Giải toán 9 Bài 6. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

§6. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN Biểu THỨC CHỨA
CĂN THỨC BẬC HAI
■ *
A. Tóm tắt kiến thức
Đưa thừa sô ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức A, B mà B > 0, ta có a/a2B = I A I Vb ; tức là : Nếu A > 0 và B > 0 thì Va2B = A Vb ;
Nếu A 0 thì Va2B = -A Vb .
Đưa thừa sô vào trong dấu căn
VỚI A > 0 và B > 0 thì A Vb - Va2B ;
Với A 0 thì A Vb = -Va2B.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn :
a) a/64.15 ; b) 71440 ;
c)
d) ^5a9(a
-iỵ
Giải, a) a/64.15 = v/82.15 = 8 vu . b) Ta có 1440 = 25.32.5. Do đó VĨ44Õ = V25.32.5 = V24 2.32.5 = V(22)2.2.32.5
= 2 .3. V2.5 = 12V10 .
Lưu ý. Ta biết rằng A2n = (An)2. Vì thế để đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai, ta có thể phân tích biểu thức dưới dấu căn thành tích rồi tách ra những thừa số là luỹ thừa bậc chẵn và áp dụng công thức Va2B = IaIVb .
Khi số dưới dấu căn là số nguyên, có thể phân tích số đó ra thừa số nguyên tố.
c)
144.5
122.5
= 12.
7 V 7
d) Điều kiện để căn thức ự5a9(a-l)2 có nghĩa là 5a9(a- l)2 > 0.
Vì (a - l)2 > 0 nên 5a9 > 0. Do đó a > 0
ự5a9(a-l)2 = ự5a8.a(ạ-l)2 = ự5(a4)2a(a-l)2 = a4.|a-l| Vã. Khi a > 1 thì la -l| = a - 1. Do đó V5a9(a-1)2 = a4(a - 1) Vã.
Khi 0 < a < 1 thì |a -l| = 1 - a. Do đó ự5a9(a-l)2 = a4(l -a) Vã.
Ví dụ 2. Đưa thừa số vào trong căn :
a + 2 I 3
a) 35.
b) (7 - + 50 )
50+7
50-7
c)
Giải.
a) 35
352.2
7 V 7
= 735.5.2 = 7350.
Giải.
b) Điều kiện để
x2-l
X r~2
và Vx -
1 có nghĩa là
Vì 7 = 749 < 750 nên 7 - 750 < 0. Do đó
<7 - Vsõ) 1^1
V750-7 V 750-7
= - 4(750 - 7)(750 + 7) = -750 - 49 = -7Ĩ = -1.
... I 3	,	„	3
Điều kiện đê yl——ỵ có nghĩa là ——— > 0. Vì 3 > 0 nên a + 2 > 0
hay a > -2.
Ví dụ 3.
a + 2-1 3	_ lia + 2? 3	_ /(a + 2)2.3 _ la + 2
6 Va + 2	6 Ị a + 2 ~ V 36(a + 2) ~ V 12
Rút gọn biểu thức :
a)VĨ25-J^ + J^; b)(x + l).
7-1 X—1
VỈ7
8 V 12’	V 4 V 4
+ j|.5 4
= 57i-A& JẸ=57?-J|3
4 V 4	V 4
= 575 - Ị75 + 475 =(5-4 + 4)75 =375. 2 2 2 2
X - 1 > 0 (x - l)(x + 1) > 0.
Điều này xảy ra khi
fx > 1
hay khi <
hoặc <
x-l>0
x-!-l>0
X<1 X<-1
x-l<0 x + 1 < 0
hoặc <
hay khi X > 1 hoặc X < -1.
Khi X > 1, ta có (x + 1) J—7	-Vx2 -1 =
Ví dụ 4. So sánh hai số 5 Vó và 6 77.
Giải. Ta có	5 77 = 7v^6 = 7777 = 7Ĩ7Õ ;
óV5 =Vó^5 = 7777 = 7Ĩ7Õ.
Vậy 5 76 <675.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Bài 43. a) 754 = 777 = 377 .
b) Vl08 =736.3 = Ế
c)ĐS .- 10 77 ;
d)ỠS:-677 ;
Bài 44. ĐS : 745 ; -77Õ ; -
Bài 45. HD : Đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh.
Trả lời : a) 3 77 > 777
;	b) 7>
c) ịv77<ịvĩ70 ; 3	5
o sánh, b) 7 > 375 ; d)
Bài 46. a) 2 Vãx - 4V3X + 27 - 3a/3x = 75x (2-4- 3) + 27 = 27-57ix .
Lưu ý. Các cãn số bậc hai là những số thực. Do đó khi làm tính với căn số bậc hai, ta có thể vận dụng mọi quy tắc và mọi tính chất của các phép toán trên số thực.
b) HD : Dùng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để có những căn thức giống nhau là V2Ã.
ĐS.-28 + 1472x7
Bài 47. a) Vì X > 0, y > 0 nên X + y > 0. Do đó :
2 Í3(x + y)2 _ 21X + y I [3 _ 2(x + y) [3 x2-y2V 2	■ x2-y2 V2 ' x2-y2 V2
2	Í3_	1 íĩĩ= Tẽ
x-.yV2 x-yV 2 x-y
b) 75a2(l-4a + 4a2) = —— 75a2(2a-l)2 2a-l	2a-l
= 2|al.|2a-ll	.
2a-l
Vì a > 0,5 nên 2a- 1 > 0. Do đó —— Ư5a2(l-4a + 4a2) = 2a 75. 2a -1
D. Bài tập luyện thêm
Thực hiện phép tính :
a) Ị 7Ĩ7-ị 7243+3727 ;	b) 15 Jl-12.. R-+ 4. R-.
2	3	V 5 V 3 V 2
Rút gọn biểu thức :
■ a) |V98l-|7507 + 6^|-4^| ; b) (x - 3)^ĩ^-2ự5(x-3).
Tìm X thỏa mãn :
a) 15-2724(x-1) = 77 ; b) 2x - 8	+ 4 = 0.
So sánh 3 77 và -^61 + 77 .
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô
a) HD : Dùng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
£>S:77.
b) HD : Dùng phép đưa thừa số vào trong dấu căn.
a) HD : Dùng phép đưa thừa số ra ngoài dấu cãn và đưa thừa số vào trong dấu căn. ĐS : 3 77x .
b) ĐS:-75(x-3).
a) Điều kiện : X > 1.
15ạ/~3~^ _ 2 ự24(x -1) = 77
» 5J9-2(X3~1) ~ 2 74-6(x-1) = 77
 5 76(x -1) - 47ó(x-1) = 77
 76(x-l) = 77 « 6(x - 1) = 5
, _ 5-	_ 11
6 6
b) HD : Đưa thừa số vào trong dấu căn rồi đặt 2x = (77x) .
DS; X = 2.
Ta có : 3 77 = 77/7 = 763 . Do đó phải so sánh 63 với 61 + 77.
Vì 63 = 61 + 2. Nhưng 2 > 77. Suy ra 63 = 61 + 2>61 + 77.
Vậy 3 77 > 7ól + 77 .