Giải bài tập Toán lớp 7: Bài 9. Tính chất ba đường cao của tam giác

§9. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
1. Định nghĩa
Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến
dường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là
k/
đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có
<H \
ba đường cao.
"1
2. Tính chát ba đường cao của tam giác
B
c
Định lí: Ba dường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Vẽ đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân
Định lí 1: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng
đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
GT
Định lí 2: Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng tliời là phân giác thì tam giác dó là tam giác cân
ABC có AI là trung tuyến đồng thời là phân giác của A
KL AABC cân tại A Định lí 3: Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác là tam giác cân
GT
ABC có đường trung tuyến AI đồng thời AI là trung trực
KL AABC cân tại A
Chú ý: Đặc biệt đối với tam giác đểu:
Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP m Bài tập mẫu
Cho AABC vuông tại A (AB < AC), đường trung trực của BC cắt cạnh AC tại M và đường thẳng AB tại N, cắt BC tại I.
Chứng minh BM ± NC.
Tam giác NBC là tam giác gì?
Giải
M là giao điểm hai đường cao CA và NI trong tam giác BNC nên M là trực tâm suy ra BM 1NC.
Tam giác NBC là tam giác cân tại N vì NI là đường trung trực của BC nên NB = NC.
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D là trung điểm của HB, E là trung điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh rằng CF ± AD và BF ± AE.
Giải
Vẽ điểm G sao cho D là trung điểm của FG. AFDH = AGBD (cgc) nên BG = FH => AF = FH.
Lại có HFD = BGD nên BG // FH
=s> AFB = GBF (so le trong)
Do đó AAFB = A GBF (gcg)
suy ra ABF = GFB . Vậy DF // AB.
mà AB ± AC (vì AABC vuông ở A), do đó DF ± AC Trong tam giác ADC, ta có:
AH ± DC (gt), DF ± AC nên F là trực tâm của tam giác ACD, suy ra CF là đường cao thuộc cạnh AD. Vậy CF ± AD.
Chứng minh tương tự F là trực tâm của tam giác ABE, do đó BF 1AE.
Ịị lBài tập Cơ bản
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Cho hình bên.
Chứng minh NS ± LM.	/ s-
Khi LNP = 50°, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K)
Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N. Chứng minh rằng KN ± IM.
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.
Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Giải
Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông là vì mỗi cạnh góc vuông của tam giác chính là đường cao của tam giác nên 2 cạnh góc vuông và đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông cắt nhau tại đỉnh góc vuông.
' Nếu tam giác ABC có góc A là tù => BC là cạnh dài nhất => BC > BA
Hỉ
Kẻ đường cao BL thì LA; LC là hai hình chiếu của BA, BC => LA A nằm giữa L và c tức đường cao BL nằm ngoài AABC.
Tương tự đường cao CK nằm ngoài AABC
Nên điểm cắt nhau của ba đường cao nầm ngoài tam giác.
a) Trong ANML có:
LP ± MN nên LP là đường cao MQ ± NL nên MQ là đường cao mà PL n MQ = (S)
/ £
	c
M-
Suy ra s là trực tâm của tam giác nên đường thẳng SN chứa đường cao từ N hay SN ± ML.
b) ANMQ vuông tại Q có LNP = 50° nên QMN = 40° AMPS vuông tại p có QMP = 40° nên MSP = 50° .
Suy ra PSQ = 130° (kề bù)
Giải tương tự bài tập 59.
AMKI có MJ là đường cao (í ± d), đường thẳng KN cũng là đường cao (giả thiết KN 1 MI). Hai
/
r
M
k d
JI
I\
đường cao cắt nhau tại N nên N là trực tâm AMKI. Vậy NI 1 MK.
Các đường thắng HA, HB, HC lần lượt cắ
AHBC có:
HN ± BC nên HN là đường cao BE 1 HC nên BE là đường cao CM ± BH nên CM là đường cao Vậy A là trực tâm của tam giác HBC.
Tương tự, trực tâm của AAHB là C; AAHC là B.
Xét hai tam giác vuông EBC và FCB có: BC (cạnh huyền chung)
BE = CF
Vậy AEBC = AFCB (cạnh huyền cạnh góc vuông)
Suy ra FBC = ECB hay AABC cân tại A.
• Nếu tam giác có ba đường cao bằng
tương tự như chứng minh trên, ta chứng được đó là tam giác đều.
cạnh đô'i BC, AC, AB tại N, M, E.
Ị 1 I Bài tập tương tự
Gọi D là điểm nằm trên cạnh AB của tam giác vuông cân ABC (A = 90°). Trên tia đô'i của tia AC lây E sao cho AE = AD. Chứng minh rằng CD vuông góc với BE.
Cho tam giác nhọn ABC, AB < BC, B = 60°. Hai đường cao AH, CE cắt nhau ở F.
Tính DEF .
Chứng minh BDE = BED
Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, c kẻ các đường thẳng song song với cạnh
đối diện chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF. Chứng minh răng các đường cao của tam giác ABC là đường trung trực của tam giác DEF.