Giải bài tập Toán lớp 7: Bài 4. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

§4. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Đường trung tuyên của tam giác
Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là đỉnh của tam giác đầu kia là trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh đó.
Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
Tính chát ba đường trung tuyến của tam giác
Định lí. Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách
	, , , ,, 2 .	 "
đỉnh một khoảng cách băng — độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
GT
G là trọng tâm AABC
KL
AG _ BG _ CG _ 2
AD - BE " CF - 3
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
[ĩ~~I Bài tập mẫu
Cho hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau ở 0. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa o và B, AB = 2OA. Trên y’y lấy hai điểm L và M sao cho 0
là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi p là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.
Giải
Ta có o là trung điểm của LM (gt).
Suy ra BO là đường trung tuyến của ABLM (1)
Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa o, B hay BO = 2AO + AO = 3AO vì AB = 2AO (gt)
đi qua A (tính chất 3 đường trung tuyến).
, _ 2
Suy ra AO = “7 BO hay BA = — BO 3	3
Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của ABLM (tính chất của trọng tâm).
Mà LP và MQ là cấc đường trung tuyến của ABLM vì p là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt) và o là trung điểm của đoạn thẳng LB (gt).
Suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đề
[2~1 Bài tập Cơ bản
Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
DG _ 1. DG .
DH - 2 ’ GH ’
GH _ 1. GH _ 2 DH - 3 ’ DG - 3 '
Cho hình bên. Hãy điền sô' thích hợp vào chỗ trông trong các đẳng thức sau:
MG = ... MR; GR = ... MR ; GR = ... MG
NS = ... NG; NS = ... GS; NG = ... GS
Biết răng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải
G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Khẳng định đúng là:
nên
GH _ 1 GH _ DH _ 3 V1 DG DH - GD _ 3 - 2
DH 3
1
3
Hình vẽ cho ta biết hai đường trung tuyến MR và NS cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác. Vì vậy ta điền sô' như sau:
,	 1 „ _ 1
MG = 77 MR; GR = 77MR ; GR = 77 MG
3	3	2
2~ _
NS = -^NG; NS = 3GS; NG = 2GS
3
AABC vuông tại A
=> BC2 = AB + AC2 (định lí Pitago)
=> BC2 = 32 + 42
BC2 = 25 BC = 5
Gọi M là trung điểm của BC => AM là trung tuyến. Vì trong tam giác vuông đường
trung tuyến ứng với cạnh huyền băng một nửa cạnh huyền nên AM = — BC .
2
Bài tập tương tự
Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.
Cho AABC có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME
= MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF = NG. Chứng minh:
a) EF = BC.
b) Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm D sao cho G là trung điểm của AD.
So sánh các cạnh của tam giác BGD với các trung tuyến của tam giác ABC.
So sánh các trung tuyến của tam giác BGD với các cạnh của tam giác ABC.
LUYỆN TẬP
Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.
Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.
Chứng minh ADEI = ADFI.
Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?
Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ đài đường trung tuyến DI.
Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng:
GA = GB = GC
Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập 26.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’.
So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC.
So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.
Giải
Giả sử AABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta chứng minh BM = CN.
Vì AABC cân tại A => AB = AC mà M, N là trung điểm AC, AB nên CM = BN.
Do đó: ACMB; ABNC có:
BC chung
>ACMB = ABNC (c.g.c)
CM = BN (cm trên)
AB = AC (ẠABC cân)
=> BM = CN
Giả sử AABC có hai đường trung tuyến BM và CN gặp nhau tại G => G là trọng tâm của tam giấc
2 _ _ _ 2
=> GB = — BM; GC = — CN (Xem hình bài 26)
3	3
mà BM = CN (giả thiết) nên GB = GC => AGBC cân tại G => GCB = GBC
BC cạnh chung
Do đó ABCN = A CBM vì (CN = BM (giả thiết)
GCB = GBC (ch/m trên)
=> NBC = MCB => AABC cân tại A.
Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
a) ADEI = ADFI có:
DI là cạnh chung DE = DF (ADEF cân)
IE = IF (DI là trung tuyến)
=> ADEI = ADFI (c.c.c) b) Vì ADIE = ADIF => DIE = DIF mà DIE + DIF = 180° (kề bù) nên DIE - DIF - 90°
c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm
ADIE vuông tại I => DI2 = DE2 - El2 (định lí pitago)
=> DI2 = 132 - 52 = 144 => DI = 12
Gọi M, N, E là giao điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB.
Vì G là trọng tâm của AABC nên
GA= |aM; GB = ^BN; GC = ?CE (1)
3	3	3
Vì AABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau
=> AM = BN = CE
Từ (1), (2), (3) => GA - GB = GC
a) So sánh các cạnh của ABGG’ với các đường trung tuyến của AABC
BG cắt AC tại N
c
CG cắt AB tại E G là trọng tâm của AABC 2
=> GA = ^AM 3
Mà GA = GG’ (G là trung điểm của AG’)
GG’ = „ AM 3
Vì G là trọng tâm của AABC => GB = — BN
3
GM = ^GG' 2
Mặt khác : GM = AG (G là trọng tâm)
AG = GG' (giả thiết)
M là trung điểm GG’
MB = MC GMC = <TMB
GM = MG'
Do đó AGMC = AG’MB vì <
BG' = CG
mà CG = -ỆCE (G là trọng tâm AABC) 3
BG’ = ^CE 3
• Vậy mỗi cạnh của ABGG’ bằng — đường trung tuyến của AABC 3
b) So sánh các đường trung tuyến của ABGG’ với cạnh AABC
- Ta có: BM là đường trung tuyến ABGG’ mà M là trung điểm của BC nên BM = — BC
Vì IG = -Ệ-BG (I là trung điểm' BG) 2
GN = BG (G là trọng tâm)
2
Do đó AIGG’ = ANGA (cgc) => IG’ = AN => IG’ =
IG = GN
AC
- Gọi K là trung điểm BG => GK là trung tuyến ABGG’
Vì GE = 7-GC (G là trọng tâm AABC)
2 «
BG' = GC (chứng min h trên)
mà K là trung điểm BG’ => KG’ = EG Vì AGMC = AG’MB (chứng minh trên)
=> GCM = G 1 BM (lại so le trong)
=> CE // BG’ => AGE = AG' B (đồng vị)
Do đó AAGE = AGG’K (cgc) => AE = GK
1 . _ 1 _ mà AE = 77 AB nên GK = 77 AB
2 2
GE = ^BG 2
Vậy mỗi đường trung tuyến ABGG’ bằng một nửa cạnh của tam giác ABC song song với nó.