Giải bài tập Toán lớp 7: Bài 6. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

§6. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Đường phân giác của tam giác
Trong tam giác ABC, tia phân giác của
góc A cắt cạnh BC tại điểm M.
Đoạn thẳng AM được gọi là đường phận giác của tam giác ABC
Đường thẳng AM cũng gọi là đường phân giác của tam giác ABC.
Mỗi tam giác có ba đường phân giác.
Tính chất:
Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Định lí:
Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
GT
AABC
Hai phân giác BE, CF cắt nhau tại I
KL
• AI là tia phân giác của góc A
• IH = IK = IL
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
m Bài tập mẫu
Hai đường phân giấc của góc B và c trong tam giác ABC cắt nhau ở I. Chứng minh
Giải
rằng: BIC = 90 +
I là giao điểm của hai phân giác của B và c =5- phân giác của góc A là AI.
Ta có: Â + B + C = 180°
90°
90° -ặ 2
ABC ——1———H ~~ 2 2 2
BIC = 180° -
B C
f 0 ÂÌ
= 180° -
90° --
2 "2
l 2J
Trong tam giác BIC có:
- 90° + •
Vậy BIC = 90° + 4 2
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng hai tia phân giác của hai góc ngoài ở đỉnh B và c và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một điểm.
Giải
Gọi I là giao điểm của hai phân giác góc B và góc c.
Từ I kẻ IE 1 AB, ID 1 BC, IF 1 AC.
Theo tính chất tia phân giác, ta có: IE = ID và ID = IF, suy ra IE = IF. Điều này chứng tỏ điểm I nằm trên tia phân giác của góc A, nói cách khác hai tia phân giác của hai góc ngoài ở đỉnh B và c và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một điểm.
p
36.
37.
38.
Bài tập cơ bản
Cho tam giác DEF, điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của nó. Chứng minh I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giấc DEF.
Nêu cách vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau. Vẽ hình minh họa.
Cho hình bên.
Tính góc KOL.
Kẻ tia 10, hãy tính góc KIO.
Điểm o có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không? Tại sao?
Giải
I nằm trong ADEF và cách đều ba cạnh của
tam giác nên I lần lượt thuộc phân giác của các góc D, E, F.
Vậy I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.
Vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các
khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giấc đó bằng nhau tức là K là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác MNP.
Vì vậy ta chỉ cần vẽ phân giác của hai trong ba góc của AMNP
a) AKIL có ĩ = 62° nên IKL + ILK = 118°
Vì KO và LO là phân giác IKL, ILK nên OKL + OLK = j(lKL + ilk)
=> OKL + OLK = 7-118° = 59°
2
AKOL có OKL + 0LK = 59° nên KÕL = 180°-59° =121°
D
I
b) Vì o là giao điểm của hai đường phân giác của K và L nên o cách đều ba cạnh của tam giác IKL.
Bài tập tương tự
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm I là giao điểm của các đường phân giác. Kẻ IH ± BC (H e BC). Biết HI = 2cm, HB = 3cm, HC = 4cm. Tính chu vi tam giác ABC.
Tam giác ABC có trung tuyến AM đồng thời là phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.
Cho tam giác ABC, hai đường phân giác trong của hai góc B và c cắt nhau ở điểm I và hai đường phân giác ngoài của hai góc ấy cắt nhau ở điểm D. Chứng minh rằng ba điểm A, I, D thẳng hàng.
LUYỆN TẬP
Cho hình bên.
Chứng minh AABD = AACD
So sánh góc DBC và góc DCB.
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác
và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.
Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có.cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?
Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thỉ tam giác đó là một tam giác cân.
Gợi ỷ: Trong AABC, nếu AD vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giấc thì kéo dài AD một đoạn DAị sao cho DAj = AD.
Đô’: Có hai con dường cắt nhau và cùng cắt một con sông tại hai địa điểm khác nhau.
Hãy tìm một địa điểm để xây dựng một đài quan sát sao cho các khoảng cách từ đó đến hai con đường và đến bờ sông bằng nhau. Có tất cả mấy địa điểm như vậy?
Giải
a) Căn cứ vào các ký hiệu đã cho trên hình của bài 39 ta có: AABD và AACD có:
AB = AC
BAD = CAD AD là cạnh chung => AABD = AACD (c.g.c) a) Vì AABD = AACD => BD = CD => ABCD cân tại D => DBC = DCB
Gọi giao điểm của BG với AC là M;
CG với AB là N Vì G là trọng tâm của AABC Nên BM, CN là trung tuyến Mặt khác AABC cân tại A Nên BM = CN (bài 26)
Ta có: GB = — BM; GC = —-CN (T/c trọng tâm của tam giác)
2	3
Mà BM = CN nên GB = GC)
1 ,
Do đó: AAGB = AAGC (c.c.c)
=> BAG = CAG G thuộc phân giác của BAC Mà AABI = AACI (c.c.c)
=> BAI = CAI => I thuộc phân giác của BAC
Vì G, I cùng thuộc phân giác của BAC nên A, G, I thẳng hàng.
Trọng tâm của tam giấc đều cách đều ba cạnh của nó:
Giả sử AABC đều có trọng tâm G
2	„„ 2„_ „„ 2„
=> GA = 77 AN; GB = ^BM; GC = ^EC
3	3
Vì AABC đều nên ba trung tuyến AN, BM, CE bằng nhau
Suy ra: GA = GB = GC
Do đó: AAMG = ACMG (c.c.c)
=> AMG=CMC Mà AMG + CMG = 180°
A
=> AMG = 90°
=> GM ± AC tức là GM là khoảng cách từ G đến AC.
Chứng minh tương tự GE, GN là khoảng cách từ G đến AB, BC.
_-	1	1	_ iL
Mà GM = 4 BM; GN = 4 AN; EG = 4 EC 3	3	3
Và AN = BM = EC nên GM = GN = GE Hay G cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
Giả sử AABC có AD là phân giác BAC và DB = DC, ta chứng minh AABC cân tại A.
Kéo dài AD một đoạn DAi = AD.
Ta có: AADB = AAjDC (c.g.c)
Nên BAD = CA]D mà BAD = CAD (giả thiết)
CAD = CAJ)
=> AACAi cân tại c.
Ta lại có: AB = AiC (AADB = AA]DC)
AC = AjC (A AC A ] cân tại C)
=> AB = AC Vậy AABC cân tại A
Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
Hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tạo thành tam giác ABC.
Địa điểm để xây dựng trạm kiểm lâm thỏa mãn đề bài phải là giao điểm I của ba đường phân giác trong của tam giác ABC và giao điểm K của tia phân giác của góc A và hai tia phân giác của các góc ngoài ở đỉnh D và đỉnh E của tam giác ADE (xem bài 31).
Vậy các địa điểm và các khoảng cách này ngắn nhất để xây dựng trạm kiểm lâm là I, K.