Giải toán 9 Bài 4. Vi trí tương đối của đường thẳng và đường tròn + Bài 5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

§4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐÔÌ CÙA ĐƯỜNG THANG và đường tròn
 §5. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. Tóm tắt kiến thức
1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Vị trí tương đối
Số điểm chung
Hệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
2'
d<R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
1
d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
0
d > R.
2. Tính chát của tiếp tuyến
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán
t (
) \
kính đi qua tiếp điểm.
Trong hình bên : a là tiếp tuyến
=> a ± OH (H là tiếp điêm).
a
H
3. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của
đường tròn.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1.
Giải.
Nhận xét.
Cho đường tròn (O), tiếp tuyến xy, tiếp điểm M. Vẽ dây AB // xy.
Chứng minh rằng AMAB cân.
Vẽ đường kính MN. Từ N vẽ đường thẳng x'y' // xy. Chứng minh rằng đường thẳng x'y' là một tiếp tuyến của đường tròn (O).
a) Vẽ bán kính OM ta được OM ± xy (tính chất của tiếp tuyến).
Vì AB // xy nên OM ± AB tại H. Suy ra HA = HB.
Tam giác MAB có MH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân. b) x'y' // xy mà MN ± xy nên
MN 1 x'y’.
Suy ra x'y' là tiếp tuyến của đường tròn (O).
ở câu a) ta vẽ bán kính OM. Đối với những bài toán có tiếp tuyến của đường tròn, ta thường vẽ bán kính đi qua tiếp điểm để vận dụng tính chất của tiếp tuyến.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 17. HD :
Dòng thứ nhất: Vì d < R nên đường thẳng cắt đường tròn.
Dòng thứ hai: Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên d = R = 6cm.
Dòng thứ ba : Vì d > R nên đường thẳng và đường tròn không giao nhau.
Bài 18.
Khoảng cách từ tâm A đến trục Ox là 4. Vậy d > R, do đó đường tròn và trục Ox không giao nhau.
Khoảng cách từ tâm A đến trục Oy là 3. Vậy d = R, do đó đường tròn và trục Oy tiếp xúc nhau.
Bài 19.
Bài 20.
Bài 21.
Bài 22.
Bài 23.
Gọi o là tâm của đường tròn bán kính lcm và tiếp xúc với đường thẳng xy. Vì d = R = lcm nên điểm o cách đường thẳng xy là lcm, do đó o nằm trên hai đường thẳng m và m' song song với xy và cách xy là lcm.
m
HD. Dùng định lí Py-ta-go tính được AB - 8cm.
HD. Tam giác ABC vuông tại A (theo định lí Py-ta-go đảo) => AC ± AB, do đó AC là tiếp tuyến.
• Phân tích :
Giả sử đã dựng được đừờng tròn thỏa mãn đề bài. Tâm o phải thỏa mãn hai điều kiện :
o nằm trên đường trung trực của AB (vì đường tròn đi qua A và B).
o nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A (vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d tại A).
Vậy o là giao điểm của hai đường thẳng nói trên.
Cách dựng :
Dựng đường trung trực m của AB.
Từ A dựng một đường thẳng vuông góc với d cắt đường thẳng m tại o.
Dựng đường tròn (O ; OA). Đó là đường tròn phải dựng.
Chứng minh :
Vì o nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB, do đó đường tròn (O ; OA) đi qua A và B.
Đường thẳng d ± OA tại A nên đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A.
Biện luận : Bài toán luôn có nghiệm hình.
HD. Đường tròn (B) quay ngược chiều với hai đường tròn (A) và (C).
Bài 24.
Nhận xét.
Bài 25.
a) Gọi H là giao điểm của oc và AB.
Vì OH ± AB nên HA = HB, suy ra oc là đường trung trực của AB, do đó CB = CA.
ACBO = ACAO (c.c.c) => CBO = CAO.
Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AC ± OA => CAO = 90°.
Do đó CBO = 90°.
Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Xét AHOA vuông tại H, có OH2 = OA2-AH2 = 152 - 122 = 81 => OH = 9 (cm),
Xét ABOC vuông tại B, có OB2 = OC.OH
=> oc =	= ^- = 25 (cm).
