Giải bài tập Toán lớp 7: Bài 7. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

§7. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRựC CỦA MỘT ĐOẠN THANG
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng
Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Định lí 1:
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đó.
đoạn thẳng thì cách đều hai mút của
GT
d là trung trực của AB
M 6 d
KL
MA = MB
Định lí 2.
Điểm cách đều hai mút của một đoạn tl đoạn thẳng đó.
3. Nhận xét:
Từ định lí thuận và đảo ta có:
Tập hợp các điểm cách đều hai mút của
đoạn thẳng đó.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
11 I Bài tập mẫu
1. Cho đoạn thẳng AB thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Xác định điểm M thuộc d sao cho điểm M cách đều hai điểm A, B.
Giải
Vẽ trung trực của đoạn thẳng AB.
Giả sử xy cắt d tại điểm M, ta có:
thì nằm trên đường trung trực của
ột đoạn thẳng là đường trung trực của
MA = MB
2. Cho hai đoạn thẳng phân biệt AB và CD. Gọi 0 là giao điểm hai đường trung trực củà AB và CD. Có nhận xét gì về hai đoạn AB và CD. Nếu AB // CD thì có nhận xét về hai đường trung trực đó?
Giải
o là giao điểm của hai đường trung trực của hai đoạn thẳng phân biệt AB và CD thì
AB và CD phải cắt nhau hay bốn điểm A, B, c, D không thẳng hàng.
Nếu AB // CD thì hai đường trung trực phải song song với nhau. Mà o là giao điểm
của hai đường trung trực nên theo tiên đề ơclit thì hai đường trung trực của AB và CD trùng nhau.
[~2~| Bài tập cơ bản
Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu?
Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình vẽ đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Gợi ý: Sử dụng định lí 2.
Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Giải
Điểm M thuộc đường trung trực cua AB
=> MA = MB (định lí thuận)
Vì MA = 5cm nên MB = 5cm.
Ta có: Hai cung tròn tâm M và N có bán kính bằng nhau.
Nên MP = NP và MQ = NQ => P; Q cách đều 2 mút. M, N của đoạn thẳng MN nên P; Q thuộc đường trung trực của MN hay đường thẳng qua p, Q là đường trung trực của MN.
Vì AABC cân tại A => AB = AC => A thuộc trung trực của BC.
Vì DBC cân tại D => DB = DC => D thuộc trung trực của BC Vì AEBC cân tại E => EB = EC => E thuộc trung trực của BC
3
1.
Do đó A, D, E thuộc đường trung trực của BC nên A, D, E thẳng hàng.
Bài tập tương tự
Tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.
Trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB lấy điểm M. Hạ MH ± AB. Trên đoạn MH lấy điểm p. Gọi E là giao điểm của AP với MB. Gọi F là giao điểm của BPvdiMA
a) Chứng minh MH là phân giác góc AMB.
Chứng minh MH là trung trực của đoạn EF.
Chứng minh AF = BE.
LUYỆN TẬP
Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh AAMN = ABMN.
48.
49.
50.
Hai điểm M và N cùng nằm trên một nửa mặt phăng có bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đô'i xứng với M qua xy. Gọi I là một điểm của xy. Hãy so sánh IM + IN với LN.
Hai nhà máy được xây dựng bên bờ một con sông tại hai địa điểm A và B ở hình bên. Hãy tìm cạnh bờ sông một địa điểm c để xây dựng một trạm bơm đưa nước về cho hai nhà mấy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất.
P
d	\
(3)
(1)
A^-J.
(2^
(C
^(2)
Một con đường quô'c lộ cách không xa hai điểm dân cư. Hãy tìm bên đường đó một địa điểm để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế này cách đều hai điểm dân cư.
Cho đường thẳng d và điểm p không nằm trên d. Hình bên minh họa cho cách dựng đường thẳng đi qua điểm p và vuông góc với đường thẳng d bằng thước và compa như sau:
Vẽ đường tròn tâm p với bán kính thích hợp sao cho nó có cắt d tại hai điểm A và B.
Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm tại A và B sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là c (C ị P)
Vẽ đường thẳng PC.
Em hãy chứng minh đường thẳng PC vuông góc với d.
Đố: Tìm thêm một cách dựng nữa (bằng thước và compa)
Giải
Vì M thuộc đường trung trực của AB
=> MA = MB
N thuộc đường trung trực của AB => NA = NB
Do đó AAMN = ABMN (c.c.c)
Vì L và M đối xứng qua đường thẳng xy.
Nên đường thẳng xy là trung trực của ML.
I e xt => IM = IL Nên IM + IN = IL + IN
• Nếu I là giao điểm của NL và xy thì IL + IN = LN
• Nếu I không là giao điểm của ML và xy thì ba điểm I, L, N không thẳng hàng => IL + IN > LN
Vậy với mọi vị trí của I trên xy thì IL + IN > LN.
Áp dụng bài tập 48.
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng xy chứa một bờ sông gần nhất.
Ta có: CA + CB = CA’ + CB > A’B Nên CA + CB ngắn nhất khi c là giao
điểm của A’B với xy
Vậy điểm đặt trạm bơm là giao điểm của đường thẳng xy với đường thẳng qua điểm B và điểm A’ đô'i xứng với A qua xy.
Gọi A và B là hai điểm dân cư; c là điểm đặt trạm y tế.
Vì c cách đều AB nên c thuộc đường trung trực của AB mà c e xy nên c là giao điểm của xy và đường trung trực của AB.
p
a) Ta có: PA = PB (A; B nằm trên cung tròn có tâm P) CA = CB (hai cung tròn
AB tâm A và B có bán kính bằng nhau; c là giao điểm của 2 cung)
Vậy P; c cách đều A, B nên đường thẳng CP là đường trung trực của AB nên PC ± d.
b) Một cách vẽ khác.
Lấy điểm A bất kì trên d.
Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP cắt đường thẳng d tại M.
Vẽ cung tròn tâm M bán kính MP cắt cung tròn tâm A tại c.
- Vẽ đường thẳng PC, đường thẳng PC chính là đường vuông góc với d. Phần chứng minh xin bạn đọc tự giải.