Giải toán 9 Bài 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

  • Bài 3.  Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương trang 1
  • Bài 3.  Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương trang 2
  • Bài 3.  Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương trang 3
  • Bài 3.  Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương trang 4
  • Bài 3.  Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương trang 5
  • Bài 3.  Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương trang 6
  • Bài 3.  Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương trang 7
  • Bài 3.  Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương trang 8
  • Bài 3.  Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương trang 9
§3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN
VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. Tóm tắt kiến thức
Định lí. Với các số a và b không âm ta có = Tã.Tb .
Lưu ý. a) Với hai biểu thức không âm A và B, ta cũng có
77Cb = TÃ.TẼ .
Nếu không có điều kiện A và B không âm thì không thể viết đẳng thức trên. Chẳng hạn 7(-9).(-4) được xác định nhưng biểu thức 7-9.7-4 không xác định.
Quy tắc khai phương một tích	s
Muốn khai phương một tích của những số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.
Nói cách khác, với các số a, b,..., c không âm ta có :
Quy tắc nhân các căn bậc hai
Muốn nhân các căn bậc hai của những số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
Nói cách khác, với các số a, b,..., c không âm ta có :
7ã.7b....7ẽ = 7a.b....c .
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính :
a) ựló.o,81.225 ;
Giải. Theo quy tắc khai phương một tích, ta có :
a) 716.0,81.225 = 7Ĩ6.7081.7225 = 4. 0,9. 15 = 54.
b) ự4x4(y4+2y2+l) = ự4x4(y2+l)2
(y2 +1)2 = 2x2(y2 + 1).
Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc nhân các cân bậc hai, hãy tính :
3 V 10
b)
a-1
a3 -3a2 +3a-l
10a +20a
•V2a + 4 , với a > 1.
a)
Giải. Theo quy tắc nhân các căn bậc hai ta có :
.75 = J|—.5 = vĩõ = V36 = 6. V 3 10
8 27 3 V 10
b)
a3 -3a2 + 3a-l
10az +20a
,V2a + 4=.
15a3(a3-3a2+3a-l)(2a + 4)
(a - l)(10a2 +20a)
5a3(a - l)3.2(a + 2)
/10a2(a-l)3.(a + 2)
a)
(a-l).10a(a + 2) Ặí 10(a-l).(a + 2)
= ựa2(a-l)2 = Va2" .ự(a-l)2 = |a| .|a -1| - a(a - 1) vì a > 1.
Ví dụ 3. Với hai số không âm a và b ta có a a2 < b2. Áp dụng điều này hãy so sánh hai số Vl22 + Vl43 và Vl23 + Vl42 .
Giải. Ta sẽ so sánh (Vl22+ V143 )2 và (Vl23 + Vl42 )2.
Ta có (VĨ22 + VĨ43 )2 = (Vl22 )2 + 2V122 . V143 + (V143 )2 = 122 + 2V122.I43 + 143 = 265 + 2V17446 .
(V123 + Vl42 )2 = (V123 )2 + 2 V123 . V142 + (VĨ42 )2 = 123 + 2 V123.142 + 142 = 265 + 2V17466 .
Vì 17446 < 17466 nên V17446 < Vl7466
Do đó 265 + 2V17446 < 265 + 2V17466 . Vậy V122 + VĨ43 < VĨ23 + V142 .
c. Hướng dân giải bài tập trong sách giáo khoa
Bài 17. a) ĐS: 2,4.	z
ĐS: 28.
HD . Đổi 12,1.360 thành 121.36. ĐS : 66.
ĐS: 18.
Bài 18. £>S:a)21; b) 60 ; c) 1,6 ; d) 4,5.
Bài 19. a)Vo,36a2 = 7036 .Tã2" =0,6.|a|.
Vì a < 0 nên |a| = -a. Do đó 7o,36a2 = -0,6a.
7a4(3-a)2 = Tã4 ,ự(3-a)2 = |a2| ,|3-a|.
Vì a2 > 0 nên |a2| = a2. Vì a > 3 nên 3 - a < 0, do đó |3 — a| = a - 3 Vậy 7a4(3-a)2 = a2(a-3).
ạ/27.48(1 -a)2 = 727.3.16(1-a)2 = 781.16(1-a)2
1-a)2 =9.4.|l-a
Vì a > 1 nên 1 - a < 0. Do đó |l - a| = a - 1.
Vậy 727.48(1-a)2 = 36(a- 1).
-1- : 7a4(a-b)2 = ~ : (Tã4 -7(a-b)2)
a — b	a — b
= —: (a2.|a-b|). a -b
Ị
(a-b)
Vì a > b nên a - b > 0, do đó |a — bị = a — b.
Vậy —ì- : 7a4(a-b)2 = -L- : [a2(a - b)] = — a-b	a-b	a
Bài 20.
a)ỠS:|. b) ĐS : 26. c) ĐS : 12a.
đ) (3-a)2-V02.Vl80a2 = a2 - 6a + 9 - Vo,2.180a2
= a2 - 6a + 9 - 736a2 = a2 - 6a + 9 - 6|a|.
Khi a > 0 thì |a| = a.
Do đó (3 - a)2 - 70^2.Vl80a2 = a2 - 6a + 9 - 6a = a2 - 12a + 9.
Khi a < 0 thì |a| = -a.
Do đó (3 - a)2 -7^2.7l 80a2 =a2-6a + 9 + 6a = a2 + 9.
Bài 21. Kết quả B.
Bài 22. a) ĐS : 5.
7l72 -82 = 7(17-8)(17 + 8) = 7925 = 77.777 = 3.5 = 15.
ĐS: 45.
ĐS : 25.
Bài 23. HD:
Dùng hằng đẳng thức khai triển vế trái rồi lưu ý rằng (77 )2 = 3.
