Giải toán 9 Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

  • Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn trang 1
  • Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn trang 2
  • Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn trang 3
  • Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn trang 4
  • Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn trang 5
  • Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn trang 6
§2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. Tóm tật kiến thức
Định nghĩa
cạnh đối
sin ct = —7-	— ;
cạnh huyền cạnh kề
COS ct =	•	—
cạnh huyền
cạnh đối _ cạnh kề tg a = •	; cotg a =	'	.
cạnh kề	cạnh đối
Tỉ sô lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 7, AC = 24. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, góc c.
Giải. Trước hết ta vận dụng định lí Py-ta-go tính được BC - 25. Sau đó vận dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác :
BC =
= 25
AB
_ 7
BC =
= 25
AC
_ 24
AB =
= 7
AB
_ 7
tgB = cotgC =
. R_ _^-AC 24 sinB = cosC =
AC 24
Nhận xét : Vì các góc B và c phụ nhau nên khi tính được các tỉ số lượng giác của góc B thì suy ra được tỉ số lượng giác của góc c mà không cần tính toán gì.
Ví dụ 2. Cho biết cqsce = yậ, hãy tính since, tga, cotga.
Giải. Ta có sin2 a + COS2 a = 1 => sin2 a = 1 - COS2 a = 1 -
15
<17.
64
289
Do đó
. 8
sin a = —.
17
tga =
_ sin a	8 15 8
- cosa 17 17 15 ’
cosa 15	8	15
cotg a - —	= — : — = —
since 17 17	8
Nhận xét : Để tính được tí số lượng giác của một góc, ngoài định nghĩa ra bạn cần biết thêm một số hệ thức cơ bản khác như :
tgơ
sin a
cos a
cotga
cos a sin a
sin2 a + cos2 a = 1.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 10. Vẽ tam giác ABC vuông tại A,
C = 34°. Theo định nghĩa ta có :
tg34° = __£.• cotg34° = ^.
AC	AB
Bài 11. HD. Giải tương tự như ví dụ 1.
ĐS. sin A = cos B = 0,8 ; cos A = sin B - 0,6 ;
4
tg A = cotg B = 77« 1,33 ;
3
cotg A = tg B = 0,75.
Bài 12. Vận dụng định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ta có :
sin 60° = cos(90° - 60°) = cos 30°.
Tương tự : cos75° = sin 15°; sin52°30' = cos37°30';
Bài 13.
cotg82° = tg8° ; tg80° = cotglO°. .
(h. a)
Dựng góc vuông xOy.
Trên tia Ox đặt OA = 2.
Dựng đường tròn (A ; 3) cắt tia Oy tại B. Khi đó OBA = a.
Thật vậy, sin a = —— = —.
AB 3
Bài 14. a) tga =
c) hình c ;
AB AB.BC
AC AC.BC
AB AC since í=> tg Ơ. = -^7 :	= ——
BC BC cos a
AB AC , tgce.cotga =	= 1.
AC AB
cotgoe = 1: tga = 1:
sin a _ cos a cos a sin a
d) hình d.
Hình d
Nhận xét.
Bài 15.
.2	2	_ AB- , AC2
b) sin a + COS a = - ■	- + ——7
BC2 BC2 sin a
Ba hệ thức tg a =
BC2
BC2
1.
cotga =
cos a
x	.	9	2	1 V
và sin a + COS a = 1 là
Nhận xét:
Bài 16.
cosa	sin a
những hệ thức cơ bản, bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.
Vì hai góc B và c phụ nhau nên sin c = COS B = 0,8.
Ta có sin2 c + COS2 c = 1 => COS2 c = 1 - sin2 c = 1 - (0,8)2 = 0,36.
„ A r	-A sinc 0,8	4	_ COSc	0,6 3
=>cosC = 0,6-,	tg c =——-1 =	A	;	cotgC = ——“■ =	- = -.
cosC 0,6	3	sinC	0,8 4
Nếu biết since (hoặccosa) thì ta có thể tính được ba tỉ số lượng giác
còn lại.	B
HD. (Xem hình bên)
AC
sinB =
BC
=> AC = BC.sin B = 8.sin 60° = 4^3.	A'
Bài 17. Áp dụng định lí Py-ta-go ta có X2 = 202 + 212 :
29.
D. Bài tập luyện thêm
Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45° :
sin 70° ; COS 65° ; tg 58°40' ; cotga (với 45° < ct < 90°).
Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính giá trị của các biểu thức sau :
A = sin2 70° + sin2 60° + sin2 50° + sin2 40° + sin2 3ô-° + sin2 20° ;
B = COS2 55° + cos2 50° + COS2 45° + COS2 40° + COS2 35°.
Ị	„	2 sin ot-cosot
Cho tga =--, tính giá trị của biểu thức : M = 7——	•
4	'	2 sin a + cos a
Cho biết sin X + COS X = V2.
Chứng minh rằng sin X = COS X ;
Tìm số đo X.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
Vận dụng định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có
sin 70° = cos 20° ;	COS 65° = sin 25° ;
tg 58°40' = cotg 31°20';	cotg a = tg(90° - a).
Vận dụng hệ thức sin a + cos a = l.
A = (sin2 70° + sin2 20°) + (sin2 60° + sin2 30°) + (sin2 50° + sin2 40°)
= (sin2 70° + COS2 70°) + (sin2 60° + cos2 60°) + (sin2 50° + cos" 50°)
= 1 + 1 + 1 = 3.
72
Đáp số : 2 +	.
Chia cả tử và mẫu của M cho cos a 0, ta được
2^-1 ọt__,	2.1-1	,
M _ COS ạ	_ 2 tg ạ -1 _ 4	_ _
2ÍÌ1SL + 1 2tga + l 2.1 + 1	3'
COS a	4
a) sin X + COS X = V2 => (sin X + COS x)2 = (V2 )2 .2 2
=> sin x + cos X + 2 sin X cos X = 2
=> 1 + 2 sin X cos X = 2 => 1 - 2 sin X cos X = 0 2 »
=> (sin X - COS x) = 0 sin X = COS X.
Ta có sin X = COS X => sin X = sin(90° - x)
=> X = 90° - X => 2x = 90° => X = 45°.