Giải bài tập Toán lớp 7: Bài 8. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

§8. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRựC CỦA TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Đường trung trực của tam giác
Trong một tam giác, đường trung trực của một cạnh gọi là một đường trung trực của tam giác đó.
Mỗi tam giấc có ba đường trung trực.
Định lí 1:
Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng vái cạnh này.
GT • AABC cân tại A
• AM là đường trung trực của cạnh BC
KL MB = MC
Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Định lí 2:
Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác dó.
GT
AABC
a là đường trung trực của BC
b là đường trung trực của AC
c là đường trung trực của AB
a, b, c, cắt nhau tại 0
KL 1. o nằm trên đường trung trực của BC | 2. OA = OB = oc
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
11 I Bài tập mẫu
Tam giác ABC có A là góc tù. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở o và cắt BC theo thứ tự ở p và E. Đường tròn tâm o bán kính OA đi qua những điểm nào trong hình vẽ.
Giải
Ta có o thuộc đường trung trực của đoạn AB nên suy ra OA = OB (1)
Lại có o thuộc đường trung trực của đoạn AC nên suy ra OA = oc (2)
Từ (1) và (2) suy ra OA = OB = oc.
Vậy đường tròn (0, OA) đi qua các điểm A, B, c
Xác định dạng của tam giác có giao điểm các phân giác trùng với giao điếm các
đường trung trực.
Giải
Gọi o là giao điểm của đường phân giác của AABC thì ta có OAB = OAC; OBA = OBC; OCA = OCB . Nhưng o cũng là giao điểm của các đường trung trực - nên OA = OB = oc.
Do đó OAB = OBA; OAC = OCA. Từ đó suy ra A = B = c
Nên AABC đều.
[2~1 Bài tập cơ bản
Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một dường trung trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thi tam giác đó là một tam giác cân.
Ba gia đình quyết định đào chung một cái giếng. Phải chọn vị trí của giếng ở đâu đế’ các khoảng cách từ giếng đến các nhà bằng nhau?
Xét tam giác ABC với AH là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực nên
G
AH 1 BC và HB = HC Xét hai tam giác vuông HAB và HAC, có:
HB = HC
Hl = H2 = 90°
AH: cạnh chung
Nên AHAB = AHAC => AB = AC Vậy AABC cân tại A.
Vì điểm đào giếng cách đều ba ngôi nhà (ba ngôi nhà không nằm trên đường thẳng) nên điểm đó chính là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh trong tam giấc có đỉnh là ba ngôi nhà.
|2 [ Bài tập tương tự
Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác vuông ABC là trung điểm của cạnh huyền.
Cho đoạn thẳng AB và đường trung trực d của AB. Gọi M là một điểm nằm trong mặt phảng, biết M không nằm trên AB và M cũng không thuộc đường trung trực d. So sánh độ dài các đoạn AM và BM.
Cho xOy bằng 50° và điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B sao cho Ox là trung trực của AB, vẽ điểm c sao cho Oy là trung trực của AC.
Chứng minh ABOC cân ở o.
B.
Tính B0C
LUYỆN TẬP
Vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau:
A, B, c đều nhọn
 = 90°
 > 90°
Cho hình vẽ bên:
Chứng minh ba điểm B, c, D thẳng hàng Gợi ý: Chứng minh ADB + ADC = 180°
Sử dụng bài 55 để chứng minh rằng: Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là tning điểm của cạnh huyền của tam giác đó.
Từ đó hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông theo độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông.
Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?
Giải
Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Để vẽ đường tròn ngoại tiếp ta cần xác định tâm của đường tròn đó. Muốn xác định tâm ta vẽ hai đường trung trực và giao điểm hai đường trung trực (cũng là giao điểm của ba trung trực là tâm cần tìm).
Nhận xét:
Nếu tam giác có ba góc đều nhọn thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trong tam giác.
Nếu tam giác có góc vuông thì tâm đường tròn nằm trên cạnh huyền (tâm là trung điểm của cạnh huyền).
Nếu tam giác có góc tù thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác.
5
Từ hình vẽ ta có DK là đường trung trực của AC, DI là đường trung trực của AB. Do đó AADK = ACDK (c.c.c)
ADK = CDK hay DK là phân giác ADC
ADK- i AĨ)C 2
AADI = ABDI (c.c.e) => ADI = BDI => DI là phân giác ADB
=> ADI = ịẤDB 2
Vì AC//DI (cùng vuông góc với AB)Ì
• => DK ± Di
mà DK 1 AC
hay ADK + ẤDÌ = 90°
=> ADC + ADB = 180°
Vậy B, D, c thẳng hàng.
B
d,
\ M
56. a) Giả sử AABC vuông góc tại A. Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh
A
\~d.
góc vuông AB, AC cắt nhau tại M. Ta
- A
chứng minh M là trung điểm của BC.
Vì M là giao điểm hai đường trung trực di, d2 của AB, AC mà AB ± AC nên B, M, c thẳng hàng (bài tập 55).
Vì MA = MB (M thuộc đường trung trực của AB)
MA = MC (M thuộc đường trung trực của AC)
=> MB = MC
Do B, M, c thẳng hàng và M cách đều BC nên M là trung điểm của BC.
M là trung điểm BC => MB =
mà AM = MB nên MA = -Z-BC 2
Vậy độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng một nửa độ dài cạnh huyền.
Lấy ba điểm phân biệt A, B, c trên đường viền ngoài, suy ra AABC có đường tròn ngoại tiếp chính là đường viền ngoài. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp chính là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC nên bán kính là độ dài đoạn thẳng từ giao điểm 0 đến A.