Giải toán 9 Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)

  • Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) trang 1
  • Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) trang 2
  • Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) trang 3
  • Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) trang 4
  • Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) trang 5
  • Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) trang 6
  • Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) trang 7
  • Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) trang 8
  • Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) trang 9
§7. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIÊU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI (tiếp theo)
A. Tóm tắt kiến thức
Khử mẫu của biểu thức lấy căn Với hai biểu thức A, B mà AB > 0 và B 0, ta có
ÍÃ
VB ” IBI
Trục căn thức ở mẫu
Với hai biểu thức A, B mà B > 0, ta có
A aVb
Vb B
Với các,biểu thức A, B, c mà A > 0 và A B , ta có
c C(VÃ + B)
A±B A-B Với các biểu thức A, B, c mà A > 0, B > 0 và A B, ta có
c _C(VÃ + Vb)
A ± ạ/B
A-B
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Khử mẫu của biểu thức lấy cãn :
a) — • a V 13 ;
l2 •
b) ’
c)
2x3y
với X > 0, y > 0 ;
d)
5x
18(x-l)
Giải.
Vl2.13
13
/156
13
= V13.12 _ V13.3.4 _ 2VĨI3 _ V39 I12 -	12	"	12	-	12	6
Lưu ý. Trong thực hành, để cho kết quả được đơn giản, ta có thể khứ mẫu của biểu thức lấy cãn như sau :
Phân tích mẫu thành nhân tử ;
Nhân cả tử và mẫu của biểu thức lấy cãn với những thừa số thích hợp sao cho mẫu trở thành một bình phương ;
Áp dụng quy tắc khai phương một thương.
[ĩĩ -	I 13.3 VĨ33
Chăng hạn •	— =
V12
b)
1 13.3 22.32
c)
2x3y
( 3.2xy
2x3y.2xy
6xy
22x4y2
2.3
•ựóxy
2x2y
d)
5x
5x
5x.2(x-l)
Ví dụ 2.
18(x-l)	Ỵ2.9(x-1) y 2.9(x-l).2(x-l)
110x(x -1) _ ựlOx(x -1)
- V4.9(x-1)2 ~	6(x-l)
Trục căn thức ở mẫu :
3VĨ7
a)
b)
12
3 + V5 .
c) " f~ ;
3-V5
Giải.
dì
} VĨÕ+2V3 ;
,	19
e) X-V7+1
a)
b)
3VĨ7 _ 3VĨ7.V5 _ 3V175 _ 3V85
V? 5-5-5
12 _ 12 _ 12 _ X-ựã V48 - VĨ63 - 4V3 - 73 -
0 Lưu ý. Trước khi trục căn thức ở mâu, ta nên đưa thừa số ra ngoài dấu căn ở mẫu.
3 + 7? _ (3 + 7?)(3 + 7?) _ 9+ó7?+5 = 14 + 67? = 7 + 37?
3 —7?~	32-5	~	9-5	4	2
'Tó _	76(710-27?)	_ 777ĨÕ-277.7?
Tĩõ+27? - (7ĩõ+27?)(7ĩõ-27?) - (7ĩõ)2-(27?)2
_ 7640-27??? _ 73.2.2.5-272.3.3 _ 27Ĩ?-2.37?
10-4.3	- ■	10-12	~	-2
. = 377-71?.
0 Lưu ý. Hai biểu thức TÃ + B và TÃ - B được gọi là hai biểu
thức liên hợp với nhau. Hai biểu thức 7Ã + 7Ẽ và 7Ã-7b cũng là hai biểu thức liên hợp với nhau.
Trong thực hành, để trục căn thức ở mẫu, ta thường nhân cả tử và mẫu của phân số đã cho với biểu thức liên hợp của mẫu.
e) 19	_	19	_	19[7? + (77 -1)]
e 77-77 + 1 - 7?-(77-l) ” [T?-(77-l)][7? + (T7-l)
19[7?+(77 -1)] _ !9[7?+(77 -1)] _ 19(7?+7?-1)
277+1	1 + 577-2
x+277 77-2 x77-477
Giải.
277-1 , 577-1	3
rỉ + 7	—/zT =
73 + 1	2	77-1
= (277-0(77-1) + 577-1 _	3(73 + 1)
(77 + 0(77-1)	2	(77- 0(77 + 0
= 2.(77)2 -273-73 + 1 + 573-1 _ 373 + 3 (73)2-1	2	(73)2-1
= 2.3-^77 + 1 + 573-1 _ 373+3 _ 7-373 573-1 _ 377 + 3
3-1	2	3-1	~	2	2	2~
__ 7-373+573-1-373-3 _ 3-77 '2	-	2 ■
Điều kiện để biểu thức có nghĩa là :
x>0, 7x - 2 + 0, X77-477 = 77(x-4) + 0 hay X > 0, X 4.
