Giải toán 9 Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

§8. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA
CĂN THỨC BẬC HAI
A. Tóm tắt kiến thức
Khi thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta phải vận dụng mọi quy tắc và mọi tính chất của các phép tính trên các số thực nói chung và trên các căn thức nói riêng như :
Phép nhân, phép chia các cãn bậc hai;
Phép khai phương một tích, một thương ;
Phép đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn ;
Phép khử mẫu của biểu thức dưới dấu cãn ;
Phép trục căn thức ở mẫu.
Nói riêng, khi làm tính cộng hoặc trừ trên các căn thức, ta thường dùng các phép đưa thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn để được những căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn rồi áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1.
Thực hiện phép tính
"2/5+3 _ 75-4ì 3/5+6 3/5-3 /5 + 1/10/5-7'
Giải.
"2/5+3 _ 75-4Ì 3/5+6 3/5-3 /5+1/10/5-7
(275+3)(75+1)-(75-4X375-3) 3/5+6 ' (3/5-3X/5+1)	’10/5-7
10 + 2/5 +3/5 +3-3.5 + 375 +12/5-12 3/5+6 15-3	'10/5-7
-14 + 20/5 3/5+6 _ 10-75-7 3(75+2) _ /5+2 12	'10/5-7-	6	'10/5-7- 2
Ví dụ 2.
Giải.
A _ 2a/7 + 1	X-3 X + a/x+1
Cho biểu thức A = —-y=	——Ỹ	r— ■
Tim điều kiện để biểu thức được xác định.
Rút gọn biểu thức.
Tim giá trị của X để giá trị của A dương.
Điều kiện : X > 0, X * 1.
.	2a/x+1	x-3 x + a/x + 1
A= 	717	'
2a/x+1	x-3	x + a/x+1
a/x (a/x - 1)(a/x +1) a/x(a/x + 1)
(2a/x + l)(x -1) - (x - 3)a/x - (x + Vx + 1)(a/x -1)
a/x(a/x-1)(a/x+ 1)
2xVx + X - 2a/x -1 - xVx + 3a/x - xa/x + 1
a/x(a/x-1)(a/x+1)
x + a/x	_	a/x(a/x+1)-	_	1
a/x(a/x - 1)(a/x + 1) a/x(a/x -1)(a/x + 1)	a/x-1
	 , . 1
Ví dụ 3.
c) Để A có giá trị dương thì X > 0, X 1 và
Vì 1 > 0 nên a/x - 1 > 0 hay a/x > 1.
Vậy A > 0 khi X > 1.
Cho biểu thức B = x p/x .
x-a/x +1
Tim giá trị của X để B có giá trị nhỏ nhất.
a/x -1
>0.
Giải.
Ta có B
-a/x + 1-1 _ X—a/x + 1
x-a/x+1
Muốn cho B có giá trị nhỏ nhất thì
Vì tử số 1 > 0 và
x-a/x+1 x-a/x + 1 1
X -a/x + 1
x-a/x+ 1 phải có giá trị lớn nhất
nen
Vì
1 / -J	Q /
77 +1 = (77 )2 - 2477 + 4 +- = 77
2	UJ 4 I
+4>0
4
có giá trị lớn nhất khi X - 77 + 1 có giá trị nhỏ nhất.
X -77 +1
/	IX2	I
77-| > 0 nên nó có giá trị nhỏ nhất là 0 khi 7x = hay khi
I	 2	Ị
X = —. Khi đó X - 77 + 1 có giá trị nhỏ nhất là — và 	7=	
4	4	x-77+1
'	1	4
giá trị lớn nhất là Ỷ = -,
co
1	z	„	4	1
Vậy khi X = — thì B có giá trị nhỏ nhất là 1 - — =	.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Bài 58. ĐS :
a)377 ;
c) 1577-77
b)
d)
972 .
2 ’
1772
Bài 59. ĐS:	a)-7ã ;
b) -5ab7ãb .
