Giải toán 6 Bài 6. So sánh phân số
§6. SO SÁNH PHÂN SỐ
A. Tóm tắt kiến thức
So sánh hai phân sô cùng mẫu
Trong hai phân số cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hon thì lớn hon.
So sánh hai phân sô không cùng mẫu
Muốn so sánh hai phân sô không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau.
Lưu ý
Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hon 0. Phân số lớn hon 0 được gọi là phân số dương.
Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hon 0. Phân số nhỏ hon 0 được gọi là phân số âm.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. So sánh các cặp phân số sau:
UA _ 114.116 _ 13224
- " 115.116 “ 13340 ;
b) —— và
115 -116
1000
-35
1000
35
xr, , ,nnn^ 1 . - >000 u.„. 1 . 1000 Vì 1 > - 1000 nên — > —-3— hay _ >
35 35
Ví dụ 2. So sánh các cặp phân số sau:
35
-35
48 47
a) — và —
121 120
c)
16 24
và
10
-15
Giải, a) Tìm mẫu chung: 121 = 1 r, 120 = 23.3 . 5.
Mẫu chung là 112.23.3 . 5 = 121 . 120 = 14520. Quy đồng mẫu:
48
121
48.120 5760
47 47.121
5687
121.120 14520
5760
Vì 5760 > 5687 nên
120 120.121 14520
5687 , ■ 48 , 47
■ -••••- hay —— > —
14520 14520 121 120
? 8 5 5
Giải, a) Vì hai phân số có cùng mẫu dương và 28 < 55 nên — < —- 94 94
-35
b) Ta cần đổi —thành phân số'có mẫu dương. Ta có:
15 _ 115 116
116
-116
b) Đổi phân số —thành phân số có mâu dương ta được:
„ ,, - , . . 114 . 115 _ . _
Quy đông máu hai phân sô —— và —— , ta được:
115 116
115 _ 115.115 _ 13225 H6 " 116.115 - 13340 ■
10
-15 -5
Dơ đó
z -16 24
á =
10
15
xn 13224 . 13225 u.„. 114 . ->15
Vì 13224 < 13225 nên ——- < ■ hay ——< ——-
13340 13340 ' 115 -116
. .,24 ' , , „ -
c) Đôi phân sô — — thành phân sô có máu dương ta được:
24 -24
-15 15
-16 -24
Quy dóng mâu hai phân sô -
và
10 15
ta được:
-16
_ -16.3 _ -48
-24
-24.2
10
10.3 " 30 ’
15
15.2
Vậy
-16 -24 , -16
24
■ = hav - —
/ . - XT-" . ... ... -16 ' 24
Lưu V. Nêu ta rút gọn hai phân số và ta được:
10 -15
16 -8 . 24 8 -8
- - — và —
Ví dụ 3. Tìm các phán số —~ thoả mãn điều kiện: 30
-2x1 — < — < — 15 30 20
Phán tích. Đê so sánh các phàn số ta cần đổi chúng thành nhưng phân số cùng mẫu số dương.
.,. . -2 X 1
Giái. Quy đồng mẫu ba phân sô —, — . — ta đươc:
15 30 20
-2 _ -2.4 _ -8 _x_ _ X .2 _ 2x 1 _ ♦ 1 . 3 _ 3
15 15.4 “ 60 : 30 - 30.2 - 60 ; 20 - 20.3 ” 60 ■
Bây giờ ta chi can tìm X đê —- < — < — .
60 60 60
Muốn vậy, ta phải có - 8 < 2x < 3. Vì 2x là số chắn nên - 8 < 2x < 2. Như vậy 2x e {-6;-4;-2;0;2}.
Khi 2x = -6 thì X = -6 : 2 = -3;
Khi 2x = -4 thì X = -4 : 2 = -2;
Khi 2x =-2 thì X = —2 : 2 =-1;
Khi 2x = 0 thì X = 0 : 2 = 0;
Khi 2x = 2 thì x = 2 : 2= 1.
Các phân số phái tìm là:
777 , 77 , 77,0, 77 hay —-, —7 , 777,0, 777.
