Giải bài tập Toán lớp 7: Bài 5. Tính chất ba đường phân giác của một góc

§5. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN 1. Định lí 1 (thuận)
Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
GT
M e Oz là tia phân giác của xOy ; MA 1 Ox, MB 1 Oy
KL
MA = MB
2. Định lí 2 (đảo)
Điếm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên phân giác của góc đó.
GT
M ở miền trong AABC
MA 1 Ox, NB 1 Oy
MA = MB
KL
OM là tia phân giác xOy
Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP |1 I Bài tập mẫu
Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Các đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Chứng minh AI là phân giác của góc BAC.
Giải
Ta có: Ci = Bi (cùng phụ A) (1) Suy ra C2 = B2
Do đó AIBC cân tại I nên IB = IC (2) Từ (1) và (2) ta có:
AIHC = AlKB (cạnh huyền, góc nhọn) Nên IH = IK
Vậy AI là phân giác của góc BAC.
Bài tập cơ bản
Hình bên cho biết cách vẽ tia phân giác của góc xOy bằng thước hai lề:
Áp một lề của thước vào cạnh Ox, kẻ đường thẳng a theo lề kia.
Làm tương tự với cạnh Oy, ta kẻ được đường thẳng b.
Gọi M là giao điểm của a và b, ta có OM là tia phân giác của góc xOy.
Hãy chứng minh tia OM được vẽ như vậy đúng là tia phân giác của góc xOy.
(Gợi ý: Dựa vào bài tập 12 chứng minh các khoảng cách từ M đến Ox và đến Oy bằng nhau (do cùng bằng khoảng cách hai lề của chiếc thước) rồi áp dụng định lí 2).
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài Bi và Cj nằm trên tis phân giác của góc A.
Giải
- Theo cách vẽ thì M cách đều hai cạnh Ox, Oy (cùng bằng khoảng cách 2 lề của chiếc thước).
- Vì M cách đều Ox, Oy nên theo định lí đảo M thuộc phân giác của xOy hay OM là phân giác của xOy .
Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B và c của AABC.
Kẻ MH 1 AB; MI 1 BC; MK 1 AC (H 6 AB, I s BC, K 6 AC)
Ta có: MH = MI (Vì M thuộc phân giác
của góc B ngoài)
MI = MK (Vì M thuộc phân giác của góc c ngoài)
Suy ra: MH = MK
M thuộc phân giác của góc BAC .
Bài tập tương tự
Cho góc vuông xOy và tam giác vuông cân ABC có A = 90°, B thuộc Ox, c thuộc Oy, A và o thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BC. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của góc xOy.
Hai đường phân giác của góc B và góc c của tam giác ABC cắt nhau ỏ o. Biết
BOC = 120°. Tính số đo góc A.
LUYỆN TẬP
Cho hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau tại o.
Chứng minh hai tia phân giác Ot,
Ot’ của một cặp góc kề bù tạo thành một góc vuông.
Chứng minh rằng: Nếu M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot’ thì M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’.
Chứng minh răng: Nếu điểm M cách đều hai đường thẳng xx’, yy’ thì M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot’.
Khi M = 0 thì khoảng cách từ M đến xx’ và yy’ bằng bao nhiêu?
Em có nhận xét gì về tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx’, yy’.
Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm c và D sao cho OA = oc, OB = OD. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:
BC = AD
IA = IC, IB = ID
Tia OI là tia phân giác của góc xOy.
Có mảnh sắt phẳng hình dạng một góc (hình bên) và một chiếc thước thẳng có chia khoảng. Làm thế nào để vẽ được tia phân giác của góc này?
Gợi ý: Áp dụng bài tập 34.
Giải
a) Vì Ot là phân giác của xOy
nên yOt = xOt = xOy 2
Ot’ là phân giác của xOy '
nên xOt' = y' Ot' = ì xOy1 2
Suy ra: xOt + xOt' = ì xOy + xOy' = — í xOy + xOy ì
mà xOy + xOy1 = 180° (2 góc kề bù)
=> xOt + xOt'= ịl80° =90°
2
Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông, b) Nếu M E Ot hoặc Ot’ thì M cách đều hai đường thẳng xx’, yy’ Thật vậy: M 6 Ot do Ot là phân giác của xOy
nên M cách đều Ox, Oy =>	M cách đều xx’, yy’
M e Ot’ do Ot’ là phân giác của xOy'
nên M cách đều Ox, Oy’
=> M cách đều xx’, yy’
c) M cách đều hai đường thẳng xx’, yy’
Nếu M nằm trong một góc trong bốn góc xOy, xOy', x'Oy',x'Oy thì M phải thuộc phân giác của góc ấy tức M phải thuộc Ot hoặc Ot’.
Khi M = o thì khoảng cách từ M đốn xx’, yy’ băng 0.
Từ các câu trên ta có nhận xét: tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng cất nhau xx’, yy’ thuộc hai đường thẳng vuông góc nhau lần lượt là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó.
a) AAOD và ACOB có: oc = OA (giả thiết)
OB = OD (giả thiết) xOy là góc chung.
=> AAOD = ACOB (cgc)
=> AD = BC
AAOD = ACOB => OAD = OCB
=> BAI = DCI (kề bù với hai góc bằng nhau)
Vì vậy ADIC = ABIA do:
CD = AB (OD = OB; oc = OA)
CDI = ẤBÌ (AOAD = AOCB)
DCI = BAI (chứng minh trên)
=> IC = IA và ID = IB
Ta có: AOIA = AOIC (c.c.c) => COI = AOI
=> OI là phân giác của xOy .
+ Trên cạnh thức nhất lấy hai điểm phân biệt A; B trên cạnh thứ hai lấy hai điểm C; D sao cho khoảng cách từ C; D đến đỉnh của góc lần lượt bằng khoảng cách từ đỉnh của góc với A; B.
Xác định giao điểm I của BC và AD; tia vẽ từ đỉnh của góc qua I chính là tia phân giác của góc đó.
+ Phần chứng minh tương tự như bài 34.