Bài 60. a) B = 7l6x +16 -79x + 9 + 777+4 + 7x +1 = 7i6(x+1) -777+1) + 74(x +1) + 7x +1
= 4 7x +1 - 3 7x +1 + 2 7x + 1 + 7x +1 = 4 7x + 1 .
b) B = 47x +1 - 16 khi 7x +1 = 4 hay X + 1 = 16 hay X = 15.
Bài 61. a) HD : Khử mẫu những biểu thức dưới dấu cãn rồi làm tính ở vế trái để được vế phải.
+777
/6x -
V6.X V6.X /77 X——— + —— + V6x
: 777 = 24.
3
Bài 62.
|V48,-2V75-^n + 5ỈĨỊ = |7Ĩ73-27253 - /lĩ+ 5 /4
2	7ĨĨ V 3	2	VII V3
= 4.477-2.577-77+ 5.-Ị-77 = (2 - 10 - 1 +	)77 = -7277.
2	3	3	3
7Ĩ5Õ + 776.Tẽõ + 4,5.725^6+77^60 +4,5.^1-76
= 576 + 7l6^6+4,5.^P--76 = 576+476+4,5.2.^-76 3	3
= (5 + 4 + 3 — 1) 77 = 1177.
(728-273+77)77+784= (743-277 + 77)77+7421 = (277-273+77)77+2721 = 2.7 - 2V2Ĩ + 7 + 2y/ĩĩ =21.
(77+T7)2-7Ĩ2Õ = 6 + 2777 + 5-7430
= 6 + 2770 + 5-2770= 11.
Bài 63.
a)
a+7ab + a /b _ 77ba 77b _ (b + 2)77b
r\	r\ \| Q	r"\	r\ Q	k
Bài 64.
b).
l-2x + x'
4m-8mx + 4mx2
Í4m2(l-2x + x2)
81
pm-
81
2m
9
81(l-2x + x )
HD : Biến đổi vê' trái để được vế phải, a) Cách 1.
1 -aVa 1-77
1-2X + X2
4m(l-2x + x2)
81
1-77 _ i-a77+(1-77)77 (1-77)2
1 -a
(1—a)
_ (1 — a77 + 77 — a)(l — 77) [(1 — a) + (77 — a77)](l — 77)
(1-a)2
(1-ar
= [(1 -a) + 77(1 -a)](l-77) (l-a)(l + 77)(l-77) (1-a)2	-	(1-a)2
= (l-a)d-a) (1-a)2
Cách 2.
= 1.
1 -aVa
1-Vã
V1-VP
1-(VI):
1-Va
+ a/ a
(1-Vã)(l + Vã + a) , 1^
r 1 ?
1-Va
1+77 _
A 1 a J
1-Va
(1 +Vã + a + Vã)
1
1 + Vã
(1-V7)(1 + V7)
1 + 2 Vã" + a
= 1.
b) HD : Dùng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu cãn.
	 f 1	1 ì 77+1
Bài 65. M = —rAP A---
< a — Va Va—ly a — 2Va + 1
1 1 Vã(Vã-l) V7-1
Vã +1
a-iỵ
1+Vã V7+1	1+V7 (Vã—1)“ _ V7-1
Vă(Vã—1) (V7-1)2 Vã(Vã"—1) 77+1 Vã"
Vì Vã > 0 nên a,— 1 = 1	7= < 1 •
Bài 66. Trả lời: D.
D. Bài tập luyện thêm
Thực hiện phép tính :
V5+1 : V5 , 77-12 . a) 77 + 77 + 77-77 + 2	;
377-2 3V3+2 3V2+2 3V2-2 . } V2-1 ' V2 + 1 + Vã-1 V7 + 1
77 + 77-1 -77-77f 77
77
3 + 7Ĩ7 + 2VĨ5 V-Vl5+3 + Vl5 2. Cho biểu thức A
< 7x
Tim điều kiện để biểu thức được xác định.
