3x—677 8 _ -1077-4 2—: — »io77 = 4 » 77 = — » X = — (thỏa mãn điều kiện). 5 25