Giải bài tập Toán lớp 7: Bài 8. Cộng, trừ đa thức một biến

§8. CỘNG, TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN
KIẾN THỨC Cơ BẢN
Để cộng, trừ hai đa thức một biến, ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau:
Cách 1. Thực hiện theo cách cộng, trừ đa thức đã học ở §6.
Cách 2. Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc
tăng) của biến, rồi đặt phép tính theo cột dọc tương tự như cộng, trừ các sô' (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
ỊT~Ị Bài tập mẫu
Cho các đa thức:
f(x) = 3x2 - 7 + 5x - 6x2- 4x3 + 8 - 5x5 - X3 g(x) = -X4 + 2x - 1 + 2x4 + 3x3 + 2 - X
Thu gọn các đa thức trên rồi sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm dần của biến.
Xác định bậc của mỗi đa thức.
Cho biết hệ sô' cao nhất và hệ sô' tự do của mỗi đa thức.
Tính Kx) + g(x) và f(x) - g(x) (theo cách 2).
Giải
a) Kx) = 5x5 - 5x3 - 3x2 + 5x + 1; g(x) = X4 + 3x3 + X + 1
Đa thức f(x) có bậc 5, đa thức g(x) có bậc 4.
Đa thức f(x) có hệ sô' cao nhất là -5, hệ sô' tự do là 1.
Đa thức g(x) có hệ sô' cao nhất là 1, hệ sô' tự do là 1.
fix) = -5x5	- 5x3 - 3x
và Q(x) = X2 - 5x - 2x3 + X4 - 37
Hãy tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x)
Cho đa thức P(x) = X4 - 3x2 + ị - X
2
Tìm các đa thức Q(x), R(x) sao cho:
a) P(x) + Q(x) = X5 - 2x2 + 1	b) P(x) - R(x) = X3
Viết đa thức P(x) = 5x3 - 4x2 + 7x - 2 dưới dạng :
Tổng của hai đa thức một biến.
Hiệu của hai đa thức một biến.
Bạn Vinh nêu nhận xét : "Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc 4". Đúng hay sai ? Vì sao ?
 + 5x + 1
g(x) =	X4 + 3x3	+ X + 1
f(x) - g(x) = -5x5+ X4 - 2x3 - 3x2 + 6x + 2 fix) = -5x5	- 5x3 - 3x2 + 5x + 1
g(x)	=	X4 + 3x3	+ X + 1
f(x) + g(x) = -5x5- X4 - 8x3 - 3x2 + 4x
Tính hiệu f(x) - g(x) (theo cách 1) biết:
fix) = X5 - 4x4 - 2x2 - 7 g(x) = -2x5 + 6x4 - 2x2 + 6
fix) = 5x4 + 7x3 - 6x2 + 3x - 7 g(x) = -4x4 + 2x3 - 5x2 + 4x + 5
Giải
f(x) - g(x) = (x5 - 4x4 - 2x2 - 7) - (-2x5 + 6x4 - 2x2 + 6)
= (x5 + 2x5) + l-4x4 - 6x4) + l-2x2 + 2x2) + (-7 - 6) = 3x5 - 10x4 - 13
f(x) - g(x) = (5x4 + 7x3 - 6x2 + 3x - 7) - (-4x4 + 2x3 - 5x2 + 4x + 5) = 5x4 + 7x3 - 6x2 + 3x - 7 + 4x4 - 2x2 + 5x2 - 4x - 5
= (5x4 + 4x4) + (7x3- 2x3) + l-6x2 + 5x2)+ (3x - 4x) + (-7 - 5)
= 9x4 + 5x3 - X2 - X - 12
Bài tập cơ bản
Cho hai đa thức: P(x) = -5x3 - 4 + 8x4 + X2 3
Cho các đa thức : P(x) = 2x4 - X - 2xP(x) + Q(x)	= 9x4- 7x3+ 2x2- 5x- 1
P(x) - Q(x)	= 7x4 - 3x3 + 5x + I
Ta có: P(x) = X4 - 3x2 +	- X
2
Vì P(x) + Q(x) = X5 - 2x2 + 1 nên
Q(x) = x5-2x2+ l-P(x)
Q(x) = Xs- 2x2+ 1 - X4 + 3x2- 1 + X 2
Q(x) = x5-x4+x2 + x+ I
Vì P(x) - R(x) = X3 nên
R(x) = P(x) - X3
R(x) = X4 - 3x2 + ị - X - X3 2
hayR(x) = X4 - X3 - 3x2 - X + -^
 + 1 Q(x) = 5x2 - X3 + 4x H(x) = -2x4 + X2 + 5
Tính P(x) + Q(x) + H(x) và P(x) - Q(x) - H(x).
P(x) = 8x4-5x3+x2
2
Q(x) = X4 - 2x3 + X2 - 5x -
Viết đa thức P(x) = 5xài tập tương tự
Tính tổng và hiệu của hai đa thức sau:
A(x) = 3x5 + 2x4 - 4x3 + X2 - 2x +	1 và
B(x) = -X4 + 3x3 - 2x2 + 3x + 2
Tìm đa thức h(x) sao cho fix) - h(x) = g(x) biết:
 - 4x2 + 7x - 2 dưới dạng :
■ a) Tổng của hai đa thức một biến.