30 30 30 30 '10 15 30 30
Ví dụ 4. a) Cho phán sỏ , với a > b > 0.
Chứng tó rằng với mọi sô tự nhiên n > 0 ta có
b) Áp dụng kết quả trôn chứng tỏ rằng
^2011+1 7*2011
,2010
22O1O_1
Giải, a) Quy đổng mầu hai phân số — và 7—— . ta được:
b b + n
a _ a . (b + n) ab + an b b.(b + n) b(b + n)
a + n _ (a + n). b _ ab + bn
b + n (b + n).b b(.b + n)
Vì n > 0 và a > b nên an > bn. Do đó ab + an > ab + bn.
ab +an ab + bn , a + n a \
Vì thê 7 > 7———- hay - < 7-
b{b + n) b(b + n) ’ b + n b
. , 'T.. ->2011 -,1010
20) 1
b) Ta có 3 > 2 .
32O11+1 _ 3
Ap dụng két quét trén ta có: - <
22 +1 2
-,2011 -.1010 -.2011 , -1010
fừ 3 >2 suy ra 3 - 1 > 2
Hơn nữa 32011 = (32011 - 1)+ 1 và 21010 = (21010 - 1) + 1.
2 2011 22O11_1
Vì 32011 - 1 > 21010 - 1 > 0 nên có thể áp dụng kết quả trên để được:
2010 22010 -!
(32011 -l) + l 32011 -l 32011 (22010 -l) + l < 22010 -1 hay 22010
Vậy
32011 + 1 32011 _1
22010 +1 ' 22010 _ Ị
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Bài 37. a) Vì - 11 <- 10 < - 9 < - 8 < - 7 nên - < 4^ < 4^ < --
13 13 13 13 13
b) Quy đồng mẫu các phân số ta có: —— < — < — < —- .
36 36 36 36
Vì - 12 < - 11 < - 10 < — 9 nên ta có ——- < < —— hay
36 36 36 36
-1 -11 -5 -1
—7 < —
3 36 18 4
3
a) 4h<4h;
4
7 3
b) -4 m < 4 m ;
10 4
d) 4 km / h > 4 km / h. 6 9
Bài 38. Hướng dẫn. Quy đồng mẫu.
ĐS.
7. 9 ,
4 kg <4-kg
10
Bài 39. Hướng dẫn. Quy đồng mẫu các phân số đã cho.
ĐS. Môn bóng đá.
Bài 40. Hướng dẫn. Lập các phân số rồi quy đồng mẫu các phân số vừa tìm được. Cũng có thể so sánh một số phân số đơn giản hơn với nhau rồi chọn phân số lớn nhất trong chúng để so sánh với những phân số còn lại.
„„,25 4 8 11 .. _ .
ĐS. a) — , —, ——, —— , —— . b) Lưới E sấm nhất.
6 12 15 20 25
,6 7 10 11. ux -5 n 2 419 -697
Bài 41. a) _< é = b) —2<0<-r; c) -------<0<
7 7 10 10 17 7 -723 -313
D. Bài tập luyện thêm
sắp xếp các số sau đây thành một dãy số tăng dần:
1 ỉ 2 A
12 ’ 18 ’ 21 ’ 14 '
' Tìm các số nguyên X sao cho:
-1 X 1 5 4 3
a) Chứng tỏ rằng với hai phân số có tử và mẫu đều dương và cùng tử số, phân số nào có mẫụ bé hơn thì lớn hơn.
Sắp xếp các phân số sau thành một dãy số giảm dần:
7 14 49 21
41 ’ 105 ’ 280 ’ 126 '
a) Cho hai phân số — và 4 với các tử và các mẫu đều dương.
b d
Chứng tỏ 1'ằngnếu a. d > b . c-thì-ịA> 4 và ngược lạư b d
10201l+l 1O2012 +1
b) Áp dụng kết quả trên hãy so sánh ——— và ——— .
102012 + l 102013 + l
Hướng dẫn - Lòi giải - Đáp số
Hướng dẫn. Quy đồng mẫu số rồi so sánh các tử số.
