Giải toán 9 Bài 4. Đường thẳng song song và đường thảng cắt nhau

§4. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ
ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU
Tóm tắt kiến thức
Đường thẳng song song
Hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b' song song với nhau khi và chi khi a = a', b b' và trùng nhau khi và chỉ khi a = a', b = b'.
Đường thẳng cắt nhau
Hai đương thẳng y - ax + b và y = a'x + b' cắt nhau khi và chi khi a a'.
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Trong các đường thẳng sau, những đường thẳng nào song song, những đường thắng nào cắt nhau ?
y = 7x - 2 ; y = 5x + V2 ; y = 7x + V5 Giải. Hai đường thẳng y = 7x - 2 và y = 7x + v? song song với nhau vì
a = 7 = a' và b = -2 5^ V5 = b'.
Hai đường thẳng y = 7x - 2 và y = 5x + V2 cắt nhau vì a = 7	5 = a'
Hai đường thẳng y = 5x + V2 và y = 7x + v? cắt nhau.
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng y = (m - 2)x - 3 và y = (4m + l)x + m.
Tìm giá trị của m đê’ hai đường thẳng :
cắt nhau ;
song song ;
.trùng nhau.
Giải, a) Muốn hai đường thẳng đã cho cắt nhau thì
m - 2 4m + 1 hay -3m * 3. Suy ra m * —1.
Vậy để hai đường thẳng đã cho cắt nhau thì m * -1.
Muốn hai đường thẳng đã cho song song với nhau thì
m - 2 = 4m + 1 và m -3. Suy ra m = -1.
Vậy để hai đường thẳng đã cho song song với nhau thì m = -1.
Muốn hai đường thẳng đã cho trùng nhau thì
m — 2 - 4m + 1 và m = —3.
Nhưng từ hệ thức đầu suy ra m = -1	-3.
Vậy hai đường thẳng đã cho không thể trùng nhau.
Ví dụ 3. Cho ba đường thẳng y = f(x) = m(m + l)x - 2m, y = (rù2 + l)x - m + 2
và y = g(x) = 5x - 2. Biết rằng hai đường thẳng đầu tiên có cùng tung độ gốc.
Hỏi trong ba đường thẳng đã cho có hai đường thẳng nào song song với nhau không ?
Nếu có những đường thẳng cắt nhau thì hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng.
Giải, a) Vì hai đường thẳng y = m(m + l)x - 2m và y = (m2 + l)x - m + 2 có cùng tung độ gốc nên -2m = -m + 2. Do đó m = -2.
Vì m = -2 nên hai đường thẳng đầu tiên lần lượt là những đường thẳng
y = 2x + 4 và y = 5x + 4.
Vậy đường thẳng thứ hai song song với đường thẳng thứ ba. b) Vì hai đường thẳng đầu tiên có cùng tung độ gốc là 4 nên chúng cắt nhau tại điểm P(0 ; 4). Chỉ còn phải tìm giao điểm của hai đường thẳng y = f(x) = 2x + 4 và y = g(x) = 5x - 2.
Giả sử M(x0 ; y0) là giao điểm cần tìm.
Vì M thuộc đường thẳng y = 2x + 4 nện y0 = f(x0) = 2x0 + 4.
Tương tự, vì M thuộc đường thẳng y = g(x) = 5x - 2 nên y0 = 5x0 - 2. Do đó 5x0 •- 2 = 2x0 + 4. Suy ra 3x0 = 6 hay x0 = 2 và y0 = 2.2 + 4 = 8. Vậy hai đường thẳng y = 2x + 4 và y - 5x - 2 cắt nhau tại M(2 ; 8).
0 Lưu ý. Muốn tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng y = ax + b và y - a'x + b', ta làm như sau :
- Giải phương trình ax + b = a'x + b' để tìm giá trị của X ;
- Thay giá trị vừa tìm được của X vào đẳng thức y = ax + b hoặc y = a'x + b', ta tìm được giá trị của y.
