Giải bài tập Toán lớp 7: Ôn tập cuối năm
1. 2. 3. BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM Cho điểm M và hai đường'thẳng a, b không song song với nhau Vẽ đường thẳng MH vuông góc với a (H s a), MK vuông góc với b (k e b). Nêu cách vẽ. Qua M vẽ đường thẳng xx’ song song với a và đường thẳng yy’ song song với b. Nêu cách vẽ. Viết tên các cặp góc bằng nhau, bù nhau. Xem hình vẽ Giải thích vì sao a // b. Tính số đo góc NQP. Hình sau cho biết a // b, c = 44°, D = 132 Tính số đo COD . (Hướng dẫn: Vẽ đường thẳng song song vổi đường thẳng a và đi qua điểm O). Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt Oy ở E. Gọi c là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng: a) CE = OD; b) CE 1 CD c) CA = CB đ) CA // DE; e) Ba điểm A, B, c thẳng hàng Tính số đo X trong mồi hình a, b, c: Hình b B A c AB;/ CD Hình c Cho tam giác ADC (AD = DC) có ACD = 31° . Trên cạnh AC lấy một điểm B sao cho ABD = 88° . Từ c kẻ một tia song song với BD cắt tia AD ở E. Hãy tính các góc DCE và DEC. Trong tam giác CDE, cạnh nào lớn nhất? Tại sao? Từ một điểm M trên tia phân giác của góc nhọn xOy, kẻ đường vuông góc với cạnh Ox (tại A), đường thẳng này cắt cạnh Oy tại B. Hãy so sánh hai đoạn thẳng OA và MA. Hãy so sánh hai đoạn thẳng OB và OM. Cho tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (H e BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng: AABE = AHBE BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH. EK = EC. AE < EC Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có đường trung tuyến xuất phát từ A bằng một nửa cạnh BC thì tam giác đó vuông tại A. ứng dụng: Một tờ giấy bị rách ở mép (hình bên). Hãy dùng thước và compa dựng đường vuông góc với cạnh AB tại A. Cho hình bên. Không vẽ giao điểm của a, b, hãy nêu cách vẽ đường thẳng đi qua giao điểm này và điểm M. Đô': Cho tam giác ABC. Em hãy tô màu để xác định phần bên trong của tam giấc gồm các điểm M sao cho: MA < MB < MC. (Hướng dẫn: Trước tiên tô màu, để xác định các điểm M ở trong tam MA < MB; lần thứ hai là MB < MC. Phần trong tam giác được tô màu phần phải tìm). giác mà 2 lần là Giải a) Trước hết, ta nêu cách vẽ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước Cách vẽ dùng ẽke và thước kẻ: Cho trước đường thẳng p và M e p. Đặt một lề êke trùng với p, dịch chuyển êke trên p sao cho lề thứ hai của êke sát vào M (hình h.a). Cho trước đường thẳng p và M e p (hình h.b). Đặt một lề êke trùng với p và dịch chuyển êke trên p sao cho góc êke trùng với M. Cách vẽ dùng compa và thước kẻ: Cho trước đường thẳng p và M Ể p. Vẽ đường thẳng qua M vuông góc với p. Chọn trên p hai điểm A và B. Vẽ cấc đường tròn (A; AM) và (B; BM) Hai đường tròn này cắt nhau tại M và M’ thì NM’ vuông góc với p (hình h.c) Chú ý: Có thể xem bài tập 51 phần hình học. Cho trước đường thẳng p và M e p. Ề; X / X t f / p ' ! V \ \ 1 \ -1. ! 1 A\ í M ! ,’B l / / / ỳ' a \ _-x' /i.e Vẽ đường thẳng vuông góc với p tại M (hình h.d) Dùng compa vẽ đường tròn (M; rj) cắt p tại A và B. Vẽ cấc đường tròn (A; r2) và (B; r2) với r2 > rb Các đường tròn này cắt nhau tại E và F thì đường thẳng EF vuông góc p tại M. Bây giờ ta theo một trong hai cách vẽ nêu trên vẽ đường thẳng qua M vuông góc với a tại H và đường thẳng qua M vuông góc với b tại K (hình h.e) Vẽ đường thẳng xx’ vuông góc với MH tại M và đường thẳng yy’ vuông góc với MK tại M thì xx’ // a (vì cùng vuông góc với MH) và yy’ // b. Giả sử a cắt yy’ tại N và b cắt xx’ tại p. Một sô' cặp góc bằng nhau là x’My’ và x’PK, HNM và MPK. Một số cặp góc bù nhau, chẳng hạn như HNM và NMx’, KPM và PMy5. a) Các đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng MN nên a // b. b) NQP và QPM là hai góc trong cùng phía tạo bởi đường thẳng PQ cắt hai đường thẳng song- song nên chúng bù nhau. NQP + QPM = 180° NQP = 180° - QPM = 180° - 50° - 130° Vẽ tia Ot // a (Ca, Ot nằm ở hai nửa mp đối nhau có bờ OC). COD-COt + DOt Mà a // Ot => COt = aCO = 44° (hai góc so le trong) Mà b // Ot => tOD = 180° - OPb (hai góc trong cùng phía) Suy ra: tOD = 180° - 132° = 48° Vậy COD = 44° + 48° = 92° a) EC // Ox (cùng vuông góc Oy) DC // Oy (cùng vuông góc Ox) Do đó : Dx = E2 (so le trong) E1 = D2 (so le trong) • mà DE chung => ACDE = AOED => CE = OD và CD = OE b) Vì ACDE = AOED => ECD = DÕẼ => CE 1 CD Hai tam giác vuông BEC, CDA CÓ: ABCE = ACDA => CB = CA CD = BE (cùng bằng OE)^ CE = AD (cùng bằng OD)j Hai tam giác vuông CDA, DCE bằng nhau vì có hai cặp cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau nên DCA = D2 lại so le trong nên CA // DE. Chứng minh tương tự như d suy ra CB // DE. Do đó theo tiên đề ơclit ta suy ra hai đường thẳng BC và CA trùng nhau hay A, B, c thẳng hàng. a) AABC có AC = AB, Â = 90° nên vuông cân tại A => ACB = 45° mà BCD cân tại c (BC = CD) có ACB là góc ngoài tại c nên ACB = 2x => X = ịẤCB = -I450 2 2 =>x = 22°30' Vẽ tia Cx // BA (BA, Cx thuộc hai nửa mặt phẳng đốì nhau có bờ BC) =* ABC = BCx = 27° mà xCD = BCD - BCx = 112° - 27 Vì Cx // ED (cùng song song AB) => CDE = X = 85° Vi AB // CD => ABC = 67° (dvi) AABC cân tại A (AB = AC) nên i - BAC = 180° - 2ABC ADC = 180°-2.C = 180° - 2.67° = 46° a) AADC cân tại D, có DAC = 31° =ỉ => ADC = 180° - 62° =118° . AADBcó Â = 31°, ABD = 88° => ẤDB = 180° - (31° + 88°) hay ADB = 61° . BD // CE => DEC = ADB = 61° (đồng vị) b) EDC là góc ngoài AADC cân tại D EDC = 2.C = 62° ADEC có Ê = 61°; D = 62° => DCE = 57° Vì 57° DE < DC < CE Vậy CE là cạnh lớn nhất. 7.a) AAOM vuông tại A có => ox < 45° (xOy nhọn) mà Oj + = 90° => > 45° => M1 > O1 => OA > MA b) AOMB có M2 là góc ngoài tại M của AOMA 2 —Ox + 90° => M2 > 90° hay M2 là góc tù => OB là cạnh lớn nhất nên OB > OM 8.a) AABE = AHBE (cạnh huyền — góc nhọn) vì Â = H = 90° => $ BE cạnh chung Bi = B2 (gt) b) AABE = AHBE => BA = BH, EA = EH => E, B cùng thuộc trung trực của AH nên c) Vì AE = EH (chứng min h trên) E2 = E] (đôì đỉnh) KÃẼ = CHÈ = 90° AAEK = AHEC => EK = EC d) AEHC vuông tại H => EH < EC mà EH = AE nên AE < EC. 9. Giả sử AABC có AD là đường trung tuyến ứng với BC và DA = ịBC=> AD = BD = DC 2 Hay AADC, AADB cân tại D. Do đó: Ù A-2 =c4 => Aj + A2 = B1+C1 đường thẳng EB là trung trực của AH mà Aj + A2 + Bj + Cj = 180° (tổng góc AABC) => A1 + A2 = 90° hay AABC vuông tại A. Áp dụng * ’ AB . . , Vẽ đường tròn (A, r); r = ——— ; vẽ đường tròn (B, r) 2 Gọi c là giao điểm của 2 cung tròn nằm ở phía trong tờ giấy. Trên tia BC lấy D sao cho BC = CD => AB ± AD AC = 77 BD 2 AABD vuông tại A. Thật vậy: AABD có AC là trung tuyến ứng với BD (BC = CD) và AC = BC = CD. Áp dụng bài 69 ta có cách vẽ sau: Vẽ đường thẳng qua M vuông góc với a tại A cắt b tại B. Vẽ đường thẳng qua M vuông góc với b tại c cắt a tại D. Vẽ đường thẳng c qua M vuông góc với BD => c là đường qua M và qua giao điểm của hai đường a, b Chứng minh: Vì 3 đường thẳng a, b, c là 3 đường cao trong ADMD nên đồng quy Điểm M nằm trong AABC sao cho AM < BM thì tô phần tam giác ABC thuộc nửa mp bờ là trung trực của đoạn AB có chứa điểm A. - Điểm M nằm trong ABC sao cho MB < MC thì tô phần tam giác ABC thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường trung trực của đoạn BC có chứa B. Phần tam giác được tô hai lần là phần chứa điểm M thỏa: MA < MB < MC.