Giải bài tập Toán lớp 7: Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

§3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC
BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
1. Bat đăng thúc tam giác
Định lí. Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ
GT
AABC
KL
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB
dài cạnh còn lại. A
Giải
Có tam giác mà ba cạnh có độ dài 6cm, 8cm, 16cm vì mỗi cạnh đều nhỏ hơn tổng của hai cạnh kia.
Không có tam giác nào ma ba cạnh có độ dài là 6,5cm, 3,lcm, 3,4cm vì có một cạnh bằng tổng hai cạnh còn lại:
6,5 = 3,1 + 3,4
Không có tam giác nào mà ba cạnh có độ dài là 14,7cm, 8,2cm, 6,3cm vì có một cạnh lớn hơn tổng hai cạnh còn lại:
14,7 > 8,2 + 6,3
Một tam giác có hai cạnh dài 2cm và lOcn. Tìm số đo cạnh thứ ba, biết rằng số đo ấy là một số nguyên tố.
Giải
Giả sử cạnh thứ ba dài X (cm). Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: 10-28<x<12
Vì X là số nguyên tố lớn hơn 8 và nhỏ hơn 12 nên X = 11.
Vậy số đo cạnh thứ ba là llcm.
|2 [Bài tập cơ bản
Dựa vào bất đẳng thức tam giấc, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong những trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế:
2cm; 3cm; 6cm.
2cm; 4cm; 6cm.
3cm; 4cm; 6cm.
Cho tam giác ABC với hai cạnh BC = lcm, AC = 7cm. Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?
Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC.
So sánh MA với MI + IA, từ đó chứng minh MA + MB < IB + IA.
So sánh IB với IC + CB, từ đó chứng minh IB + IA < CA + CB.
Chứng minh bất đẳng thức MA + MB < CA + CB.
Giải
a) Ta có: 3 - 2 < 6 < 3 + 2 bất đẳng thức này sai nên ba độ dài 2cm, 3cm, 6cm không là ba cạnh của tam giác.
Vì 6 = 2 + 4 nên ba độ dài 2cm, 4cm,
6cm không là ba cạnh của tam giác.
4-3<6<4 + 3 bất đẳng thức đúng nên ba độ dài 3cm, 4cm, 6cm là 3 cạnh của một tam giác.
Theo bất đẳng thức tam giác ABC ta có:
AC - BC < AB < AC + BC
Theo độ dài BC = lcm, AC = 7cm
7 — 1 < AB < 7 + 1 6 < AB < 8
Vì độ dài AB là một số nguyên thỏa (1) nên AB = 7cm Do đó AABC cân tại A vì AB = AC = 7cm.
a) M nằm trong tam giác nên A Ể BM => A, M, I không thẳng hàng Theo bất đẳng thức tam giác với AAMI:
AM < MI + IA (1)
Cộng vào hai vế của (1) với MB ta được:
AM + MB < W + NỊI + IA
hay AM + MB < BI + IA
b) Ba điểm B, I, c không thẳng hàng nên BI < IC + BC (2) Cộng vào 2 vế của (2) với IA ta được:
BI + IA < IA + IC + BC
hay BI + IA < AC + BC
Vì AM + MB < BI + IA; BI + IA < AC + BC nên AM + MB < AC + BC
Vậy số đo cạnh thứ ba là llcm.
2
1.
2.
Bài tập tương tự
Trong một tam giác cân, một cạnh bằng 25cm, cạnh kia 10cm. Hỏi cạnh nào là cạnh đáy. Vì sao?
Tính chu vi của tam giác cân ABC, biết:
a) AB = 4cm, AC = 7cm
b) AB = llcm, AC = 5cm.
Hãy tìm độ dài ba cạnh của một tam giác, biết cạnh thứ nhất dài gấp rưỡi cạnh thứ hai, cạnh thứ hai dài gấp rưỡi cạnh thứ ba và nửa chu vi tam giác bằng 9,5cm.
LUYỆN TẬP
Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:
2cm ; 3cm ; 4cm
lcm ; 2cm ; 3,5cm
2,2cm ; 2cm ; 4,2cm
Hãy vẽ tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là một trong các bộ ba ở trên (nếu vẽ được). Trong trường hợp không vẽ được, hãy giải thích.
Tìm chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là 3,9cm và 7,9cm.
Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:
Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng BC (II £ BC).
Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở §1 để chứng minh AB + AC > BC.
Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.
Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa . điểm A và B.
Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm c để dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất.
Ba thành phố A, B, c là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng: AC = 30km, AB = 90km (hình bên)
Nếu đặt ở c mấy phát sóng truyền thanh có bấn kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120km?
Giải
4cm
a) Với 3 độ dài 2cm, 3cm, 4cm lập thành 3 cạnh của tam giác
lcm, 2cm, 3,5cm không lập thành 3 cạnh của tam giác VÌ2-1<3,5<2 + 1 bất đẳng thức sai.
2,2 + 2 = 4,2 không lập thành tam giác.
Tam giác là cân biết hai cạnh của nó là 3,9cm, 7,9cm.
Ta có: Cạnh 3,9cm không thể là cạnh bên vì
3,9 + 3,9 = 7,8 < 7,9
Vậy cạnh bên là 7,9cm nên chu vi tam giác là:
3,9 + 7,9.2 = 19,7cm
a) AABC có cạnh BC lớn nhất nên chân đường cao kẻ từ A phải nằm giữa B và c => HB + HC = BC
AAHC vuông tại H => HC HB < AB Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta có:
HB + HC < AC + AB hay BC < AC + AB
b) BC là cạnh lớn nhất nên suy ra AB < BC và AC < BC
Do đó AB < BC + AC; AC < BC + AB
(Cộng thêm AC hoặc AB vào vế phải của bất đẳng thức)
Ta có: AC + BC > AB (vì c là điểm chưa xác định) Do đó AC + BC ngắn nhất khi:
A
AC + BC = AB => c nằm giữa A; B
Vậy vị trí đặt một cột mắc dây điện từ trạm về cho khu dân CƯ sao cho độ dài đường dây dẫn ngắn nhất là c nằm giữa A và B.
Theo bất đẳng thức tam giác: CB > AB - AC hay CB >90-30
CB > 60
Nếu đặt tại c máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B không nhận được tín hiệu, b) Mặt khác BC < AC + AB nên	BC <30 + 90
BC <120	,
Nếu đặt tại c máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 120km thì thành phố B nhận được tín hiệu.