Ta có
277 +1	1 + 577-2 _ 277 + 1	1 + 577-2
x+277 77-2 x7x-47x	77(77+2) 77-2 77(x-4)
(277+0(77-2)	77(77+2)	577-2
77(77+2)(77 -2) (77-2)77(77+2) 77(x-4)
= (277+0(77-2) _ 77(77+2) 577-2 77(x-4)	77(x-4)	77(x-4)
2x - 477+77 - 2 - X - 277+577 - 2
77(x-4)
- x~4 1 77(x-4) 77
0 Lưu ý. Khi biến đổi biểu thức, ta cũng thường phải phân tích các mẫu thành nhân tử rồi quy đồrig mẫu thức các phân số.
Hơn nữa, nhiều khi ta phải nhớ rằng với X > 0, ta có
x = (77)2; x77 = (77)3,...
c. Hưóng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
F _ Vó
Bài 48. ĐS : U- =	;
V 600	60 V 540	90
/X = 2ỈĨ. (1-V3)2 _(V3-1)V3 V 50 - 10 ’ V 27	-	9
	 a .	a	a A/ab
Bài 49. • A 7 có nghĩa khi 7 > 0 và 7 = 777 •
|b|
Nếu a > 0, b > 0 thì ab- 7 = aVab .
Vb
Nếu a < 0, b < 0 thì ab - — = -aVab .
V b
, a pb a Vba • lương tự, ta co : 7- — = 77—- .
b V a b I a I
Nếu a > 0, b > 0 thì
Nếu a < 0, b < 0 thì
b V a	b
a fb~	Vba
- .X M . fbTT TbTT
• Ta co J— H—— = J—— =	-	.
Vb b2 V b2 Ibl
Điều kiện để căn thức có nghĩa là b + 1 > 0 hay b > -1. Do đó :
Nếu b > 0 thì
Othì ÍĨZI.2^±I
b\
Nếu -1 < b < 0 thì J7- + —7 	k + 1 .
V b b2 b
Iọa3	q„3
• Điều kiện để A 77- có nghĩa là 7- > 0 hay 7 > 0.
V 36b	36b	b
Cách l ị^a3 _ í^~ _ V4a3b	V4a2.ab _ 21 a I Tab
acỉ 'V36b	V4b_ |4b|	4|b|	4|b|
aTãb
/ab =
2b
Cách 2. Biến mẫu thành một bình phương rồi áp dụng quy tắc khai phương một thương :
9a-
V 36b
• Điều kiện để
pb
4b2
a b ịalVab 1 2
/4b
2|b|
Tab =
aTãb
2b
2	, 2	„ _
có nghĩa là — >0 hay xy > 0. Do đó
xy	xy
Bài 50.
Bài 51.
Bài 52.
Bài 53.
ĐS:
2 _ O„..72xy _ o....V2xy 3xy =3xy =3xyJ5“
V xy	|xyI	xy
7ĨÕ . 7? 75 2 + 72 . Vỹ + b
2	’ .2 ; 30 ’	5	’ b '
= 3ự2xỹ.
^7^ ; 7Ỉ+1 ;7 + 4V3 ; b(3~^> ; P. 2	9 - b	4p -1
DS: 2(76+75); 710-7? ; Á+yỹ ; 2ab(Vĩ^> x-y	a-b
£>S: 3(76-2).
ĐS : Nếu ab > 0 thì abJ 1 + J , = Vã
V a2b2
Nếu ab < 0 thì ab ^1 + I ỹ - -7a2b2 +1 7 ab + a
a2b2+.1.
c) ĐS :
b2
Bài 54.
Bài 55.