OH 9
0 câu a) ta đã dùng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến để chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn (O). Ta cũng có thể dựa vào tính chất đối xứng của đường kính để chứng minh CB là tiếp tuyến. Thực vậy, B và A đối xứng qua đường thẳng chứa đường kính co, mà CA là tiếp
tuyến nên CB phải là tiếp tuyến.
Ta có OA 1 BC =} MB = MC.
Mặt khác MA = MO nên tứ giác ABOC là hình bình hành.
Hình bình hành này có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi.
Ta có BA = BO (hai cạnh hình thoi) mà BO = OA (bán kính) nên AABO là tam giác đều.
Suy ra BOA = 60°.
Ta có EB là tiếp tuyến => EB ± OB.
Xét ABOE vuông tạĩ B, có BE = BO.tg 60° = rVt
D. Bài tập luyện thêm
Cho đoạn thẳng AB và điểm o nằm giữa A và B. Qua B vẽ đường thẳng xy vuông góc với ÀB. Vẽ đường tròn (O ; OA). Hãy xác định vị trí của đường tròn này đối với đường thẳng xy.
Cho đoạn thẳng AB = 6cm. Qua A vẽ đường thẳng xy sao cho
BAx = 150°. Trên AB lấy điểm o sao cho AO = 4cm. Vẽ đường tròn (O) đi qua B. Chứng minh rằng đường tròn này tiếp xúc với xy.
Cho đường tròn (O ; 7,5cm), dây AB = 12cm. Vẽ một tiếp tuyến song song với AB cắt các tia OA, OB lần lượt tại E và F. Tính diện tích tam giác OEF.
Cho hai đường thẳng song song a và b cách nhau 4cm. Đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng a và cắt đường thẳng b theo dây AB = 4cm. Hỏi điểm o di động trên đường nào ?
Cho tam giác ABC cân tại A, góc A nhọn, đường cao AH. Đường thẳng qua A và vuông góc với AB cắt đường thẳng BC tại D. Vẽ nửa đường tròn (O) đường kính CD cắt AD tại E. Chứng minh rằng :
Tam giác HAE cân ;
HE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô
Ta đặt OA = R và OB = d.
Nếu OA R, do đó đường thẳng và đường tròn không giao nhau. Nếu OA = AB thì d = R, do đó đường
thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau.
Nếu OA > AB thì d < R, do đó đường thẳng và đường tròn cắt nhau.
Vì BAx = 150° nên BAy = 30°. Vẽ OH ± xy ta được
B
Gọi H là tiếp điểm, ta có OH 1 xy (tính chất của tiếp tuyến).
Vì AB // xy nên OH 1 AB (tại M). Suy ra MA = MB = 6. Từ đó tính được OM = 4,5.
AB OM
AOAB co AOEF =>
EF OH
AB.OH 12.7,5
—> EF = ——— = ——— = 20 (cm).
OM 4,5
Diện tích AOEF là s = ị EF.OH = ị .20.7,5 = 75 (cm2).
2 2
Gọi R là bán kính của đường tròn và M là tiếp điểm.
Đường thẳng OM cắt AB tại H.
Ta có OM ± a nên OH ± b (vì a // b)
Do đó HA = HB = 2.
Xét AHOB vuông tại H, ta có :
OH2 + HB2 = OB2
(4 - R)2 + 22 = R2
R = 2,5 (cm).
Vì đường thẳng a và đường tròn tiếp xúc nên d = R = 2,5.
Điểm o cách đường thẳng a một khoảng 2,5cm nên o di động trên đường thẳng xy // a và cách a là 2,5cm (xy nằm trên một nửa mặt phẳng bờ a có chứa b).
a) Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH => HB - HC.
Vì E nằm trên đường tròn đường kính CD nên CED = 90°.
Suy ra CE // AB (vì cùng vuông góc với AD).
A
B
D
Gọi M là trung điểm của AE, ta có HM là đường trung bình của hình thang ABCE
=> HM // AB dẫn tới HM 1 AD.
Tam giác HAE có HM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường
cao nên AHAE cân tại H.
Ta có OEC = OCE (hai góc ở đáy của tam giác^ân). OCE = HAD (cùng phụ với góc D).
HAD = HEA (hai góc ở đáy của tam giác cân).
Suy ra OEC = HEA.
Ta có HEA + HEC = 90°^C)EC + HEC = 90o.
Do đó ỐẼH = 90° => OE ± HE.
Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn (O).