5x3 - 4x2 + 7x - 2 = (5x3 - 4x2) + (7x - 2)
Hiệu của hai đa thức một biến.
5x3 - 4x2 + 7x - 2 = (5x3 + 7x) - (4x2 + 2)
Chú ý : Đáp số ở câu a ; b không duy nhất, các bạn có thể tìm thêm đa
thức khác.
Bạn Vinh nói đúng: Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc 4 chẳng hạn như :
5x3 - 4x2 + 7x - 2 = (2xfix) = X2 + X + 1;	g(x)	=	7x5 +	X4	-	2x3 + 4
fix) = X4 + 6x3 - 4x2 + 2x - 1;	g(x)	=	X	+	3
Viết đa thức:	P(x) = 2x3 - 5x2 + 6x - 3 dưới dạng
 + 5x3 + 7x) + l-2x4 - 4x2 - 2)
Ta có:	P(x) = 2x4 - X - 2x3 + 1
Q(x) = 5x2 - X3 + 4x H(x) = 2x4 + X2 + 5
Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần rồi xếp các số hạng đồng dạng theo cùng cột dọc ta được.
P(x) = 2x4 - 2x3	- X +1
Q(x) =	- X3 + 5x2 + 4x
	H(x) = 2x4	+ x2	+5
P(x) + Q(x) + H(x) =	- 3x3 + 6x2 + 3x + 6
P(x) - Q(x) - H(x) = 4x4 - X3 - 6x2 - 5x - 4
Ta có:
(2x3 - 2x + 1) - (3x2 + 4x - 1) = 2x3 - 3x2 - 6x + 2 Vậy chọn đa thức thứ hai.
LUYỆN TẬP
Hãy tìm bậc của mỗi đa thức sau:
M = X2 - 2xy + 5x2 - í; N = x2y2 - y2 + 5x2 - 3x2y + 5
Cho các đa thức:
N = 15y3 + 5y2 - y5 - õy2 - 4y3 - 2y M = y2 + y3 - 3y + 1 - y2 + y5 - y3 + 7y5
Thu gọn các đa thức trên.
Tính N + M và N - M.
Cho hai đa thức: P(x) = 3x2 - 5 + X4 - 3x3 - X6 - 2x2 - X3
Q(x) = X3 + 2x5 - X4 + X2- 2x3 + X - 1.
Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa tăng của biến.
Tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x).
Tính giá trị của đa thức P(x) = X2 - 2x - 8 tại : X - -1 ; X = 0 và X = 4.
Cho các đa thức: P(x) = X5 - 2x4 + X2 - X + 1
Q(x) = 6 - 2x + 3x3 + X4 - 3x5
Tính P(x) — Q(x) và Q(x) - P(x). Có nhận xét gì về các hệ số của hai đa thức tìm được ?
Giải
Đa thức M = X2 - 2xy + 5x2 - 1 = 6x2 - 2xy - 1 có bậc 2 Đa thức N = lây2 - y2 + 5x2 - 3x2y + 5 có bậc 4
a) Thu gọn mỗi đa thức
N = 15y3 + õy2 - y5 - 5y2 - 4y3 - 2y = - y5 + lly3 - 2y M = y2 + y3 - 3y + 1 - y2 + y5 - y3 + 7y5 = 8y5 - 3y + 1 b) N + M = - y5 + lly3 - 2y + 8y5-3y+ 1
= 7y5 + lly3 - 5y + 1
N - M = - y5 + lly3 - 2y - 8y5 + 3y - 1= -9y5 + lly3 + y - 1
a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa tăng của biến.
Thu gọn : P(x) = 3x2 - 5 + X4 - 3x3 - X6 - 2X2 - x3
= X2 - 5 + X4 - 4x3-X6 Sắp xếp P(x) = - 5 + X2 - 4x3 + X4 - X6
Thu gọn : Q(x) = X3 + 2x5 - X4 + X2- 2x3 + X - 1 Sắp xếp Q(x) = - 1 + X + X2 - X3 — X4 + 2x5
b) Ta có :	P(x) = - 5 + X2 - 4x3 + X4-x6
Q(x) = -1 + X + X2 - X3 - X4 + 2x5
P(x) + Q(x) = -6 + X + 2X2 - 5x3 + 2xù - xb Q(x) - P(x) = 4 + X + 3x3 - 2x4 + 2x5 + X6
Ta có :	P(x) = X2 - 2x - 8
=>	P(-l) = (-1)2 - 2(-l) -8 = l + 2- 8 = -5
53.
Nhận xét. Các hệ số tương ứng của hai đa thức tìm được đối nhau.
Chú ý : Ta gọi 2 đa thức có các hệ số tương ứng đối nhau là đa thức đối nhau.