Giải toán 9 Bài 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

§4. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA
VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. Tóm tắt kiến thức
1. Định lí. Với số a không âm và số b dương ta có
/ã~_ Vã V b _ Vb
B VB
b) Nếu không có điều kiện A > 0 và B > 0 thì không thể viết đẳng thức
pv z	...	V-9
í—- được xác định nhưng biếu thức .—- không
Lim ý. a) Với biểu thức A > 0 và B > 0, ta cũng có ÍA VÃ
trên. Chẳng hạn, .—- được xác định nhưng biểu thức .—- V—4	’	V-4
xác định.
Quy tắc khai phương một thương
Muốn khai phương một thương y, trong đó a không âm, b dương, ta b
có thể khai phương lần lượt a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết
quả thứ hai.
Quy tắc chia các căn bậc hai
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia a cho b rồi khai phương kết quả đó.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Áp dụng quy tắc khai phương một thương để tính :
a)
/225
196
b)
162
242
c) A .	;
d)
í2 -4x + 4
Khi X > 2 thì X - 2 > 0. Do đó |x -2| = X - 2 và |x| = X. Khi 0 < X < 2 thì |x - 2| = 2 - X và |x| = X.
Khi X < 0 thì |x - 2| = 2 - X và Ix| = -X.
Vì thế:
khi X > 2, ta có
X -4x + 4	x-2
khi 0 < X < 2, ta có
khi X < 0, ta có
-2-4X + 4 _ 2 „2
X -4x+4	2-x	x-2
V X	-XX
l
Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai để tính :
Í9Õ
a)
/250
b)
3a + 2
Giải.
a)
/250
2
I 90 250
3
5
Ta có a3 - 3a + 2 = a3 - a - 2a + 2 = a(a2 - 1) - (2a - 2) = a(a-l)(a + 1) - 2(a -1) = (a - l)(a2 + a - 2)
= (a - l)(a2 + 2a - a - 2) = (a - 1 )[(a2 + 2a) - (a + 2)]
= (a - l)(a + 2)(a - 1) = (a - 1 )2(a + 2).
Do đó điều kiện để Va3 -3a + 2 có nghĩa là a + 2 > 0. Khi đó Va + 2 cũng có nghĩa.
Để biểu thức
■3a + 2
có nghĩa còn cần điều kiện Va + 2 * 0.
Vậy điều kiện để biểu thức này có nghĩa là a + 2 > 0 hay a > -2. Va3 -3a + 2
Bây giờ ta có :
Nếu a > 1 thì
V a + 2 ' Va3-3a + 2
^(a ■ ■■1a)+(*±2) = V(a-l)2 = la - l|
Va + 2
a - 1.
Va + 2
x T . o . 1 .1 ' V'd — 3a + 2
Nếu -2 < a < 1 thì r— — = 1 - a.
Ví dụ 3.
Rút gọn biểu thức : a)18A/ỊỊ ;
b) (3xz+ 1).
X -2
Giải.
a) 18.
36
36	V36	6
9x4 +6x2 +1
b) (3xz+ 1).
X -2
9x4+6x2 +1
- (3x2 + 1)
Vx-2
a/9x4 +6x2 +1
_ ZQ 2 , , X Vx-2	2 , ,, Vx-2 r——
= (3x + 1) ,	==== = (3x + 1). —22—— = Vx-2 .
V(
3x2+1)2
3x2 +1
c. Hưởng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Bài 28. ĐS: a)
12
15
b)|;
c4
d)
ơx I 'í
Bài 29. HD : Áp dụng quy tắc chia hai cãn bậc hai.
Bài 30.
b)ệ;
2 X
c)5;
d) 2.
b) 2y
4y
= 2y
2 VX
= 2y
vì X > 0.
xy
2|y|’
Vì y < 0 nên I y I = -y. Do đó 2y
V25--2
c) 5xy
(25x r V25X- -2—= 5xy-
2 I X4	2 X2
= 2y
4y2
5b
-2y
= -x y.
Vì X 0 nên |x| = -X và |y I = y .
,2
Do đó 5xy,
25x'
5xy
-5x	25x^
y~
-1X0 0.3,3	16
d) 0,2x y
„6.,8 X y
-00.3,3 x/16	-.,3,3	4
= 0,2x y -7-7 ■ ■■ = 0,2x y
„6.,8 X y
314
0.8xJ
IX ly IX |.y
Nếu X > 0 thì X > 0 nên |x I = X . Do đó 0,2x y
3 3 16 _ 0,8
x6y8
Nếu X < 0 thì X3 < 0 nên |x31 - -X3. Do đó 0,2x3y3 J—^6 = -
08
y
Bài 31.
Bài 32.
ĐS
35
120
HD : Thực hiện phép khai căn rồi so sánh kết quả.
Trả lời : V25-16 > V25 - VĨ6 .
HD : Ta có thể chứng minh rằng Vã < Va-b + Vb .
Nhưng điều này suy ra từ kết quả bài tập 26.b) SGK nếu lưu ý rằng
Vã = V(a-b) + b .
HD : Đổi hỗn số và số thập phân thành phân số.