_ -8 -5 7 5
21 14 18 12
— 1x1
Quy đồng mâu các phân số -ệ-, ~ , 4 ta được:
-12 15x 20
60 ’ 60 ’ 60 ’
X phải thoả mãn điều kiện: - 12 < 15x < 20. Do đó 15x e A = {- 12 ; - 11 ; - 10 ; - 9 ; ; 0 ; 1 ; 2 ; ... 15 ; ... ; 20}.
Nhưng X là số nguyên nên 15x phải là những số trong A chia hết cho 15. Vì thế 15x = 0 hoặc 15x = 15.
Vậy X = 0 hoặc X = 1 và các phân số cần tìm là 0 và -ị .
Lưu ý. Cung có thê lập luận rằng từ - 12 < 15x < 20 suy ra
-12 . . 20 -4 _ -4
—— < X < — hay — < X < —.
15 15 5 3
Vì X là số nguyên nên X = 0 hoặc X = 1.
a) Giả sử cho hai phân số và —, với a, b, c đều dưofng. b c
„ IX X..... I. a ac , a ab
Quy đống mâu ta được — = và — =
b bc c bc
XT-' , .IV I IV IV ab ac a a
Nếu b > c thì ab > ac. Do đó — > - hay — < — .
bc bc b c
b) Trước hết hãy rút gọn các phân số đã cho.
Tacó- 49 - _z_ 21 - 7
a co: 280 ” 40 ’ 126 - 42 '
Đổi các phân số đã cho thành những phân số cùng tử số ta được:
7
14
14
49
14
21
14
41
1 Cv>
1 00
1
105 ’
280 -
80
’ 126 -
' 84
14
14
14
14
Vì 80 < 82 < 84 < 105 nên
— > — >
> ——
hay
80
82
84
105
49
7
21
14
—
> —
> —-
- >
.
280
41
126
105
a) Nếu a . d > b . c thì > h--- (vì a, b, c, d > 0) hay — > — • b.d b.d b d
Ngược lại, nếu — > 4 thì —. b . d > 4 . b . d (vì a, b, c, d > 0)
& b d b d
hay a . d > b . c.
b) Ta xét (IO2011 + 1). (1O2O13 + 1) và (IO21112 + 1). (102l>12+ 1).
Taco: (to2011 + 1). (102ol3 + 1) = IO20" . 102ol3+ IO20" + 1020,3+ 1 (102O.2+ ,) (1O2O.2+ ,)= 102O.2 1 020,2 + lo2Ot2 + lũ2OI2+|
Vi IO2'"1 . IO2"'3 = IO20" * 2013 = IO4024 và IO21"2 . IO2012 = IO4024
,„i„u in2011 , i in2012
nên chí cân so sanh 10 + 10 va 2.10
Tacó: IO2011 + 102013 = IO2011 .(1 + 102) và 2 . IO2012 = IO2011 .2. 10. Vì 1 + IO2 = 101 > 2 . 10 nên IO2011 + IO2013 > 2 . IO2012.
Vậy (IO2011 + 1). GO2013 + 1) > (IO2012 + 1) . (IO2012 + 1).
IO2011 +1 102012 +l
Ap dụng kêt qua trên ta co kêt luận ———; > —r—: .
102()12+l IO2013 +1
Lưu ý. Ta cũng có thể giải bài toán theo cách sau:
102011+l 102Ol2+10 _ 102O12 + l + 9 9
'io2°12+l~ 102012 +l ■ 102,,l2+l '■ + 1020l2+l'
102012 + l 102013 + 10 102013 + l + 9 9
' 1O2013 + 1 ” 1O2013 +1 - ,1O2013 +1 - + ÌO2013 + 1 '
Vì 1O2012 < 1O2013 nên 1O2012 + 1 < 1O2013 + 1.
Do đó
1O2012 +1
102013 +l
Vì thế 10 .
1O2O11 +1 102()12+l
> 10.
10
2012
10
2013
+_!
+ 1 ’
102()11 + l 102OI2+l
ậy 102“'2 + l > 102°13 + l’