]Ấ a + Vãb (a + Vãb)(Vã-Vb) aVã-aVb + VãbVã-VãbVb
d) r- Ị— =	 ,	=	-—;	
Va+Vb	a-b	a-b
aVã - aVb + Va2b - Vab2 _ aVã - aVb + aVb - bVã a-b	a-b
(a-b)Vã r = 	-	= Va .
a-b
Nhận xét. Nhận thấy rằng để Vã có nghĩa thì a > 0. Do đó a = ( Vã )2. Vì thế có thể phân tích tử thành nhân tử.
a + Vãb _ (Vã)2 + Vã.Vb _ Vã(Vã + Vb) _
Vã" + Vb Vã" + Vb	Vã" + vv
. 2 + V2 _ V2(V2+1)_ /T
.	/7"	V - ■
I + V2 I + V2
_ V15-V5 _ V3V5-V5 _ V5(V3-1)_ jr
1-V3	"	1-V3	"	1-V3
t 2 Vã-Vó _ V2.V2.V3-Vó _ V2V6-V6 _ V6(V2-1) = Vó V8-2 -	2V2-2	- 2(W-1) ~ 2(V2-1) - 2
a - Vã r
	7=- = - V a .
1-Va
p-2ựp
'TT •
Vp-2
'á)HD : Chú ý rằng a = (Va)2 . ĐS : (Vã + l)(bVã + 1).
b) HD : Chú ý rằng Vx2" = (Vx )2.
Ta có
Vx3"-Vy3"+Vx2y-Vxy2'= (Vx)3 -(VỸ)3+(Vx)2VỸ-Vx.(VỸ)2 = (Vx-VỸ)[(Vx)2+Vx.Vỹ+(Vỹ)2]+Vx.Vỹ(Vx-VỸ)
= (Vx-VỸ)[(Vx)2+2Vx.VỸ+(Vỹ)2] = (Vx-VỸ)(Vx+VỸ)2 •
Bài 56. HD : Đưa thừa số vào trong dấu căn.
Trả 'lời: a) 2 V7 < V29 < 477 < 3 77 ;
b) 777 < 2 Vi~4 < 3V7 < óV7. Bài 57. Trả lời: D.
D. Bài tập luyện thêm
1. Rút gọn biểu thức :
b) 5 II - ụ If- ; V 50	2 V 33
35,/ĩĩ + 161	;
V 23
/5(a-l)	5b(a-l) I 2a
c) 3bn —4——	—	 I	, với a > 1.
Thực hiện phép tính :
77-377 377 + 77 . a) 77 + 77 77-77 ;
c) 277-7	3-277
77+277 77-277
Tìm X thỏa mãn :
a) 3Jy+ 377 = 77-1 ; Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô
b)
277+3 377-2 3-77	3+77
V 2a	a p(a-l)
,. 377 + 2 377	8
b) 7- 7	=
Vx +2 Vx -2	4-:
1.' ĐS : a) 127777 ; b) ; c) -^-VlOa(a-1).
•	3	2a
77-377 377+77 _
'ả) 77 + 77 ■ 77-77 ■
= (77-377x77 - 77) (377 + 77x77 + 77)
(77 + 77x77 - 77) (77 - 77x77 + 77)
_ 5-7ĨÕ-37ĨÕ + 3.2-3.5-37ĨÕ-7ĨÕ-2 _ -6-87ĨÕ 5-2	3
277 + 3 377-2	(27? + 3)(3 + 7?)-(3-7?)(37?-2)
3-77	3 + 7? =	9-5
_ 67? + 2.5 + 9 + 37?-97? + 6 + 3.5-27? _ 40-27? = 20-7?
4 '	4	”	2
) 277-7	3-277 _
77+27? 77-27?
_ (277 - 7)(7x - 27?) - (3 - 277)(7x + 27?)
(77+277x77-27?) -
_ 2x - 4777 - 777 +147? - 377-ó7? + 2x +4777
x-8
87?-io77+4x x-8	'
3. a) Điều kiện : X > 0.
3^+377 = 77-1 » 777+73.777 = 73-1 » (1+73)777 = 77-1 » 777 =
73 +1
_ (77-i)(77-i)	/77_ 4-277
 X3x =	7^7	» <3x = ——
3-1	2
»777 = 2 - 77 » 3x = (2-Vã)2 (lưu ý 2-77 >0)
» 3x = 7 - 4 77 » X = ——Tỉùl (thỏa mãn điều kiện).
3
Điều kiện : X > 0, X + 4.
377+2 _ 377 _ 8 (377+2)(77 - 2) - 377(77+2) = 8 77 + 2 77-2~4 —x	(77 + 2)(77-2)	~4-x
-8
x-4
(77+2)(77-2)
x-4
4-x
3x—677+277—4—3x—677 8 _ -1077-4 	2—:	 	— 
»io77 = 4 » 77 = — » X = — (thỏa mãn điều kiện). 5	25