Hai số là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.
Bài 24. a) 74(l + 6x + 9x2)2 = 77.7(l + 6x + 9x2)2 = 2(1 + 6x + 9x2).
Tại X = -77, giá trị của 74(l + 6x + 9x2)2 là
2[1 + 6.(-77 ) + 9.(-77)2] = 2(1 - 677 + 9.2)
= 2(19-677) «21,03. b)79a2(b2 +4-4b)=79a2(b-2)2 = 77. VI2".7(b-2)2 = 3|a|,|b-2|.
Tại a = -2, b = - 77, giá trị của biểu thức 79a2(b2 +4-4b) là
|-2|. 1-77 - 2| = 3.2.( 77 + 2) = 6( 77 + 2) « 22,392.
Bài 25. a) Điều kiện X > 0.
a/ióx = 8 16x - 82 16x = 64 X = 4.
£>s : X = -.
4
ĐS .- X = 50.
Điều kiện : Vì (1 - x)2 > 0 với mọi giá trị của X nên ạ/4(1 - x)2 có nghĩa với mọi giá trị của X.
ự4(l-x)2 -6 = 0 «77.V(l-x)2 -6 = 0
2.|l-x| = 6« |l —x| =3.
Ta có 1 - X > 0 khi X < 1. Do đó :
khi X 1 thì |l - x| = X - 1.
Để giải phương trình |l - x| = 3, ta phải xét hai trường hợp :
Khi X X = -2.
Vì -2 < 1 nên X = -2 là niôt nghiệm của phương trình.
Khi X > 1, ta có : X - 1 = 3 « X = 4.
Vì 4 > 1 nên X = 4 là một nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là X = -2 và X = 4.
Bài 26. a) HD : Tính 777 + 77 rồi so sánh kết quả với 725 + 9 .
Trả lời: 725 + 9 < 725 + 77. b) Ta có : (7a + b )2 = a + b và
(77 + 77 ) = (77) + 2 77.77 + (77)
= a + b + 2.77.77.
Vì a > 0, b > 0 nên 77.77 > 0.
Do đó 7a + b < 77 + 77 .
Bài 27. a)//ỡ / 4 = 777,2 77 = 77.77 = 777 = 777.
Trả lời : 4 ;> 2 77. b) ĐS : -77 < -2 .
D. Bài tập luyện thêm
1. Thực hiện các phép tính :
2. Rút gọn biểu thức : a) V49(735-6)2 ;
Giải phương trình 3x - 7“4(x2 -8x + 16) = 10.
So sánh hai số Vĩõ- VỸ và VlO-7 .
Lời giải - Ilưứng dẫn - Đáp số
a) ĐS : 120.
= 35-14+10 = 31. 2. a) ĐS : 7(6 - V35 ).
= ^-^(11-7Ĩ2Ĩ)2+2VĨ22
= 7 — 2.|l 1 —V122I +2V122 .
= 4ỹĩ - V22(ll-VĨ22ỹ + 2 V122
Vi 11 = V12T < VĨ22 nên I1I-V122I = V122 -11. Do đó
+ 2V122 = 7 - 2( V122 - 11) + 2 V122
= 29.
Do đó cả ba căn thức
đều có nghĩa.
íx2 -4x + 4 Ị X2 — 9 |x + 1 \	x-3	’ \ x + 1 ’ Vx + 3
lx2 -4x + 4 X2 -9 lx + l x2-4x + 4 x2-9 x + 1 V x-3 V x+1 Vx+3 - V x-3	' x + 1 'x + 3
= J.v~2)2(x~3)ix+3)tIZl2 = 7(777 = lx-21.
V	(x-3)(x + l)(x + 3)	x
V' 
Vì X > 3 nên X - 2 > 0. Do đó |x - 2| = X - 2.
Vậy
X -4x + 4
x-3 'V
X -9 x + 1
= X - 2 với X > 3.
3. 3x -^4(x2 -8x + 16) = 10 3x-ự4(x-4)2 = 10 3x - 2.|x -4| = 10.
Khi X > 4, ta có |x - 4| = X - 4 và có phương trình
3x - 2(x - 4) = 10 hay X + 8 = 10.
Suy ra X = 2.
Vi 2 < 4 nên X = 2 không phải là nghiệm của phương trình.
Khi X < 4, ta có |x - 4| = 4 - X và có phương trình
3x - 2(4 - x) = 10 hay 5x - 8 = 10.
™ v - 18 18 18 Suy ra X = —. Vì — <4 nên X = là một nghiệm.
18
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là X = -- •
Cách 1. Vì 10 > 7 nên 7ĨÕ > 77 . Do đó 7ĨÕ - 77> 0. Để so sánh 7ĨÕ - 77 với 7l0-7 , ta xét (7ĨÕ - 77 )2 và (710-7 )2. Tacó(7ĨÕ - 77 )2 = 10 + 7-2710.77= 17-2770 ;
(7io-7 )2 = (77 )2 = 3.
Bây giờ ta phải so sánh 17 - 2770 với 3. Giả sử rằng 17 - 2770 < 3 hay 14 <2770 hay 7 < 77Õ . Vì 7 = 749 và 49 < 70 nên 7 < 77Õ là đúng. Do đó 17-2 77Õ < 3 là đúng.
Vậy 7ĨÕ - 77 < 7io-7 .
Cách 2. theo bài tập 26.b) SGK, ta biết rằng nếu a > 0, b > 0 thì Va + b < Vã + Vb. Đặt a = 10 - 7, b = 7 thì a + b - 10.
Do đó Vĩõ = V(10-7) + 7 < VlO-7 + w.
Từ đó suy ra Vĩõ - vv < VlO-7 .
>