,	,	• 144 121	144 40
Vb44.1,21 -1.44.0,4 =Vtt7.777-777-^7
v	V100 100 100 100
144
100
121 40 ) _ I 144.81 _ V144.8I
100 100.
100.100
100
/289
289	17
2
Vĩ
d) ĐS . 29
Bài 33.
a) VVx-V50 = 0V2x = V50 X =
/50	/—T
 X = J-f- = V25 = 5.
V 2
ĐS : X = 4.
Vãx2-VĨ2 =0« Vĩx2 = VĨ2 OX2 = ^|x2 =.
 X2 = Vĩ X2 = 2 X = V2 hoặc X = -V2 .
ĐS : X = Vĩõ hoặc X = -Vũ) .
b) ĐS: -(a-3).
4
Bài 34. a)£>S;-V3.
9 +12a + 4a2	/(3 +2a)2	7(3 +2a)2 J3 + 2a|
b2 ~ỵ b2 TiV Ibi •
Vi b < 0 nên Ib| = -b.
Vi a > -1,5 nên 3 + 2a > 0. Do đó |3 + 2a| = 3 + 2a.
9 + 12a + 4a2	3 +2a
b2	'
d) £)S .•-Vab .
Bài 35. a) 7(x-3)2 =9 |x-3| =9.
Khi X > 3 thì X - 3 > 0. Do đó |x-3| = X - 3.
Ta phải giải phương trình X - 3 = 9. Suy ra X = 12.
Vì 12 > 3 nên X = 12 là một nghiệm.
Khi X < 3 thì X - 3 < 0. Do đó |x-3| - -X + 3.
Ta phải giải phương trình -X + 3 = 9. Suy ra X = -6.
Vì -6 < 3 nên X = -6 cũng là nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : X = 12 và X = -ố. b) HD : Đổi 4x2 + 4x + 1 thành bình phương của một tổng.
ĐS : X = — và X = — .
2 2
Bài 36. a) Đúng.
Sai. Số âm không có căn bậc hai.
Đúng vì 7 = V49 và 6 = V36 .
Đúng vì 4 = VĨ6 > VÕ ; do đó 4 - VỈ3 > 0.
Bài 37. Tứ giác MNPQ có :
- Các cạnh bằng nhau và cùng bằng đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài 2cm, chiều rộng lcm. Do đó theo định lí Py-ta-go :
MN = NP = PQ = QM = V22 +12 = V5 (cm).
- Các đường chéo bằng nhau và cùng bằng đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng lcm nên độ dài đường chéo là
MP = NQ = V32 +12 = 7ĨÕ (cm).
Từ các kết quả trên suy ra MNPQ là hình vuông. Vậy diện tích tứ giác MNPQ bằng
MN2 =■ (75 )2 = 5 (cm).
N
M
p
Q1
D. Bài tập làm thêm
1. Thực hiện các phép tính :
2. Rút gọn biểu thức :
a) (2 - 7?)
26	/5(3-7ĨÕ)2
3-TĨÕv 169
b) 15a2
^a3 -2a2 +a
+ a(a-l)
450
2a2 -4a + 2
3. Giải phương trình :
7Ĩ28 (x — 1) = 7200 ;
J'2-6*+9=
V 90 V 5
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số 1. a)£>S/O.
165
375
11
I r— 60	375 ,	60	80
-.7165 -J—.J2—
11 V 11
11 V 33
60.165	60.375
11
11.11
V 11.33	V 11.11 V 11.11
= 7900
4.15.15.25
11.11
1600	2.15.5 . 40
'	=30	—— + —
11.11 11 11
= 30-^ + ^=30- 10 = 20.
11 11
HD : Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với 10.
ĐS :--.
2. a)ĐS: 75.
b) A= 15a
= 15a
a — 2a + a
2 a(a2 -*2a + l)
= 15a
2 í(a-l)
= 15a'
V(a-
17
+ a(a-l\
+ a(a-l)
+ a(a-l)
■ + a(a-l)
450
2a2 -4a + 2
450
2(a -2a + l)
225
(a-ir
7225
V(a--
= 15a2 -a - ?! + a(a - 1). 15 . Vì a > 0 nên |a| = a.
|a|	|a —1|
Khi a > 1 thì |a-l| = a- 1 và A = 15a(a- 1) + 15a= 15a2.
Khi 0 < a < 1 thì |a —1| = -(a - 1) và A = -15a(a - 1) -15a = -15a2.
3. a) £>s : X = -.
4
X -6x + 9
90
b)
V(x-3)2
90.98
 V(x-3)2 = Vl8.98 I X - 3 I = V36.49
 I X - 3 I = V36.V49 » I X - 3 I = 6.7 hay I X - 3 I = 42.
Nếu X > 3 thì I X - 3 I = X - 3. Do đó ta có phương trình X - 3 = 42. Suy ra X - 45. Vì 45 > 3 nên X = 45 là một nghiệm.
Nếu X < 3 thì I X - 3 I = 3 - X. Do đó ta có phương trình 3 - X = 42. Suy ra X = -39. Vì -39 < 3 nên X = -39 cũng là một nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là X = 45 và X - -39.