Cập giá trị (x ; y) tìm được là toạ độ của giao điểm.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Iìài 20. Ba cặp đường thẳng cắt nhau là : a) và b) • b) và c) ; a) và c).
Các cặp đường thẳng song song là : a) và e); b) và d); c) và g).
Bài 21. ĐS. a)m = -l;	b)m*-l.
Bài 22. ạ)£>S:a = -2.
b) Ta có 7 = a.2 + 3. Suy ra a = 2.
Bài 23. a) Đồ thị cắt trực tung tại diêm có tung độ bằng -3 có nghĩa là tung độ gốcb = -3.
b) Đồ thị cửa hàm số đi qua điểm A(1 ; 5) nên 5 = 2.1 + b. Suy ra b = 3. Bài 24. a) Hai đường thẳng cắt nhau khi 2m +1^2 hay m 0,5, k tùy ý.
b) Hai đường thắng song song với nhau khi 2m + 1 - 2 và 3k 2k - 3
Bài 26. a) Giả sử M là giao điểm của đồ thị của hàm số (1) và đường thẳng y = 2x - 1. Vì M thuộc đường thẳng y = 2x - 1 và có hoành độ là X = 2 nên tung độ của nó là y = 2.2 - 1 = 3.
Như vậy ta có M(2 ; 3).
Vì M thuộc đồ thị của hàm số (1) nên 3 = a.2 - 4. Do đó a = 3,5.
Gọi N là giao điểm của đồ thị của hàm số (1) và đường thẳng y = -3x + 2. Lập luận tương tự như trên, ta tìm được N(-l ; 5) và a - -9.
D. Bài tập luyện thêm
Cho hai đường thẳng y = —T?x^t- V3 và y - ax + b. Tìm a và b để đữờng thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = - V? X + V3 và
đi qua điểm M( —;1 - V?).
1 + V5
Cho hai đường thẳng y - (2m - 1 )x + n và y = (5 - m)x + 3.
Tìm giá trị của m và n để hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
Với các giá trị m, n vừa tìm được, gọi A và B lần lượt là giao điểm của mỗi đường thẳng đã cho với trục Ox và giả sử rằng mỗi đơn vị độ dài trên các trục toạ độ bằng lcm. Tìm giá trị của n để AB = 2cm.
Cho đường thẳng y = -0,5x + 2. Tìm giá trị của m và k để đường thẳng y = (3m - l)x + k song song với đường thẳng y = (m + 3)x - 5 và cắt đường thẳng y = -O.,5x + 2 tại một điểm trên trục Ox.
•TP
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
ĐS:a = -^,b=^I.
4
a) Hai đường thẳng đã cho song song khi2m-l = 5 - m và n # 3 hay
khi m = 2 và n 3.
b) Vì m = 2 nên các đường thẳng đã cho lần lượt là y = 3x + n và y - 3x + 3. Từ đó suy ra A có hoành độ Xị = -y, B có hoành độ x2 = -1. Vì x2 = -1 nên OB = 1 < 2 nên có hai trường hợp :
o nằm giữa A và B. Khi đó, vì Xọ = -1 0, do đó
Suy' ra n = 9.
Vậy n = -3 hoặc n = 9.
Hai đường thẳng y = (3m - l)x + k và y = (m + 3)x - 5 song song với nhau khi 3m - 1 = m + 3 và k + -5 hay m = 2 và k + -5.
Khi dó y = (3m - 1 )x + k trở thành y = 5x + k, k + -5 .
Đường thẳng y = -0,5x + 2 cắt trục Ox tại A(4 ; 0). Để đường thẳng y = 5x + k cắt đường thẳng y = -0,5x + 2 tại điểm trên trục Ox ; tức là tại A thì 0 = 5.4 + k. Suy ra k = -20.
Vậy m = 2 và k = -20.