Giải toán 9 Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

  • Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông trang 1
  • Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông trang 2
  • Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông trang 3
  • Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông trang 4
  • Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông trang 5
  • Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông trang 6
§1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. Tóm tắt kiến thức
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại o. Biết AD = óVĨ3, OD = 18, tính độ dài các đường chéo AC và BD.
Giải. • Ap dụng hệ thức b = ab' vào tam giác ADB vuông tại A ta được :
,	AD2
AD = DO.DB => DB =
OD
o.
18
• Để tính AC ta tính OA và oc. Ta có
OB = BD — OD = 26 — 18 = 8.
Áp dụng hệ thức h2 = b'c' vào tam giác ADB vuông tại A ta được :
OA2 = OB.OD= 18.8= 144
=>0A= 12.
Lại àp dụng hệ thức h2 = b'c' vào tam giác DAC vuông tại D ta được :
OD2 = OA.OC=>OC= ^- = ^ = 27.
OA 12
Do đó AC = OA+ 00= 12 + 27 = 39.
Nhận xét : o trên ta đã dùng hệ thức h = b'c' đế tính OA băng cách coi OA là đường cao ứng với cạnh huyền của AABD vuông tại A. Ta cũng có thể dùng định lí Py-ta-go đê’ tính OA bằng cách coi OA là cạnh góc vuông của AAOD vuông tại o. Như vậy ta cần vận dụng linh hoạt các hệ thức sao cho thích hợp với từng điều kiện cụ thể.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 1. a) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình sau.
Vậy X = 3,6 ; y = 10 - 3,6 = 6,4.
b) Ap dụng hộ thức c~ = ac' tìm X được 7,2, suy ra y = 12,8. Bài 2. HD : Áp dụng hệ thức c2 = ac'. ĐS : X = Vo ; y = V20.
Bài 3. HD : Tính cạnh huyền được y = V74.
35
Dùng hệ thức be = ah => X =
74
Á	2
Ap dụng hệ thức h = b'c' ta có :
A
= 4.
r2 	 	 AH
AH = HB.HC => HC =
HB
Do đó X = 4.
Ap dụng hệ thức b - ab' ta có AC2 = BC.HC => y2 = 5.4 => y = 720.
Nhận xét. Ta còn có thể tính y theo định lí Py-ta-go :
y2 = 22 + 42 = 20 => y = 720. Bài 5. HD. Tính cạnh huyền được BC = 5.
ĐS. BH = 1,8 ; CH = 3,2 ; AH = 2,4.
Bài 6. HD. Bạn có thấy bài này tương tự như bài 2 không ?
ĐS. Hai cạnh góc vuông là AB = 73 ; AC = Tó.
Bài 7. Cách 1. Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên. Ta có
OA = OB = oc =	(= R).
2
Suy ra AABC vuông tại A.
2
Ap dụng hệ thức h = b'c' ta có :
X2 = ab.
Cách 2. Cũng chứng minh AABC vuông như cách 1.
Áp dụng hệ thức AB2 = BC.BH 2
ta được X = ab.
Bài 8. HD.
Dùng hệ thức h2 = b'c'. ĐS : X = 6.
Dùng hệ thức h2 = b'c', tính được X = 2. Để tìm y, có thể dùng hệ thức c2 = ac' hoặc định lí Py-ta-go. ĐS : y = y/s.
Dùng hệ thức h2 = b'c', tính được X = 9, từ đó y - 15.
Bài 9. a) AADI và ACDL có :
 = C = 90°
AD = CD (hai cạnh hình vuông)
Di = D2 (cùng phụ với CDI).
Do đó AADI = ACDL (g.c.g)
Suy ra DI = DL. Vậy ADIL cân.
í	1	1	1	.	1	_	1	,	1
b) Ap dụng hệ thức — = — + — ta có : ---y = —5- +	-1-
h2 b2 c2	DC2 DL2 DK2
do đó
DC2 DI2 ' DK2'
không đổi.
Do DC không đổi nên -Àr 4— DI2 DK2
Nhận xét. Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất
,	~ 111
gan với hệ thức — = — + — .
h2 b c2
Nếu đề bài không cho vẽ DL1DK thì ta vẫn phải vẽ đường phụ DL± DK để có thể vận dụng hệ thức trên.
D. Bài tập luyện thêm
Tính X và y trong các hình sau :
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên đường cao AH, lấy điểm E sao cho AE = BH. Vẽ EF // BC (F 6 AC). Chứng minh rằng :
11 1
EF2 " AF2 + AC2 '
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đường phân giác AM.
. D; . MB 1	. HB
Biết —— = —, tính ti sô 7-7—.
MC 2	HC
Biết AH = 4, tính các độ dài AB, AC.
Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Vẽ BH1 CD. Biết BH = 4,8 và BD = 6.
Tính độ dài DH ;
Tính diện tích hình thang.
Lời giải - Hướng dẫn - đáp số
a) Áp dụng hệ thức c2 = ac' ta được (7,5)2 = (4,5 + x).4,5 => X = 8, từ đó tìm được y = 10.
,	X	,	 1	1	1
b) Ap dụng hệ thức -7- = -y + 7 , tính được h = 2. hz b c
Áp dụng tiếp định lí Py-ta-go tính được X = 1 ; y = 4.
3. a) Theo tính chất đường phân giác ta có
AAHB = AFEA (g.c.g). Suy ra AH = EF và AB = AF.
AB MB 1 AC - MC - 2
Vì AB2 = BC.HB ; AC2 = BC.HC nên	= ^yỹ =
BC.HC AC2
Suy ra HỆ- = — hay HC = 4.HB. HC 4
b) AH2 = HB.HC = 4.HB2, từ đó tính được HB = 2, dẫn tới HC = 8 và BC = 10.
Ta có
AB2 = 10.2 = 20 => AB = 720 ; AC2 = 10.8 = 80 => AC = 780.
a) DH2 = BD2 - BH2 = 62 - (4,8): => DH = 3,6.
b) Vẽ BM // AC (M e CD).
Vì AC 1 BD nên BM 1 BD.
Ta có BD2 = DM.DH
=>DM= 777 = 77= 10.
DH 3,6
= 12,96.
Xét ABDM vuông tại B có
BM2 = DM2 - BD2 = 100 - 36 = 64.
=> BM = 8, do đó AC = 8. Sabcd=|aC.BD = |.8.6 = 24 (đvdt).