Giải bài tập Toán lớp 7: Bài 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

§2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN,
ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
A. KIẾN THỨC cơ BẢN
Khái niệm về đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của đường xiên.
Đoạn AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc
Đoạn AB gọi là đường xiên
Đoạn HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB lên đường thẳng ra.
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Định lí 1. Trong các đường xiên và đường vuông góc
GT
A Ể a
AH là đường vuông góc
AB là đường xiên
KL
AH< AB
kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiêu của chúng
Định lí 2. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó.
Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
GT
AB, AC, AD là đường xiên
HB, HC, HD là hình chiếu
KL
Nếu HC > HB thì AC > AB
Nếu AC > AB thì HC > HB
Nếu AC = AD thì HC = HD và ngược lại.
|1 [ Bài tập mẫu
Cho tam giác ABC có B > c. Kẻ AH ± BC (H e BC). Gọi D là một điểm năm giữa A và H. Chứng minh rằng:
BH < HC;
BD < DC.
Giải
Tam giác ABC có B > c nên AB < AC (đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).
Vì AH ± BC (gt) nên BH và HC lần lượt là hình chiếu của các đường xiên AB và AC trên đường thẳng BC mà AB < AC do đó BH < HC (đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn).
DB và DC theo thứ tự là các đường xiên kẻ từ điểm D nằm ngoài đường thẳng BC đến điểm B và điểm c của đường thẳng BC mà BH < HC do đó BD < DC (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).
|2 I Bài tập Cơ bản
Cho hình bên. Biết rằng AB < AC. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Tại sao?
HB = HC;
HB > HC;
HB < HC.
Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam Xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến c,...
Hỏi rằng bạn Nam tập như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi được xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?
Giải
8.
Vì AB HC.
9.
Theo hình vẽ các điểm A, B, c, D nằm trên một đường thẳng d và điểm M nằm ngoài đường thẳng đó. MA là đường vuông góc kẻ từ M đến đường thẳng d. Các đoạn thẳng MB, MC, MD là các đường xiên kẻ từ M lần lượt đến B, c và D.
Ta có AB, AC và AD lần lượt là hình chiếu của MB, MC và MD xuống d. Ta có ngay AD > AC > AB. Suy ra
MD > MC > MB > MA
Điều đó có nghĩa là ngày hôm sau bạn Nam bơi được xa hơn ngày hôm trước, tức là bạn Nam tập đúng mục đích đề ra.
Bài tập tương tự
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E, trên tia đối của tia AC lấy điểm F sao cho AF = AC. So sánh BC, BF, BE.
Cho tam giác ABC, biết B > c. Kẻ AH ± BC (H 6 BC). Gọi M là một điểm nằm giữa H và B. N là một điểm trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn BC. Chứng minh:
HB < HC.	b) AM < AB < AN
LUYỆN TẬP
Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh với một điểm bất kì của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.
Một cách chứng minh khác cùa định lí 12:
Cho hình bên. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để chứng minh rằng:
Nếu BC < BD thì AC < AD.
Hướng dẫn:
Góc ACD là góc gì? Tại sao?
Trong tam giấc ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao?
Cho hình a. Ta gọi độ dài đoạn thẳng AB là klioảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.
Hình b
Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó.
Muôn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt thước như trong hình b có đúng không?
D
A
Cho hình bên. Hãy chứng minh rằng:
BE < BC;
DE < BC.
Đố: Vẽ tam giác PQR có PQ = PR = 5cm, QR = 6cm. Lấy điểm M trên đường thẳng QR sao cho PM = 4,5cm. Có mấy điểm M như vậy?
Điểm M có nằm trên cạnh QR hay không? Tại sao?
Giải
Nếu M = A hoặc M = B (Kí hiệu đọc là	g / r \ \ Q
trùng với) thì AM = AB, AM = AC.	H M
• Nếu M nằm giữa B và C; B; c. Gọi H là trung điểm BC, mà AABC
Giả sử AABC cân tại A, M là điểm thuộc cạnh đáy BC, ta chứng minh AM < AB; AM < AC
Nếu M = A hoặc M = B (Kí hiệu đọc là
cân tại A nên AH ± BC + Nếu M = H => AM ± BC => AM MH < CH
Vì MN và CH là hình chiếu MA và CA trên đường BC nên MA MA < BA Chứng minh tương tự nếu M nằm giữa H và B thì MA < AB, MA < AC.
Vậy mọi vị trí của M trên cạnh đáy BC thì AM < AB; AM < AC.
a) ACD là góc ngoài tại c của AACB.
Vì hai điểm c và D nằm cùng phía với điểm B và BC < BD suy ra c nằm giữa B và D.
ACD là góc ngoài tại c của AABC nên ACD > ABC tức là ACD > 90° hay ACD là
góc tù. Trong tam giác ACD có ACD là góc tù nên AD > AC.
Trong bài này ta được khái niệm mới là khoảng cách giữa hai đường thắng song song là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ một điểm nằm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. Vì vậy muốn đi bề rộng của tấm gỗ chính là xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ta phải đặt thước vuông góc với một trong hai cạnh song song của tấm gỗ. Cách đặt thước như trong hình b là sai.
a) Trong hình vẽ BE < BC là hai đường xiên vẽ từ B đến đường AC và AE; AC là hai
hình chiếu của chúng vì AE < AC nên BE < BC b) EB và ED là hai đường xiên vẽ từ E đến AB
AB và AD là hai hình chiếu của chúng.
Vì AD < AB nên DE < BE.
Ta có: BE < BC và DE < BE nên DE < BC
b) 6,5cm, 3,lcm, 3,4cm
• Kẻ đường cao AH của APQR => H là trung điểm của QR
=> HR = — QR = 3cm
2
• APHR vuông tại H
nên PH Hệ qtiă của bâ't đẳng thức tam giác
• Hệ quả. Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
• Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.
Trong tam giác ABC, với cạnh BC ta có:
AB - AC < BC < AB + AC
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
|ị. Ị Bài tập mẫu
1. Có thể có tam giác nào mà độ dài ba cạnh như sau không:
a) 7cm, 8cm, 15cm c) 14,7cm, 8,2cm, 6,3cm
 = PR2 - HR2 (định lí Pitago)
p
PH2 = 25 - 9 = 16 => PH = 4cm.
Đường vuông góc PH = 4cm là đường ngắn nhất trong các đường kẻ p đến đường thẳng QR. Vậy chắc chắn có một đường xiên PM = 4,5cm (vì PM = 4,5cm > 4cm) kẻ từ p đến đường thẳng QR.
• APHM vuông tại H nên HM2 = PM2 - PH2 (định lí Pitago) => HM2 = 20,25 - 16 = 4,25
=> HM « 2,lcm
Vậy trên đường thẳng QR có hai điểm M như vậy thỏa điều kiện HM » 2,lcm.
Vì HM M nằm giữa H và R hay hai điểm này năm trên cạnh QR, và nằm
khác phía đối với điểm H.