Giải bài tập Toán lớp 7: Ôn tập chương III

ÔN TẬP CHƯƠNG III
Câu hỏi ôn tập
1. Cho tam giác ABC. Hãy viết kết luận của hai bài toán sau về quan hệ giữa góc và cạnh đô'i diện trong một tam giác.
Bài toán 1
Bài toán 2
Giả thiết
AB> AC
B<c
Kết luận
2. Từ điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH, các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d. Hãy điền dấu (>, <) vào các chỗ trống (...) dưới đây cho đúng:
AB... AH; AC....AH.
Nếu HB...HC thì AB ... AC
Nếu AB ... AC thì HB ... HC.
Cho tam giác DEF. Hãy viết các bất đắng thức về quan hệ giữa cấc cạnh của tam giác này.
Hãy ghép đôi hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng
Trong tam giác ABC
đường phân giác xuất phát từ đỉnh A
đường trung trực ứng với cạnh BC
đường cao xuất phát từ đỉnh A
đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.
a') là đường vuông góc với cạnh BC tại trung điểm của nó.
b') là đoạn vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC.
c') là đoạn thẳng nối A với trung điểm của cạnh BC
d’) là đoạn thẳng có hai mút là đỉnh A và giao điểm của cạnh BC với tia phân giác của góc A.
Cũng với yêu cầu như ở câu 4.
Trong một tam giác
trọng tâm	a’) là điểm chung của ba	đường cao
trực tâm	b') là điểm chung của ba	đường trung tuyến
điểm (năm trong tam giác) cách c') là điểm chung của ba	đường trung trực
đều ba cạnh	d’) là điểm chung của ba	đường phân giác
điểm cách đều ba đỉnh
a) Hăy nêu tính chất của trọng tâm của một tam giác; các cách xác định trọng tâm.
b) Bạn Nam nói: “Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác”. Bạn Nam nói đúng hay sai? Tại sao?
Những tam giác nào có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân
giác, đường trung trực, đường cao?
Những tam giác nào có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh,
điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh?
Nếu
HB
>
HC thì AB
>
AC
hoặc có thể
HB
<
HC thì AB
<
AC
Nếu
AB
>
AC thì HB
>
HC
hoặc có thể
AB
<
AC thì HB
<
HC
2. a) AB > AH; AC > AH.
Với ADEF ta có các bất đẳng thức và quan hệ giữa các cạnh là: a) DE < EF + DF
DF < EF + DE EF < DE + DF
hoặc: b) DF - EF DE EF
Ghép a - d’, b - a’, c - b’, d - c’
Trong tai
Đường phân giác xuất phát từ đỉnh A
Đường trung trực ứng với cạnh BC
Đường cao xuất phát từ đỉnh A
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.
Ghép a — b’, b - a’, c - d’, d - c’ Các ý được ghép thứ tự như sau:
Trọng tâm
Trực tâm
Điểm (nằm trong tam giác cách đều ba cạnh)
Điểm cách đều ba đỉnh
giác ABC
d') Là đoạn thẳng có 2 mút là đỉnh A và giao điểm của BC với tia phận giác của góc A.
a') Là đường thẳng vuông góc với cạnh BC tại trung điểm của nó. b') Là đoạn vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC.
c’) Là đoạn thẳng nối A với trung điểm của cạnh BC.
Trong một tam giác
b’) là điểm chung của ba đường trung tuyến a') là điểm chung của ba đường cao d') là điểm chung của ba đường phân giác c’) là điểm chung của các đường trung trực.
1.
Hướng dẫn trả lời
Bài toán 1
Bài toán 2
Giả thiết
AB > AC
B<c
Kết luận
C<B
AC < AB
a) • Trọng tâm của một tam giác có tính chất như sau:
2
' Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng — độ dài đường trung tuyên đi qua đỉnh đó”.
3
• Các cách xác định trọng tâm:
Cách 1: Vẽ hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh tuỳ ý, rồi xác định giao điểm của hai đường trung tuyến đó.
Cách 2: Vẽ một đường trung tuyến của tam giác. Chia độ dài đường trung tuyến đó thành ba phần bằng nhau rồi xác định một điểm cách đỉnh hai phần bằng nhau, b) Không thể vẽ được một tam giấc có trọng tâm ở bên ngoài tam giác vì đường trung tuyến qua một đỉnh của tam giác và trung điểm một cạnh trong tam giác nên đường trung tuyến phải nằm giữa hai cạnh của tam giác tức nằm ỏ miền trong của tam giác nên ba đường trung tuyến cắt nhau chỉ có thể nằm ở trong tam giác.
Tam giác có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao là tam giác cân, tam giác vuông cân.
Tam giác có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh là tam giác đều.
BÀI TẬP
Cho tam giác ABC với AC < AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC. Vẽ các đoạn thẳng AD, AE.
Hãy so sánh góc ADC và góc AEB.
Hãy so sánh các đoạn thẳng AD và AE.
Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng: Nếu MN < MP thì
HN < HP và NMH < PMH (yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc N nhọn và khi góc N tù).
Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau: lcm, 2cm, 3cm, 4cm và 5cm?
và trọng tâm Q.
Tính tỉ sô' các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ.
Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ.
So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ.
Từ kết quả trên, hãy chứng minh các tam giấc QMN, QNP, QPM có cùng diện tích. Gợi ý: Hai tam giấc ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.
Cho góc xOy. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai cạnh Ox, Oy.
Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh góc xOy và cách đều hai điểm A, B.
Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a?
Cho hai đường thẳng phân biệt không song song a và b, điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại p, cắt b tại Q và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại s. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b.
Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta kí hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A (không kể đường thẳng
. Gọi N là một điểm của PA và M là giao điểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA; từ đó suy ra NA < NB.
Ta kí hiệu PB là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm B (không kể d). Gọi N’ là một điểm của PB. Chứng minh N’B < N’A.
Giải
Gọi L là một điểm sao cho LA < LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu, trong PA, PB hay trên d?
63. a) So sánh ADC và ẤẼC Ta có: AC < AB
=> ABC < ACB	(1)
Vì AC = EC => AAEC cân tại c => ẤẼC <ÕÃÈ
mà ACB = AEC + EAC (góc ngoài tại c của AAEC)
=> ACB = 2.AEC	(2)
Chứng minh tương tự: ABC = 2.ADC (3)
Từ (1), (2), (3) => 2.ẤẼC = 2.ẤDC hay ẤẼC = ẤDC
b) AAED có:
AED = ADE (chứng minh trên) => AD = AE.
hình a
• Nếu góc N nhọn (hình a)
AMNP có N nhọn nên chân đường cao H kẻ từ M nằm giữa N và p.
Ta có hình chiếu của MN và MP lần lượt là HN và HP.
Từ giả thiết MN HN MPN < MNP (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác) Vì NMH + MNH = 90° (AMNH vuông tại H)
MPH + PMH = 90° (AMHP vuông tại H)
Vậy NMH < PMH
• Nếu góc N tù (hình b)
AMNP có N tù nên chân đường cao H ỏ ngoài cạnh NP và N ỏ giữa H và p => HN < HP.
Vì N ở giữa H và p nên tia MN ở giữa hai tia MH và MP. Từ đó suy ra HMN < HMP.
Trong một tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại. Vậy nên với năm đoạn thẳng có độ dài lcm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm chỉ dựng được tam giác với ba cạnh là các đoạn thẳng có độ dài là các bộ ba 2cm, 3cm, 4cm, bộ ba 3cm, 4cm, 5cm, bộ ba 2cm, 4cm, 5cm.
Gọi o là một điểm tùy ý (nơi phải đặt nhà máy) A, B, c, D lần lượt là bốn điểm dân cư.
Ta có:
OA + OB + oc + OD > AC + BD
Nếu o nằm trên đoạn AC thì OA + oc = AC OB + OD > BD
OA + OB + oc + OD > AC + BD
Nếu o nằm trên đoạn BD thì OB + OD = BD OA + oc > AC
OA + OB + oc + OD > AC + BD
OB + OD > BD
Nếu o không nằm trên AC và BD thì OA + oc > AC
o là giao điểm của AC và BD thì:
OA + OB + oc + OD = AC + BD
- Vậy khi o là giao điểm của AC và BD thì tổng cách khoảng cách từ nhà máy này đến các khu dân cư là ngắn nhất.
a) Vì Q là trọng tâm của AMNP nên điểm Q
. ?...	. .. mq o
thuộc đường trung tuyên MR và	— 2 .
RQ
Vì hai tam giác MPQ và RPQ có chung đường cao kẻ từ p nên:
dt(MPQ) = MQ = 2	(1)
dt(MPQ) 2 dt(RPQ)
(2)
dt(RPQ) RQ
b) Chứng minh tương tự như câu a ta có:
Hai tam giác PQR và QNR có chung đường cao kẻ từ Q và PR = RN nên dt(PQR) = dt(QNR)
Vì dt (PQR) + dt(QNR) = dt(PQN) và dt(PQR) = dt(QNR)
Nên dt (PQN) = 2.dt(PQR) = 2.dt(QNR) (3)
Từ (1), (2), (3) => dt(QMN) = dt(QNP) = dt(QPM)
a) Vì. M cách đều hai cạnh Ox, Oy của xOy nên M phải thuộc tia phân 'giác xOy .
Vì M cách đều hai điểm A và B nên M thuộc đường trung trực của AB. Vậy M là giao điểm của tia phân giác xOy và đường trung trực của đoạn thẳng AB.
X.
b) Nếu OA = OB thì AAOB cân tại o nên tia phân giác xOy cùng là trung trực
của AB nên mọi điểm trên tia phân giác xOy sẽ cách đều hai cạnh Ox, Oy và cách đều hai điểm A và B.
Vậy khi OA = OB thì mọi điểm trên tia phân giác xOy đều thỏa mãn các điều kiện ở câu a.
a và b không song song nên a cắt b, gọi giao điểm là o. Tam giác OSQ có PQ và RS là hai đường cao gặp nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác nên đường thẳng vẽ từ M và vuông góc với SQ là đường cao thứ ba của tam giác tức là đường vuông góc với SQ vẽ từ M cũng đi qua giao điểm của a và b.
a) Vì M nằm trên d, d là trung trực AB nên MA = MB (1)
Vì N e PA nên đoạn thẳng NB cắt d M suy ra M nằm giữa N và B. hay NM + MB = NB (2)
Từ (1) và (2) => NB = MA + NM b) Gọi AN’ cắt d tại I Trong tam giácN’IB có : N’I Mà IA = IB (I thuộc trung trụ
b
<IN'+ IBÌ của AB) J
=> N’B N’B < AN’
Vì LA < LB nên L không thuộc d, theo chứng minh câu b suy ra L thuộc PA.