Rút gọn biểu thức.
c)
277 + 2 77-2 77 + 2^ 77 + 1 77 - 1
X + a/x
l-x	1
r 1 Ì
77 1+77
7l
1
><
1	
3. Cho biểu thức A =
:(l-77).
Tìm điều kiện để biểu thức được xác định.
Rút gọn biểu thức.
Tim giá trị của X để biểu thức rút gọn vừa tìm được có giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ấy. Giá trị lớn nhất ấy có phải là giá trị lớn nhất của A hay không ?
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
,,77+1	77 1 77-12
_ (377 - 2)(77+1) - (377+2)(72 -1)
(77-0(77+1)
| (377+2)(77+i)-(377-2x77-1)
(77-i)(77+i)
= 3V6+3V3-2V2-2-3V6 + 3V3-2V2+2
(77-1x72+1)
Ị 3V6+3V2+2V3+2-376+3V2+2V3-2
(77-1)(73 + 1)
= 673-472 + 672 + 473 = 6 75 _	+ 3 75 + 2 7+
1 2
= 877-77.
c)
77 + 77-1.77-77 Í 77
77
3 + V15
27Ĩ5
15 +3 + Vl5
73+75-1 Ị 77-77 75(73+ 75)+ 75(73-75) 77(77 + 77)	27Ĩ5 ' 77(77 - 77x77 + 77)
= 77 + 77-1 Ị 77-77	7Ĩ7 + 5 + 7Ĩ7-5
77(77+77)	27Ĩ7 ’77(77-77x77+77)
_ 77+77-1 Ị 1	_ 77+77	1
’ 77(77+77) ’77(77 + 77) - 77(77 + 77) -77’
a) Điều kiện X > 0, 7x -1 + 0 hay X > 0, X + 1.
277+2 77-2 77+2
2
k 77	77+1 77-1,
x+77
(27x + 2)(7x + l)(7x -1) - (7x - 2)7x (7x -1) - (7x + 2)7x (7x +1)	2
7x(7x + I)(7x-1)	x+7x
(27x + 2)(x -1) - (7x - 2)(x - 7x) - (77 + 2)(x + 77)	2
77(77+1x77-1)	x+77
2x77 + 2x - 277 -2 - x77 + X + 2x - 277 - x77 - X -2x - 277 X + 77 77(77+1)(77-1)	2
2X-677 -2 x + 77 _ X-377-1 77(77+1x77-1)	2	77-1
3. a) Điều kiện : X > 0, 1 - Vx * 0 hay X > 0, X * 1. 1—X
b) A =
1 r 1 ?
-X
VVA J
■\fx 1 + Vx ^Vx 1	1 -xVx '
1 —X
1 +Vx Vx
:(l-7x)
:(1-Vx)
_ (l-x)(l + 7x)-l + xVx Z1 /7,
- 	—J=—	Ỵ=r	 : 11 - V X )
Vx(l + Vx)
1 - X + Vx - xVx - 1 + x Vx z,	- X + Vx ., m
= 	 : (1 — Vx ) =	: (1 - Vx )
Vx(l-Vx)
Vx(l + Vx)	Vx(l + yx)
_ Vx(l-Vx) . Q _	) _ Vx(l-Vx) _	1
Vx(l + Vx) '	Vx(l + Vx)(l-Vx) 1 + Vx
c) Vì 1 > 0 và 1 + Vx > 0 nên biểu thức —có giá trị lớn nhất khi 1+ VX
1 + Vx có giá trị nhỏ nhất hay khi Vx có giá trị nhỏ nhất. Vì Vx > 0
nên nó có giá trị nhỏ nhất là 0 khi X - 0. Khi đó
1 + Vx
có giá trị lớn
nhất là 1.
Giá trị 1 vừa tìm được không phải là giá trị lớn nhất của A vì khi X = 0 thì biểu thức A không xác định.